基于混沌集群智能優(yōu)化算法的多目標(biāo)粗糙集屬性約減

李雪巖,李學(xué)偉,李 靜

(1.北京聯(lián)合大學(xué) 管理學(xué)院,北京 100101; 2.北京交通大學(xué) 經(jīng)濟管理學(xué)院,北京 100044)

0 引言

1982年，波蘭數(shù)學(xué)家Pawlak發(fā)表了經(jīng)典論文Rough Sets，標(biāo)志著粗糙集理論的誕生[1]。自該理論誕生，粗糙集已在數(shù)據(jù)挖掘、模式識別、機器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域與其他方法進行了廣泛的結(jié)合，日益成為這些領(lǐng)域的重要方法；在應(yīng)用方面，粗糙集在故障診斷[2]、生物醫(yī)學(xué)[3]、風(fēng)險評估[4]等領(lǐng)域也得到了廣泛的應(yīng)用。近年來，隨著大數(shù)據(jù)與智能計算技術(shù)的不斷發(fā)展，粗糙集的知識提取、特征選擇等功能更加具有重要的理論及實踐意義。

屬性約減是粗糙集的重要計算模式，對于一個知識系統(tǒng)，屬性約減就是在保持系統(tǒng)分辨能力不變的情況下，刪去冗余數(shù)據(jù)，挖掘出關(guān)鍵屬性。大數(shù)據(jù)背景下，各行業(yè)的管理活動會產(chǎn)生海量數(shù)據(jù)，但數(shù)據(jù)價值密度也隨之降低，因此，通過屬性約減技術(shù)刪去冗余數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵特征，保持知識(數(shù)據(jù))系統(tǒng)的分辨能力尤為重要[5]。

從優(yōu)化問題的角度而言，搜索數(shù)據(jù)集的最優(yōu)屬性組合是典型的NP-Hard問題，智能優(yōu)化算法常被用來求解此類問題，如傳統(tǒng)的遺傳算法[6]等。然而，知識系統(tǒng)之間具有數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)量、屬性特征的差異，不同的算法也會產(chǎn)生尋優(yōu)性能的差異，對于由復(fù)雜數(shù)據(jù)集構(gòu)成的NP-Hard問題，智能算法的引入有效提升了屬性約減的精確程度。

就管理實踐中的問題而言，粗糙集中的決策屬性體現(xiàn)了論域內(nèi)研究對象在條件屬性的作用下形成的產(chǎn)出或決策結(jié)果，大數(shù)據(jù)背景下，數(shù)據(jù)來源眾多，相同的條件屬性往往會在不同的決策情境下對應(yīng)于不同的決策屬性，這些在不同決策情景下形成的決策屬性集合之間會產(chǎn)生差異甚至矛盾，對于相同的研究對象、不同的決策層次、決策場景也會產(chǎn)生不同的決策方案。在拓展粗糙集的決策屬性分析維度方面，文獻[7]基于區(qū)間值粗糙集理論，針對多個決策表設(shè)計了可以有效減小網(wǎng)絡(luò)通信量的全局約減算法；文獻[8]將測試成本和決策成本作為約簡目標(biāo)，提出基于特定類的多目標(biāo)啟發(fā)式屬性約簡算法；既有文獻較多集中于求解高維數(shù)據(jù)條件下的全局屬性約減問題，但對不同決策屬性集之間的差異協(xié)調(diào)問題討論較少。

由于單一決策屬性的粗糙集約減問題可以轉(zhuǎn)化為以屬性重要程度為目標(biāo)函數(shù)、以條件屬性組合為變量的優(yōu)化問題[9]，因此本文對這一思想進行延伸，對多決策屬性約減問題進行方法創(chuàng)新，將帕累托最優(yōu)思想與多決策屬性粗糙集約減問題進行有機結(jié)合，利用帕累托前沿描述不同決策屬性之間的協(xié)調(diào)機制，形成離散多目標(biāo)優(yōu)化問題。對于離散多目標(biāo)優(yōu)化問題，在變量數(shù)目較多的情況下，一些傳統(tǒng)的求解算法容易陷入局部最優(yōu)或無法搜索到完整的帕累托前沿，因此需要引入合適的算法并對其進行相應(yīng)改進[10,1]。近年來，隨著多目標(biāo)優(yōu)化算法的不斷成熟，越來越多的研究表明：具有群體交互機制的集群智能算法往往可以取得更好的優(yōu)化效果[12,13]；有效平衡算法的全局收斂性與種群多樣性已成為提升計算性能的重要手段[14]；在既有的嘗試中，混沌算子的使用已被廣泛證明可以用較小的計算代價換取算法搜索空間的增加，進而提升算法性能[15]。

