基于雙因子已實現(xiàn)GARCH模型的波動率預(yù)測研究

吳鑫育，侯信盟

(安徽財經(jīng)大學(xué) 金融學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

0 引言

成熟的股票市場具有引導(dǎo)資源流向、優(yōu)化資源配置等功能，可在一定程度上提前反映出經(jīng)濟的未來發(fā)展形勢。在學(xué)術(shù)界，對股票市場的研究一直都是學(xué)者們熱衷的話題，其中金融資產(chǎn)價格波動率在衍生產(chǎn)品定價、投資組合分配和風(fēng)險管理等領(lǐng)域扮演著重要的角色。如何準(zhǔn)確地對市場波動率進行建模和預(yù)測成為學(xué)術(shù)界主流研究方向的一個熱門分支，在此領(lǐng)域也不斷涌現(xiàn)出新的研究成果。

Engle[1]利用當(dāng)時已有的日度類相關(guān)低頻數(shù)據(jù)，提出了自回歸條件異方差(ARCH)模型，為波動率建模提供了一個新的思路。模型形式雖然簡單，但在實際度量波動率的過程中，往往需要滯后很多期才能達到較好的擬合效果，所帶來的直接問題就是要估計冗長的參數(shù)項。Bollerslev[2]為了更準(zhǔn)確的描述時間序列尾部的分布特征，對ARCH模型進行了改進，提出廣義自回歸條件異方差(GARCH)模型。該模型既保留了條件方差中的資產(chǎn)收益率信息，同時加入條件方差自回歸項。這樣一方面避免了滯后參數(shù)過多的問題，另一方面提高了模型的預(yù)測精度。在GARCH模型的基礎(chǔ)上，經(jīng)由許多學(xué)者進行探索，又相繼衍生出GJR-GARCH[3]、FIGARCH[4]、HYGARCH[5]等眾多計量模型。以上模型在建模中使用的多是日度數(shù)據(jù)和周度數(shù)據(jù)等，這種低頻數(shù)據(jù)雖然容易獲取，但不足之處是丟失了很多日內(nèi)交易的信息，無法較為準(zhǔn)確的捕捉市場的波動情緒，最終降低了模型的預(yù)測能力[6,7]。

隨著金融市場信息采集技術(shù)的日趨成熟，高頻數(shù)據(jù)的獲取變得更加容易，利用高頻數(shù)據(jù)建模并將其應(yīng)用于市場波動率預(yù)測逐漸成為一種研究趨勢。尤其是Andersen和Bollerslev[8]提出的已實現(xiàn)方差RV，其定義是日內(nèi)高頻收益率平方之和，被大量學(xué)者接納采用，通過對現(xiàn)有模型不斷完善后應(yīng)用于各領(lǐng)域的研究之中。Hansen等[9]考慮到交易時間的非連續(xù)性和市場微觀結(jié)構(gòu)噪聲等因素的影響，提出了已實現(xiàn)的GARCH模型，在標(biāo)準(zhǔn)的GARCH模型基礎(chǔ)上引入已實現(xiàn)的方差，模型的預(yù)測能力有明顯改善，之后被廣泛關(guān)注。Tian和Hamori[10]利用已實現(xiàn)的GARCH模型來估計歐元——日元市場短期利率的日波動性，發(fā)現(xiàn)該模型從已實現(xiàn)的方差中提取的高頻收益信息可以更好的擬合數(shù)據(jù)并提供更準(zhǔn)確的波動率預(yù)測。Sharma和Vipul[11]利用標(biāo)準(zhǔn)GARCH模型、僅使用日收益率改進的標(biāo)準(zhǔn)GARCH模型和已實現(xiàn)的GARCH模型對比預(yù)測了16只國際股票約14年的樣本數(shù)據(jù)，通過對比各模型的損失準(zhǔn)則函數(shù)，發(fā)現(xiàn)已實現(xiàn)的GARCH模型在數(shù)據(jù)預(yù)測方面有更好的預(yù)測能力。Jiang等[12]把已實現(xiàn)的GARCH模型引入到對標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)期貨收益率日波動性建模中，發(fā)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)已實現(xiàn)的GARCH模型為樣本內(nèi)數(shù)據(jù)提供了較好的波動性估計，為樣本外數(shù)據(jù)預(yù)測提供了實質(zhì)性改進，模型表現(xiàn)優(yōu)異。王天一等[13]利用已實現(xiàn)的GARCH模型對滬深300指數(shù)波動率進行了預(yù)測，通過與標(biāo)準(zhǔn)GARCH模型、EGARCH模型相比，新模型在指數(shù)分布和波動率預(yù)測方面表現(xiàn)最佳。基于已實現(xiàn)GARCH模型研究也在不斷創(chuàng)新：與已實現(xiàn)極差結(jié)合[14]、偏t分布下考慮高低頻數(shù)據(jù)的尾部風(fēng)險估計[15]、引入混頻的已實現(xiàn)GARCH模型[16]等。

