發(fā)揮聯(lián)想作用深化數學理解

林玉芬

（福建省泉州市豐澤區(qū)第二中心小學）

聯(lián)想是指由一種心理過程引起與之相聯(lián)的另一種心理過程的現(xiàn)象，也就是由一件事物想到另一件事物，由當前的事物回憶起相關的、以往的事物，或由一件事物引發(fā)想到另一件事物。巴甫洛夫認為，一切教學都是各種聯(lián)想的形式。聯(lián)想運用到教學中是指通過觀察，分析、研究對象或問題的特點，與已有的知識和經驗建立聯(lián)系，找出事物的共性，探究解題思路，由此及彼。在數學課堂中恰如其分地聯(lián)想，可以喚起學生對舊知識的回憶，溝通新舊知識之間的聯(lián)系，促進知識的遷移和發(fā)展。聯(lián)想能突破思維定勢，創(chuàng)造性地找到解題策略；能觸類旁通，有助于探究解題規(guī)律；能激發(fā)學生的學習興趣，引發(fā)數學思考，深化數學理解，促進思維的高效發(fā)展。

一、情境聯(lián)想，獨創(chuàng)解題

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出，數學學習活動要激活學生思維，培養(yǎng)學生獨立運用數學知識思考與創(chuàng)造意識，促進學生創(chuàng)新能力的發(fā)展。課堂教學是培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的“主陣地”，而創(chuàng)新能力的習得離不開創(chuàng)造性思維的發(fā)展。創(chuàng)造性思維是一種與眾不同的思考，它包括發(fā)現(xiàn)新事物、揭示新規(guī)律、創(chuàng)造新方法、解決新問題等思維過程。教師要鼓勵學生從教材中走出來，打破課堂空間的狹窄性與單純知識的空洞性瓶頸?？梢詥l(fā)學生運用情境聯(lián)想，把生活與數學緊密聯(lián)系，運用生活經驗解決問題，從而形成對數學知識的理解和有效的解決問題的策略。情境聯(lián)想是學生根據已有的知識和生活經驗想到某個情境，使之成為解決某一問題的原型和依據。教學中，教師有意識地引導學生利用已有的知識、經驗去聯(lián)想，學生就能輕松地解決問題。如題：根據圖1、圖2和圖3，把圖4補充完整。

雖然大部分學生通過引導都會想到用旋轉的知識來解答，但由于有多個圖形，學生在旋轉過程中難免覺得有點亂。有一個學生由暑假去旅游，聯(lián)想到可以讓三角形、圓形、正方形和五邊形也去“旅行”，把每個表格看作有四個不同的景點，每個圖形都要玩這四個景點，哪個圖形沒到過哪個景點就補充進去。

這個學生運用情境聯(lián)想，把數學問題與旅游聯(lián)系，從而產生了新的解決問題的方法。這樣，把數學與生活緊密聯(lián)系，讓枯燥的數學問題變得形象、生動、有趣，讓數學變得簡單好玩，還讓其他學生也豁然開朗：原來數學問題可以用生活經驗幫助解決。從而激發(fā)了學生學習數學的熱情，調動了學生學習數學的積極性和主動性。

二、直覺聯(lián)想，探索發(fā)現(xiàn)

直覺聯(lián)想是在已有知識和經驗的基礎上，依據題目結構或圖形的特點，觀察分析，反復思考，突發(fā)靈感，聯(lián)想頓起，使思路油然而生。在數學教學中，教師若能運用直覺聯(lián)想去引導學生從已有的知識、經驗展開聯(lián)想，積極思考，進而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，就能加深對新知識本質的理解。

三角形三邊之間的關系，對四年級學生來說既陌生又熟悉，因為學生對三角形三邊之間的關系有一定的生活體驗，但又不是很明確。教學時，可以用白板先出示路線圖，提問：小楊同學從家到學校有兩條路可以走，請幫他選一選，走哪條路最近？