綜上，本文的工作可分為以下兩步，首先依據(jù)管理實踐及數(shù)據(jù)處理中的實際需求，將多決策屬性粗糙集約減問題轉(zhuǎn)化為離散多目標(biāo)優(yōu)化問題；第二，針對該問題的結(jié)構(gòu)設(shè)計基于集群智能優(yōu)化的求解算法及有效平衡全局收斂性與種群多樣性的算子；最后，通過實際數(shù)據(jù)約減問題驗證本文方法的有效性。

1 多決策屬性粗糙集模型

1.1 粗糙集屬性約減問題

依據(jù)粗糙集的基本原理，數(shù)據(jù)集合可以表示為一個知識表達系統(tǒng)：S=，其中，論域U={x1,x2,…,xK}表示對象集合；A=C∪D,C為條件屬性集合，D為決策屬性集合；V表示條件屬性與決策屬性的取值范圍；f是一個信息函數(shù)，為論域U中的每一個對象的每個屬性賦值。

定義1論域U中元素a等價的所有元素構(gòu)成的集合[a]R={b∈U│aRb}稱為a關(guān)于等價關(guān)系R的等價類。其中，R為論域乘積U×U={(a,b)│a,b∈U}的子集，aRb也可寫為(a,b)∈R。

定義2K=(U,R)表示知識庫，其中，R為U上的一族等價關(guān)系，如果P?R，且P≠?，則P中所有等價關(guān)系的交∩P也是U上的等價關(guān)系，這個關(guān)系叫做由P給出的不可區(qū)分關(guān)系，記作IND(P)，對于知識庫K，記IND(K)={IND(P)│?≠P?R}。

定義3給定知識庫K=(U,R),則對于?X?U和論域U上的一個等價關(guān)系R∈IND(K)，子集X的下近似集與上近似集可分別表示為:

(1)

(2)

定義4知識的約減。設(shè)K=(U,R)為知識庫，Q?P?R，R∈P。

(1)如果IND(P)=IND(P/{R} )，則稱R在P中是不必要的；否則，稱R在P中是必要的，P中所有必要的等價關(guān)系組成的集合稱為P的核，記作CORE(P)。

(2)如果P中的每個等價關(guān)系在P中都是必要的，則P是獨立的。

(3)如果Q是獨立的，并且IND(Q)=IND(P)，則Q為P的一個約減，P的所有約減組成的集合記作RED(P)。

對于由知識表達系統(tǒng)S=構(gòu)成的決策表，不同的條件屬性對于決策屬性具有不同的重要性，屬性約減則是通過從決策表中刪除某些條件屬性，然后考察刪除這些條件屬性后決策表產(chǎn)生的信息處理能力變化來判斷條件屬性的重要程度。這種信息處理能力的變化由知識的依賴度以及屬性的重要性程度來表示：

(3)

(3)式表示決策屬性對條件屬性的依賴度；條件屬性c相對于決策屬性D的重要性程度可表示為:

SIGc=γC(D)-γC-c(D)

(4)

進一步，構(gòu)成各個條件屬性與決策屬性的數(shù)據(jù)集可能會來源于多個領(lǐng)域，不同的條件屬性與決策屬性對論域中的對象都會形成基于等價關(guān)系的劃分，而在同一個決策表中，僅基于等價關(guān)系的劃分未必能夠?qū)Σ煌臈l件屬性或決策屬性產(chǎn)生有效識別，例如，令U={a,b,c,d,e,f,g}，X={a,b,d,e,g}，令R1與R2分別表示兩種定義在U上的等價關(guān)系(R1與R2為條件屬性或決策屬性)，假設(shè)R1與R2所產(chǎn)生的等價劃分分別為U/R1={{a,b,d},{e,c,f,g} }，U/R2={{a,b},j5i0abt0b,{e,c,f,g} }，則X關(guān)于R1與R2的下近似集均為{a,b,d}，依據(jù)(3)式可得R1與R2對應(yīng)的屬性重要性程度均為card[POSR1(X)]/card(U)=card[POSR2(X)]/card(U)=3/7。因此，(3)式的計算方式會產(chǎn)生屬性重要性程度的計算誤差。針對這一問題，本文引入知識分辨度的概念描述不同的等價關(guān)系[16]：