Ding和Granger[17]發(fā)現(xiàn)波動率反映價格變動的效果并非一成不變，在現(xiàn)實中，一些波動率測度了金融資產(chǎn)價格的大幅度變化，變動持續(xù)時間并不會很長；有的波動率則反映了價格小范圍內(nèi)變化，但這種變化的持續(xù)時間可能會很長。Engle和Lee[18]建立的成分模型也捕捉到了數(shù)據(jù)所表現(xiàn)出的長記憶性，體現(xiàn)為絕對收益或者平方收益自相關(guān)函數(shù)所具有的較為平緩的雙曲線性衰退的能力(長記憶性)。成分模型被分解為兩個GARCH(1，1)相加的形式，也就是(長期)趨勢項方程和(短期)非持續(xù)項方程的加性分解。Engle和Rangel[19]、Engle等[20]論證了相比于加性分解，乘性分解則更匹配含有高斯白噪聲的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。國內(nèi)學(xué)者陳雙和馮成驍[21]利用GARCH族模型對國際石油價格波動性進行分析，發(fā)現(xiàn)油價波動性具有短期成分和長期成分之分，短期成分會收斂到零，而長期成分會緩慢收斂到穩(wěn)定的波動率上。

基于已有學(xué)者的研究基礎(chǔ)，文章嘗試構(gòu)造(方差)雙因子已實現(xiàn)GARCH(T-RGARCH)模型。第一，將模型中條件方差乘性分解為短期波動和長期波動兩部分，通過構(gòu)造符合自身數(shù)量結(jié)構(gòu)特征的方差方程分別計算，并假定短期成分長期來看收斂于零值，而長期波動成分則收斂于穩(wěn)定的波動率上。第二，在指標(biāo)選取方面，雖然RV計算方法簡單，一直被認為是積分波動率(IV)的一致估計量，應(yīng)用普遍。但RV自身也存在不足之處，一方面在較高的數(shù)據(jù)采集頻率下，仍舊無法剔除市場噪聲的干擾；另一方面，即使采用5分鐘高頻數(shù)據(jù)，RV也只是收集了時間段內(nèi)兩頭的數(shù)據(jù)，忽略了該時間段內(nèi)價格波動的峰值和谷值的情緒信息，這同樣會造成信息丟失的問題。Barndorff-Nielsen等[22]提出了已實現(xiàn)的核波動(Realized Kernel Volatility, RK)并驗證了RK比RV有更高的估計精度。王春峰等[23]從估計結(jié)果的穩(wěn)定性考慮，驗證了RK方法優(yōu)于RV。鑒于此，本文實證部分將利用RV、RK兩個變量來考察模型表現(xiàn)。第三，在分解后的短期方程和長期方程中均加入杠桿函數(shù)，來捕捉數(shù)據(jù)的非對稱性的特點。本文選取了上證綜合指數(shù)和日經(jīng)指數(shù)為研究對象，利用相關(guān)高頻數(shù)據(jù)進行模型參數(shù)估計和預(yù)測效果評價，比較雙因子已實現(xiàn)GARCH模型和標(biāo)準(zhǔn)已實現(xiàn)GARCH模型的擬合效果。

1 模型介紹

1.1 已實現(xiàn)的GARCH模型

Hansen等引入了一個新的框架結(jié)構(gòu)——已實現(xiàn)的GARCH模型，將收益率和波動率的已實現(xiàn)測度作為內(nèi)生變量納入標(biāo)準(zhǔn)的GARCH模型中，可對收益率和資產(chǎn)波動率交互關(guān)系進行更便捷的建模。已實現(xiàn)的GARCH(p,q)表述如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

