考慮滲透系數各向異性的盾構隧道開挖面穩(wěn)定性數值極限分析

袁 帥，馮德旺

（長安大學公路學院，陜西西安710064）

隨著社會的發(fā)展，城市人口增加，許多城市開始大規(guī)模興建地下軌道交通來緩解交通擁堵問題。目前，城市地鐵隧道普遍采用盾構法施工，盾構掘進過程中密封艙支護力不足會引起開挖面的坍塌，支護力過大則會引起地面隆起，因此，開挖面支護力的合理確定對保證盾構隧道安全施工非常關鍵。城市隧道圍巖失穩(wěn)大都與水有關，隧道開挖改變周圍地層水力環(huán)境，引發(fā)地下水滲流，使得圍巖力學性質弱化，增加盾構隧道開挖面失穩(wěn)的風險。因而，開展復雜水力環(huán)境下盾構隧道開挖面穩(wěn)定性研究具有重要的理論及實際意義。

近年來，各種方法如理論分析、模型試驗和數值模擬等在盾構隧道開挖面穩(wěn)定性分析中取得了非常廣泛的應用。在這其中，極限分析方法得到了大量的應用，在這其中又以上限法居多。Leca等［1］構造了砂土地層隧道開挖面三維錐形體破壞模式。Soubra［2］在錐體之間進行過渡圓滑，對錐形體破壞模式進行了改進。Subrin［3］提出了一種“牛角狀”破壞模式，并通過數值及實驗方法進行了驗證。Mollon等［4］構造了三維平動多塊體集，研究了盾構隧道開挖面穩(wěn)定性問題。宋春霞等［5］考慮土層的非勻質性，構造了平面應變隧道剛體平動破壞模式，應用多塊體上限法進行研究。數值極限分析方法的應用則相對較少，Sloan等［6］利用有限元上下限分析方法分別研究了淺埋隧道圍巖及開挖面穩(wěn)定性，考慮了地層土體不排水抗剪強度隨深度的線性變化。楊峰等［7］應用上限有限元法分析了平面應變條件下隧道開挖面穩(wěn)定性，并與多塊體上限法進行了對比。

隧道開挖會導致開挖面附近孔壓場發(fā)生改變，引起地下水滲流，因此有必要在極限分析中考慮孔壓的影響，使用有效應力強度參數。基于Leca［1］提出的三維破壞機制，Lee和Nam［8］在上限計算中考慮了地下水滲流的影響，將極限支護力分為兩部分：有效應力部分和滲透壓力部分，并且指出，滲透壓力的部分會遠遠大于有效應力部分。在后續(xù)工作中，Lee和Nam［9］研究了隧道開挖速率對開挖面穩(wěn)定性的影響。黃阜等［10］研究了地下水滲流對淺埋隧道開挖面安全系數的影響。Liu等［11］分析了成層土中滲透力對開挖面穩(wěn)定性的影響。呂璽琳等［12］研究了水位變化對盾構隧道開挖面孔壓分布特性。鄭佳艷等［13］分析了高水壓條件下盾構隧道開挖面穩(wěn)定性。宋曙光［14］研究了復合地層盾構施工開挖面失穩(wěn)機理和滲流作用下開挖面失穩(wěn)破壞演化特性。湯軍旅［15］研究了穩(wěn)態(tài)滲流飽和砂性土地層盾構開挖面穩(wěn)定性問題。

然而，現有工作大都將開挖面周圍土體的滲透特性視為各向同性以簡化計算。眾所周知，土在沉積的過程中由于各種因素的影響會產生各向異性，即土體的應力及滲透特性與所選取的方向有關。土體滲透系數的各向異性已經被廣泛證實，學者們也逐漸認識到滲透系數對巖土工程結構力學特性的重要影響。梁燕等［16］研究了原狀黃土的滲透系數各向異性特征及其機制。楊林德等［17］在考慮地下水滲透各向異性和土體內Biot有效應力分布的各向異性的條件下，推導出一個地下水滲流耦合作用的有限元計算公式。何秉順等［18］基于有限元法和條分法分析了土壩在各向異性滲流場下的穩(wěn)定性。關于滲透系數各向異性對隧道開挖面穩(wěn)定性的影響分析則非常有限，值得進一步的深入研究。本文結合滲流分析和數值極限分析方法，研究滲透系數各向異性對盾構隧道開挖滲流場及開挖面極限支護力的影響，分析滲透力所導致開挖面破壞機制的變化，為盾構隧道安全施工提供重要的參考。