學生很快就找到了第二條路最近，但是對于原因，大部分學生是用兩點之間線段最短來解釋的，并沒有發(fā)現(xiàn)與三角形的三邊之間有關系；于是，我提示可以觀察路線圖。這時，有學生憑直覺猜想可能跟三角形的邊有關系，因為這兩條路恰好圍成一個三角形。我順勢抽象出三角形的數學模型，再帶領學生復習三角形的概念，突出圍成即首尾連接，避免操作誤差；然后，引發(fā)學生猜想：如果給你三根小棒當作三條線段，能否圍成一個三角形呢？學生猜想后提出，可以動手操作來驗證自己的猜想是否正確。

在動手操作、探究發(fā)現(xiàn)中可以設置三個環(huán)節(jié)：第一個環(huán)節(jié)是操作嘗試，初步感知三根小棒不一定能圍成一個三角形，那么“圍成”與“圍不成”會與什么有關呢？以問題驅動進一步探索。第二個環(huán)節(jié)是討論交流，探究規(guī)律，學生先分小組討論研究如何比較三角形三邊之間的關系，再全班交流，并明確研究方向為“每組都要任意兩根小棒的長度之和與第三根小棒比較”；接著，學生進行小組活動，填寫實驗報告單；合作完成后，各小組匯報自己的發(fā)現(xiàn)，重點引導學生根據數據比較的結果理清“圍成”與“圍不成”的理由；最后，總結三角形中任意兩邊之和大于第三邊。第三個環(huán)節(jié)是再次質疑，驗證規(guī)律，是不是所有的三角形任意兩邊之和都大于第三邊呢？有什么辦法證明呢？學生經過思考，確定在練習本上隨意畫三角形并通過量、算進行獨立研究。我引導學生對這些三角形進行分類研究，借助不完全歸納法，推出前面發(fā)現(xiàn)的結論具有普遍性，是正確的。這樣，學生通過小組合作實踐操作、觀察、思考，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并親自體驗“在一個三角形中，任意兩邊之和大于第三邊”這一結論的普遍性。

學生利用自己的直覺進行假設、猜想，再通過驗證來證實自己的假設，最終總結規(guī)律，探索出解決問題的新方法，使原有知識結構得到補充、改造和逐步完善，拓寬了知識領域，培養(yǎng)了創(chuàng)造性思維。

三、類比聯(lián)想，生成模型

類比聯(lián)想是把類似的問題放到一起進行對比，使學生受到啟發(fā)，進而產生聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，生成模型。它往往能把復雜的問題簡單化，讓學生更深入地理解數學本質。

在教學“乘法分配律”時，我首先利用多元表征，引導學生初探意義。給學生提供探究單，里面有現(xiàn)實原型：上衣每件42元，褲子每件38元，買了5套；有幾何模型：大長方形的長7米，寬2米，小長方形的長3米，寬2米；有棋子圖。學生根據情境圖的數學信息提出問題，并確定要解決的問題是：①買5套這樣的衣服要用多少元？②他們的面積一共是多少平方米？③一共有幾個棋子？學生選擇其中的一個問題用不同的方法列出綜合算式并解答，交流匯報每種算法的解題思路，結合課件重點理清每一步表示的意義。這樣，通過引導學生感悟多元數學表征，并在討論交流、補充質疑中，深入理解算理，就形成了對乘法分配律初步的感知。

其次，利用表征，生成模型。本環(huán)節(jié)有三個活動。第一個活動是分類整理，初次建模。我提出問題：“你會對這些算式進行分類嗎？”學生通過觀察思考，獨立對這些算式進行分類，并說清分類理由。根據算式結構分類，一類是兩個數的和乘以一個數，一類是一個乘數分別與兩個數相乘，再把積相加；溝通這些算式之間的聯(lián)系，把計算結果相等的兩個算式用等號連接起來；啟發(fā)思考：為什么左右兩邊算式不一樣，可結果卻是一樣呢？引導學生運用乘法的意義解釋。如，第一個問題左邊是求80個5是多少，右邊 是 用48個5加32個5也等于80個5，發(fā)現(xiàn)這 三個等式的左右兩邊都是求相同的幾個幾所以才相等；比較左右兩邊算式的異同點，發(fā)現(xiàn)相同因數與不同因數。