已實現(xiàn)的GARCH模型應(yīng)用了ARMA結(jié)構(gòu)，具有模型結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、參數(shù)易于估計、對波動率和已實現(xiàn)測度可實現(xiàn)多步預(yù)測等優(yōu)勢。但模型也有不足，隨著日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)在計量金融時間序列的廣泛應(yīng)用，追蹤波動率動態(tài)變化的長期記憶性，細化分解方差結(jié)構(gòu)，捕捉更精確的噪聲新息也成為模型演進的方向之一。同標(biāo)準(zhǔn)的GARCH模型一樣，已實現(xiàn)的GARCH在此方面并沒有足夠的改進，因此我們嘗試在模型的這一方面進行改進，提出新模型。

1.2 雙因子已實現(xiàn)的GARCH模型

基于已實現(xiàn)的GARCH模型，對雙因子已實現(xiàn)的GARCH模型描述如下:

(5)

ht=ltst

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

loglt=ω+β1loglt-1+γ1(τ(zt-1)+ut-1)

(11)

logst=β2logst-1+γ2(τ(zt-1)+ut-1)

(12)

雙因子已實現(xiàn)的GARCH模型參數(shù)可以通過極大似然法估計得出。模型對數(shù)似然函數(shù)可以寫為:

LogL(r,x;Θ)

(13)

其中，變量Θ是模型中的參數(shù)向量組。由此，雙因子已實現(xiàn)的GARCH模型中的參數(shù)估計可通過下式實現(xiàn):

(14)

2 實證研究

2.1 數(shù)據(jù)搜集與整理

通過Wind資訊終端數(shù)據(jù)庫和Oxford-ManInstitute of Quantitative Finance數(shù)據(jù)庫，本文搜集了上證綜合指數(shù)(SSEC)和日經(jīng)指數(shù)(N225)日收盤價和5分鐘高頻交易價格作為研究樣本。在運算中設(shè)定第t個交易日的收盤價取對數(shù)后記為pt,當(dāng)日收益率記為rt=(pt-pt-1)。共搜集上證綜指自2000年1月4日到2019年3月22日共計4639個交易日的相關(guān)數(shù)據(jù)，日經(jīng)指數(shù)采自2000年2月2日到2019年3月22日共計4680個交易日的相關(guān)數(shù)據(jù)。

表1給出了SSEC日收益率rt、已實現(xiàn)方差RVt和已實現(xiàn)核波動RKt及其對數(shù)形式的相關(guān)描述性統(tǒng)計。從表1中可以看出，指數(shù)的日收益率rt均值接近于0，(無條件)偏度小于0，即圖像分布呈現(xiàn)左偏特性，(無條件)峰度大于3，圖像表現(xiàn)為尖峰厚尾的特征，Jarque-Bera統(tǒng)計量顯著，拒絕正態(tài)分布假定。已實現(xiàn)方差RVt，偏度、峰度均為正值，且Jarque-Bera統(tǒng)計量顯著，也拒絕了正態(tài)分布的假定。但經(jīng)對數(shù)處理后的log(RVt)的偏度接近于0、峰度接近于3，Jarque-Bera統(tǒng)計量在數(shù)值上已經(jīng)絕對降低。已實現(xiàn)核波動RKt的數(shù)據(jù)分布特征與RVt相似，Jarque-Bera統(tǒng)計量數(shù)值仍舊很大，拒絕正態(tài)分布的假定。經(jīng)對數(shù)處理后，Jarque-Bera統(tǒng)計量明顯下降。表2給出了日經(jīng)指數(shù)日收益率rt、已實現(xiàn)方差RVt和已實現(xiàn)核波動RKt的描述性統(tǒng)計。其分布特征與上證綜指相似。具體數(shù)值如下表所示：

表1 SSEC日收益率rt、已實現(xiàn)方差RVt及其對數(shù)值、已實現(xiàn)核波動RKt及其對數(shù)值的描述性統(tǒng)計

表2 N225日收益率rt、已實現(xiàn)方差RVt及其對數(shù)值、已實現(xiàn)核波動RKt及其對數(shù)值的描述性統(tǒng)計

2.2 參數(shù)估計結(jié)果與模型比較

將收集到的數(shù)據(jù)進行整理后，選取上證綜指2000年1月4日到2014年12月31日、日經(jīng)指數(shù)2000年2月2日到2014年12月31日相關(guān)數(shù)據(jù)，作為樣本內(nèi)數(shù)據(jù)組，用于估計模型的相關(guān)參數(shù)。運用極大似然估計的方法對標(biāo)準(zhǔn)GARCH模型、已實現(xiàn)GARCH模型和雙因子已實現(xiàn)GARCH模型的各項參數(shù)進行估計。通過Matlab進行編程計算最終可得到各模型參數(shù)估計的結(jié)果及其各自對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)誤差、對數(shù)似然值(log-lik)、赤池信息準(zhǔn)則值(AIC)和貝葉斯信息準(zhǔn)則值(BIC)。表3、表4列出了上述各數(shù)值，具體如下:

表3 參數(shù)估計結(jié)果(RVt)

橫向第一組數(shù)據(jù)代表了長期方差的信號趨勢，第二組數(shù)據(jù)主要考察指數(shù)的杠桿效應(yīng)，第三組數(shù)據(jù)捕捉了短期方差的走勢。通過分析表3、表4的估計結(jié)果可以看出，已實現(xiàn)的GARCH模型的長期方差持續(xù)性系數(shù)(β+γ)、雙因子已實現(xiàn)的GARCH模型的長期方差持續(xù)性系數(shù)(β)的估計值都非常接近于1，這說明指數(shù)SSEC和N225具有很明顯的波動率持續(xù)性特征。四個杠桿方程中的系數(shù)τ1、τ2的估計值均十分顯著，而且τ1的估計值均小于零，τ2的估計結(jié)果均大于0，這說明指數(shù)SSEC和N225的長期、短期波動率具有明顯的非對稱性(杠桿效應(yīng))。相比于N225的估計結(jié)果，SSEC的雙因子已實現(xiàn)GARCH的模型中的(長期)方差方程中持續(xù)性系數(shù)β1明顯大于短期方差方程的持續(xù)性系數(shù)β2，說明本模型對SSEC的估計效果更好。

判斷模型擬合效果的依據(jù)是對數(shù)似然函數(shù)值(Log-lik)、赤池信息準(zhǔn)則(AIC)和貝葉斯信息準(zhǔn)則(BIC)。具體來說，對數(shù)似然函數(shù)值越大，赤池信息準(zhǔn)則(AIC)和貝葉斯信息準(zhǔn)則(BIC)數(shù)值越小，說明模型擬合效果越好。兩指數(shù)在已實現(xiàn)GARCH的模型和雙因子已實現(xiàn)的GARCH的方差似然值(Log-lik1)比GARCH模型表現(xiàn)要好，說明兩模型較原始的GARCH模型有改進。SSEC中雙因子已實現(xiàn)GARCH的模型的的Log-lik1、Log-lik2比已實現(xiàn)的GARCH模型有明顯的提升，再比較AIC、BIC的值，兩值在數(shù)值是也呈現(xiàn)變小的趨勢。綜上分析可以判定，在SSEC參數(shù)估計中，雙因子已實現(xiàn)的GARCH模型的估計效果要明顯好于已實現(xiàn)的GARCH模型和GARCH模型。

表4 參數(shù)估計結(jié)果(RKt)

通過對比N225指數(shù)的各項數(shù)值，可以發(fā)現(xiàn)相同的結(jié)論。分別將RVt、RKt視為代理變量，雙因子GARCH模型的極大似然估計值要比前兩個模型都要大。同樣的，改進的模型中AIC、BIC的數(shù)值比已實現(xiàn)GARCH模型的值要小。這進一步說明，新模型在N225指數(shù)參數(shù)估計方面也確有改進。

2.3 樣本外預(yù)測

中國股市2015年到2016年經(jīng)歷了斷崖式下跌，短期內(nèi)震蕩劇烈，由5300余點快速下跌至3000多點，同期日經(jīng)指數(shù)也經(jīng)歷了一次大規(guī)模的倒V形波動，由近15000點上漲至21000點左右后下跌至16000余點。本文在選取樣本外預(yù)測時間段時，充分考慮了這一現(xiàn)實情況。選取2014年11月至2016年6月上證綜指和日經(jīng)指數(shù)的連續(xù)數(shù)據(jù)作為高波動期樣本，合計300個。考慮到近期兩股市波動相比之前均較柔和，另外選取截至2019年3月22日前(含)連續(xù)的400個數(shù)據(jù)作為低波動期樣本進行預(yù)測，檢驗?zāi)Ｐ偷念A(yù)測效果。