1 數值極限分析方法

1.1 上限分析理論

假定一剛性理想塑性體Ω受到體力λg及面力λT的作用，其中g和T為事先給定的分布，λ為所要優(yōu)化的載荷乘子。在給定速度邊界Γu上指定速度的大小。上限理論可以表述為：如果可以找到滿足運動和塑性許可的速度場，該速度場滿足變形協調關系、速度邊界條件和塑性流動法則，則極限荷載的上限可以通過外力功和內力功相等來得到。上限分析定理的數學描述為

式中：Wint為內功率，Wext為外力功率；D(ε˙)為塑性耗散函數；u˙和 ε˙分別為速度場和應變率。在實際問題中經常采用上限定理的對偶形式或稱為基于應力的上限定理，則maximize λ

式中：σ為應力；f(σ)為屈服函數。對偶形式所需的優(yōu)化變量更少而且不容易出現線性相關等式約束。因此，本文基于上限定理的對偶形式建立相應的數值方法。

上述上限定理形式中沒有考慮孔隙水壓的影響，為了研究滲流作用下土工結構的穩(wěn)定性，引入有效應力原理即

式中：σ′為有效應力；uw為孔隙水壓力。將式（3）代入式（2）后可得

1.2 空間離散

為了克服體積閉鎖問題并且提高現有單元的計算效率，Makrodimopoulos 和Martin［19］提出了一種線性應變單元，只要單元的所有邊都是直邊就能保證所得到的結果是嚴格的上限解。正如圖1所示，速度結點位于四面體的頂點和各邊的中點，而應力結點只位于四面體的頂點。速度結點由相鄰單元共享，而應力結點則只屬于某個特定的單元。單元內的速度場可以表示為

式中：Li為角點所對應的體積坐標；Nε為包含應變型函數的系數矩陣；ε˙e為單元應變矢量。相應地，四面體內的應力矢量可以表示為

式中：Nσ為包含應力形函數的系數矩陣；σ′e為單元應力矢量。將式（6）代入式（5）后可得

式中：B 為應變矩陣。將式（8）代入到式（4），簡化后得

圖1 上限分析線性應變單元Fig.1 Linear strain element in upper bound analysis

式中：σ′g為整體有效應力矢量；q為整體載荷矢量；q0為整體給定力矢量；qw為整體孔隙水壓力矢量；Ne為單元個數。

1.3 半正定錐規(guī)劃

假定土體滿足摩爾-庫倫強度準則，以主應力表示為

式中：σ′1和σ′3為大、小主應力，c′和φ′分別為有效黏聚力和有效內摩擦角。三維條件下摩爾-庫倫模型則可以轉化為半正定錐的形式，采用半正定錐規(guī)劃對非線性優(yōu)化問題進行求解。半正定錐定義為

式中：“mat”為一矩陣算子，mat（z）表示將矢量z轉換為對稱二階矩陣。這里引入符號Z，即

Z定義為

另外定義

表示Z為一個半正定對稱矩陣。引入符號

摩爾-庫倫強度準則可以表示為半正定錐的形式［20］

式中：β為引入的輔助變量；I為單位矩陣；a和k由下式可得

最終的數學規(guī)劃問題為

式中：m=[1 1 1 0 0 0]T為單位輔助向量。

式（18）將通過Mosek的Matlab工具箱進行求解。

2 開挖面穩(wěn)定性分析

2.1 問題描述

盾構隧道開挖示意圖見圖2，隧道截面為圓形，直徑為D，埋深為C，地表水位為Hw，假定開挖面上施加均勻的支護力，當支護力小于某個極限值plim時，開挖面附近土體會發(fā)生失穩(wěn)，該極限值稱為極限支護力。由于隧道開挖改變了周圍巖土體的水力環(huán)境，導致周圍孔隙水流入隧道，由于滲透力的存在，開挖面所需支護力大大增加。計算中所用到的典型計算模型及網格劃分如圖2b所示，計算模型取足夠大以減小邊界條件對計算結果的影響。為了簡化計算，假定滲流達到穩(wěn)態(tài)，開挖面為完全排水邊界，孔隙水壓力為零，給定地表孔隙水壓力，且不隨開挖擾動而發(fā)生變化，其他邊界均不排水。由于問題的對稱性，取計算模型的一半進行分析，約束模型底部、左右邊界以及遠離對稱面一側邊界的所有位移。隧道襯砌部分的位移假定為零。為了提高計算效率，在開挖面附近使用更加精細的網格。