這樣，通過分類整理，讓學生聚焦算式、觀察特點，發(fā)現(xiàn)兩類算式的不同結構特征；再通過尋找有聯(lián)系的兩個算式，感受等值變形的特點，初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即一個數乘兩個數的和等于這個數分別乘這兩個加數所得的積的和。

第二個活動是再次建模，驗證規(guī)律。我引導學生質疑：像這樣的等式還有嗎？針對這個問題分五步走，一是播放乘法分配律的小故事；二是進行猜想游戲，讓學生根據課件出示的算式，推想出結果與之相等的不同算式；三是學生獨立仿寫算式，分別算出每個算式的計算結果，驗證等式是否成立，再小組交流；四是收集展示學生作品，并思考這些等式有什么共同特點，發(fā)現(xiàn)他們都是一個數乘兩個數的和等于這個數分別乘這兩個加數所得的積的和，反之也成立；五是學生發(fā)揮想象，結合具體事例，通過圖示（方塊圖、線段圖、點子圖等），進一步理解前面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

第三個活動是建構模型，表述規(guī)律。我提出問題：“能用一個等式表示出所有的等式嗎？”讓學生可以用圖形、文字或者是字母等各種符號試著來寫一寫、畫一畫；在交流中，學生創(chuàng)造了多樣化的、富有個性的表示方法；學生通過比較個性化的符號表示，認為統(tǒng)一字母表示方法最簡潔。

學生經歷了一個由具體數值計算到符號表達的過程，通過問題情境、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、舉例驗證、規(guī)律表達。引導學生經歷提出問題、探索發(fā)現(xiàn)、建立模型、簡化模型的建模過程，還引發(fā)了更多的學生關注到算式的變化規(guī)律，促進了自主創(chuàng)造。通過多種方式解釋驗證，以內在不變的“理”，理解外在變化的“形”，經歷從具體到抽象，從個別到一般的建模過程，并滲透數形結合思想、由特殊到一般的數學思想，發(fā)展了邏輯思維能力及推理能力。

四、方法聯(lián)想，擴散思維

方法聯(lián)想是將數學中常用的解題方法、思路互相靈活地聯(lián)想運用，擴散思維。教學中，教師堅持不懈地引導學生從已有知識、方法聯(lián)想到與之相似、接近的知識、方法，把學生的求知欲與思考引向新的領域，可以使學生逐步形成由此及彼的聯(lián)想能力，以激發(fā)求異意識，引導學生離開原有的思維軌道，聯(lián)想到別的思維方式，實現(xiàn)求異思維。

有這樣一道題：一個鐵塊體積為500立方厘米，完全浸入棱長為10厘米的正方體容器的水中，若原來水深7厘米，水會溢出嗎？學生用了兩種方法來求解：一是先求出水的體積和鐵塊的體積一共有多少立方厘米，再求出正方體的容積，最后進行比較，發(fā)現(xiàn)水會溢出，計算溢出了多少立方厘米；二是先求出正方體容器剩下的空間，再與鐵塊的體積進行比較。在用這兩種方法解答后，我提問：“還有其他方法嗎？”整個課堂中一片寂靜。我提示：“能從高度直接比嗎？”經過啟發(fā)，學生跳出了原有的思維方式，用鐵塊的體積（上升的水的體積）÷正方體容器的底面積＝上升的水的高度（5厘米），再用5+7-10＝2厘米，由此判斷水會溢出。當學生能從多角度思考問題，靈活、貫通地用不同的方法解決問題，并進行對比時，他們就能發(fā)現(xiàn)比較優(yōu)化的方法，提升了思維能力。

總之，聯(lián)想是一種重要的思維方式，在小學數學教學中，運用聯(lián)想教學法，可以使抽象問題具體化，可以建立知識之間的內在聯(lián)系，指引學生由此及彼，提高新知的發(fā)現(xiàn)能力和創(chuàng)新能力，讓數學課堂充滿活力，讓學生思維充分發(fā)展。