樣本外預(yù)測采用滾動時間窗方法。具體做法是在估計樣本中每增加一個新的觀測值時，刪除相應(yīng)樣本中的第一個觀測值并重新估計模型，如此不斷重復(fù)這個過程，直到添加完兩樣本最后一個樣本外日期所對應(yīng)的數(shù)據(jù)。通過這種方法，可以獲得條件方差的預(yù)測值ht，將預(yù)測的條件方差與相對應(yīng)已實現(xiàn)方差RV(RK)進行比較，來評價模型樣本外的預(yù)測效果。通常選用的損失函數(shù)指標(biāo)有均方根誤差(MSE)、平均絕對誤差(MAE)、平均絕對百分比誤差(MAPE)和擬似然函數(shù)(QLIKE)。

(15)

(16)

(17)

(18)

其中L為SSEC和N225的樣本外數(shù)據(jù)長度(個數(shù))，m為估計波動率所采用的模型(已實現(xiàn)的GARCH模型和雙因子已實現(xiàn)的GARCH模型兩種)。評判標(biāo)準(zhǔn)是各損失函數(shù)對應(yīng)的結(jié)果，其數(shù)值越小，模型的改進效果越好。

表5 上證綜指樣本外評價

表6 日經(jīng)指數(shù)樣本外評價

表5、表6給出了兩種模型的評價指標(biāo)數(shù)值。從上表可以看出，無論是SSEC還是N225，在采樣區(qū)間內(nèi)，雙因子已實現(xiàn)GARCH模型的預(yù)測效果都明顯好于已實現(xiàn)的GARCH模型，也就是說雙因子已實現(xiàn)GARCH模型對兩樣本數(shù)據(jù)有更好的預(yù)測效果。

2.4 DM檢驗

(19)

表7 上證綜指、日經(jīng)指數(shù)在不同時期的DM檢驗結(jié)果

通過查閱標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位數(shù)表，可知道1%、5%、10%的顯著性水平分別對應(yīng)分位數(shù)為2.57、1.96、1.64。在高波動期，當(dāng)被解釋變量選RK時，上證綜指的新模型預(yù)測有一定改進，但在5%的置信水平下，改進效果并不明顯。除此之外兩種指數(shù)7種情況的DM統(tǒng)計值均大于1.96，說明在5%的顯著性水平下，新模型的預(yù)測效果改進還是明顯的。

3 結(jié)束語

金融系統(tǒng)的穩(wěn)健運營對投資者和監(jiān)管者來說都是至關(guān)重要的。個體投資者作為金融市場的重要參與者，掌握充足的金融市場知識，洞悉市場行情，建立合理、高效的投資方案，合理預(yù)測金融市場風(fēng)險，對于保障自身資金安全，獲取可觀收益都是非常重要的。對于市場監(jiān)管者而言，維護金融市場正常的金融秩序，一方面可以增加投資者對國內(nèi)市場改革的信心，增強市場資金的流動性，進一步活躍市場情緒；另一方面，可以促進實體經(jīng)濟健康發(fā)展，為企業(yè)擴大融資規(guī)模、不斷進行市場化改革進程提供堅實的保障。風(fēng)險的一個衡量標(biāo)準(zhǔn)就是資產(chǎn)價格的波動率，因此，更加準(zhǔn)確的預(yù)測波動率，無論是對市場監(jiān)管者還是參與者而言，都是從源頭保障資金安全的一個重要舉措。

本文提出的雙因子已實現(xiàn)的GARCH模型是對Hansen等提出已實現(xiàn)的GARCH模型進行方差分解的改進。原模型的僅通過方差方程建立了方差與已實現(xiàn)波動率測度的聯(lián)系，在捕捉波動率長、短期記憶方面并沒有加以區(qū)分。本模型則考慮了長、短期波動率方差的交互影響，分別構(gòu)造長期方差方程和短期方差方程，刻畫已實現(xiàn)方差對長期、短期方差施加的不同影響。通過對上證綜合指數(shù)和日經(jīng)指數(shù)的實證研究我們可以看到，在已實現(xiàn)的GARCH模型中加了相互獨立的雙因子方程，模型可以更好的捕捉波動率的長記憶性，通過對比RV、RK兩個代理變量的損失準(zhǔn)則函數(shù)，發(fā)現(xiàn)改進后的模型不僅保留了原有模型的靈活性，而且在波動率預(yù)測方面有一定的提高。這對研究波動率預(yù)測、期貨、期權(quán)的資產(chǎn)定價和風(fēng)險管理都有一定的理論貢獻。