圖2 隧道開挖模型及有限元網格劃分Fig.2 Diagram of the shield tunnel and the used mesh

2.2 算法驗證

首先對所建立的計算方法及簡化模型進行驗證，為了與文獻中的結果進行對比，假定隧道直徑為10m，隧道埋深為10m，地表孔隙水壓力為零，土體的有效黏聚力和內摩擦角分別為5kPa和30°，土體天然重度為17kN·m-3，飽和重度為21kN·m-3?？紤]三種計算條件，條件一為考慮滲流影響，條件二為不考慮滲流影響且采用天然重度，條件三為不考慮滲流影響且采用飽和重度。三種條件下計算得到的極限支護力如圖3中水平虛直線所示，并與文獻［13］結果進行了對比。從圖中可以看到，本文結果與文獻結果非常接近，驗證了本文計算方法及計算模型的正確性。

圖3 計算結果驗證Fig.3 Verification of the present formulation

2.3 滲流場分析

滲透系數各向異性最直觀的影響體現在開挖面周圍孔隙水壓力及滲透速度分布上。假定滲透系數為正交各向異性，水平方向上滲透系數相等。以下分析中所考慮的計算工況如表1所示，分別研究不同水位高度、隧道埋深和土體強度下滲透系數各向異性對開挖面穩(wěn)定性的影響，參考工程經驗，假定滲透系數比值在0.1～4之間變化。圖4所示為C/D=2，Hw=10m時，大致均勻選取4個滲透系數比值所對應的隧道開挖引起開挖面附近孔隙水壓力分布。從圖中可以看出，當滲透系數比大于1時，隧道開挖對孔隙水的擾動范圍在豎直方向較大，水平向較?。环粗?，當滲透系數比小于1時，孔隙水擾動范圍在水平向較大，豎直向較小。kv/kh=0.1時，隧道上部地層孔壓場幾乎沒有變化，而開挖面水平方向上出現較大范圍低值孔壓區(qū)。

圖4 滲透系數各向異性條件下開挖面附近孔隙水壓力分布Fig.4 Pore pressure contours considering the anisotropy of the permeability

圖5 所示為開挖面豎直中心線上滲透速度分量的分布，坐標以豎直向上為正。從圖中可以看出，不同工況下開挖面上滲透速度在兩側較大，中間位置較小，也比較平緩。隨著滲透系數比kv/kh的減小，滲透速度各個分量均不斷減小，尤其是滲透速度的豎直分量。圖中給出了開挖面上滲透速度矢量的示意圖，當滲透系數比較大時，孔隙水的流動傾斜向下，而當滲透系數比較小時，孔隙水則呈水平向流動。由動水力的定義可知

式中：GD為動水力；iw為水頭梯度。

由達西定律可知

式中：k為滲透系數矩陣。將式（20）代入到式（19）后得

可見，動水力的大小和滲透系數規(guī)則化后的滲透速度有關，為了反映滲透系數各向異性對開挖面穩(wěn)定性的影響，計算了開挖面滲透速度的絕對值以及規(guī)則化滲透速度絕對值如圖6所示。隨著滲透系數比kv/kh的增大，開挖面滲透速度絕對值逐漸增大，這說明開挖面附近的滲透力隨著滲透系數比的增大而增大。究其原因，當滲透系數比較大時，開挖面上方的孔隙水受擾動較大，在孔壓梯度的作用下流入開挖面。需要說明的是，上述結論在穩(wěn)態(tài)滲流的假設下得到，在瞬態(tài)滲流條件下結果可能會有所不同。

表1 計算參數Tab.1 Parameters used for stability analysis

圖5 滲透系數各向異性條件下開挖面滲透速度分布Fig.5 Seepage rate along the excavation face considering the anisotropy of the permeability

圖6 開挖面滲透速度對比Fig.6 Comparison of seepage rates on the excavation face

2.4 極限支護力分析

由上述討論可知，滲透系數各向異性對開挖面附近孔壓場及動水力有較大的影響，因而，盾構隧道開挖面極限支護力也會較各向同性條件有很大不同。本節(jié)采用數值極限分析方法，對各種工況下開挖面所需極限支護力及破壞機制進行探討。圖6中所對應的四種滲透系數比條件下，開挖面速度場分布如圖7所示，云圖黑色區(qū)域代表了破壞時土體速度場分布絕對值的大小。可以看出，隨著滲透系數比的減小，破壞區(qū)域的水平范圍逐漸增大；破壞區(qū)域的豎向范圍未見有明顯的影響。另外，破壞面整體形狀也不隨滲透系數比值發(fā)生變化。

圖7 滲透系數各向異性對開挖面破壞機制的影響Fig.7 Effect of permeability anisotropy on the collapse mechanism

圖8 所示為埋深10m時，不同水位條件下開挖面極限支護力隨滲透系數比值的變化，其中piso指的是各向同性條件下所對應的極限支護力。由圖可見，開挖面極限支護力隨滲透系數比值的增加而不斷增加，這和上節(jié)中得到的結論是吻合的。極限支護力的增加速率隨滲透系數比值的增加逐漸減小，最終趨于一個穩(wěn)定值。滲透系數比小于1時，滲透系數各向異性影響較大，滲透系數比大于1時，滲透系數各向異性影響較小。因而，可以將1作為滲透系數比的影響閾值，也就是說，當豎向滲透系數小于水平向滲透系數時，滲透系數各向異性所表現出的特征才更為顯著。與各向同性極限支護力的比值則不隨地表水位而變化，具有完全相同的變化規(guī)律。圖9所示為不同埋深條件下開挖面極限支護力的變化，從圖中可以看出，隨著埋深的減小，開挖面極限支護力逐漸增大，極限支護力隨滲透系數比的變化規(guī)律則是相似的。從規(guī)則化后的極限支護力變化規(guī)律可以發(fā)現，滲透系數各向異性的影響隨著埋深的增加而增大，這主要是由于當埋深較大時，各向異性的巖土體區(qū)域隨之增大。埋深和水位均為10m時，不同內摩擦角條件下，滲透系數各向異性對開挖面極限支護力的影響如圖10所示。從圖中可以看到，不同內摩擦角條件下極限支護力的變化規(guī)律相似，滲透系數比的影響隨著摩擦系數的增加而增大。原因在于極限支護力隨著內摩擦角的增大而迅速減小，當內摩擦角較大時，極限支護力中的滲透力部分較大，從而導致滲透系數各向異性的影響更加明顯。同時，從圖8～圖10中可以發(fā)現，不同工況下，滲透系數比的影響閾值變化不大。

圖8 不同水位條件下滲透系數各向異性對開挖面極限支護力的影響Fig.8 Effect of permeability anisotropy on limit supporting pressure for different water levels

圖9 不同埋深條件下滲透系數各向異性對開挖面極限支護力的影響Fig.9 Effect of permeability anisotropy on limit supporting pressure for different buried depths

圖10 不同內摩擦角條件下滲透系數各向異性對開挖面極限支護力的影響Fig.10 Effect of permeability anisotropy on limit supporting pressure with respect to different friction angles

3 結論

本文基于極限分析理論，結合有限元四面體單元和半正定錐規(guī)劃，建立了三維數值極限分析方法。在此基礎上，結合滲流分析，研究滲透系數各向異性條件下盾構隧道開挖面附近滲流場及開挖面極限支護力的變化規(guī)律，分析滲透系數比對開挖面破壞模式的影響，為盾構隧道安全施工提供重要的參考。主要結論如下：

（1）隨著豎向與水平向滲透系數比的增大，開挖面滲透速度絕對值逐漸增大，這說明開挖面附近的滲透力隨著滲透系數比的增大而增大。原因在于，當豎直向滲透系數較大時，開挖面上方的孔隙水受擾動較大，在孔壓梯度的作用下流入開挖面。

（2）隨著豎向與水平向滲透系數比的減小，開挖面破壞區(qū)域的水平范圍逐漸增大，破壞區(qū)域的豎向范圍未見有明顯影響。破壞面形狀不隨滲透系數比值發(fā)生變化。

（3）不同工況下，開挖面極限支護力隨著豎向與水平向滲透系數比增加不斷增大，增加速率逐漸減小，極限支護力最終趨于一個穩(wěn)定值。滲透系數比值對極限支護力的影響隨著隧道埋深和內摩擦角的增加而增大，不受地表水位的影響。