定義5令R為知識表達系統(tǒng)S中的等價關(guān)系，U/R={X1,X2,…,Xn}，X1,X2,…,Xn表示等價類，則基于等價關(guān)系R的知識粒度可以表示為:

(5)

定義6令Reso(R)表示由等價關(guān)系R確定的知識分辨度，則有:

Reso(R)=1-Gran(R)

(6)

(7)

基于(4)式，條件屬性c的重要性程度表示為:

(8)

可見，(7)式在(3)式的屬性依賴度基礎(chǔ)上同時考慮了等價類劃分的差異，從而能夠使等價關(guān)系對不同的條件屬性產(chǎn)生有效識別。

1.2 多目標(biāo)優(yōu)化思想的引入

屬性約減的目標(biāo)是要找到約減后的條件屬性組合{ci,cj,ck,…}，使決策表在保持原有分類能力不變的前提下, 去除數(shù)據(jù)中的冗余信息。該問題可以表示為一個以知識依賴度為目標(biāo)函數(shù)，以條件屬性組合方式為變量的優(yōu)化問題:

maxSIG{x1,…,xm},xi=0,1

(9)

其中，m為條件屬性總數(shù)；xi為0-1變量，表示第i個條件屬性是否為重要屬性，SIG表示條件屬性相對于決策屬性的重要性程度。傳統(tǒng)粗糙集決策表中，決策屬性的設(shè)計大多較為單一，在現(xiàn)實的管理實踐活動中，論域中的研究對象往往也會具有來自不同角度的多種決策輸出(如不同部門的處理意見等)，多種決策輸出之間可能具有一定差異性，而這些決策輸出又往往難以獲得基于先驗知識的數(shù)據(jù)支持，可見，具有多決策屬性的粗糙集顯然更加符合實際決策情景。因此，本文將多目標(biāo)優(yōu)化思想引入粗糙集屬性約減方法，研究多決策屬性條件下，關(guān)鍵條件屬性挖掘的權(quán)衡問題。

多決策屬性條件下，知識系統(tǒng)的決策表可以表示為:

表1 多決策屬性知識系統(tǒng)

可見，針對每一個決策屬性(d1…dn)，都可以找到最優(yōu)條件屬性約減，將表1“拆分”為n個決策表，形成一個多目標(biāo)優(yōu)化問題：

(10)

多目標(biāo)優(yōu)化問題存在一組由眾多最優(yōu)解組成的集合，稱為帕累托前沿。將(10)式轉(zhuǎn)化為 (11)式，則關(guān)于粗糙集屬性組合的帕累托前沿有以下定義:

定義6非支配條件屬性組合。如果屬性組合XC∈S并且XC不被其他任何屬性組合支配，則稱XC為非支配條件屬性組合。

定義7屬性約減的帕累托前沿。由所有非支配條件屬性組合計算得出的目標(biāo)函數(shù)值集合在解空間中的表示稱為屬性約減的帕累托前沿(表示為PF)。

(12)

2 混沌集群智能屬性約減算法設(shè)計

式(10)表示的屬性約減問題是一個離散多變量多目標(biāo)優(yōu)化問題，相對于變量連續(xù)的優(yōu)化問題，傳統(tǒng)的求解算法容易出現(xiàn)陷入局部最優(yōu)等缺陷。近年來，基于群體交互機制的進化算法被廣泛證明具有較高的尋優(yōu)效率，元胞遺傳算法(Cellular Genetic Algorithm, CGA)在單目標(biāo)優(yōu)化及多目標(biāo)優(yōu)化中均展現(xiàn)出良好的性能[18]。針對上述屬性約減問題的結(jié)構(gòu)，本文對傳統(tǒng)的元胞多目標(biāo)優(yōu)化算法(Cellular Genetic Algorithm for multi objective problems, MO-Cell)進行兩方面的改進：(1)對每個種群中的個體建立非支配解集，平衡局部最優(yōu)與全局最優(yōu)的關(guān)系；(2)引入混沌算子生成初始種群、改進變異操作，提升種群多樣性，形成新的多目標(biāo)混沌元胞屬性約減算法(Multi Objective Chaotic Cellular Attribute Reduction Algorithm, MOCCARA)。

算法步驟如下：

Step1種群初始化。本文采用三維元胞空間(N×N×N)進行種群初始化。三維元胞空間中，每個個體代表一組條件屬性組合，每個個體具有上、下、左、右、前、后六個“鄰居”(圖1)。對于本文粗糙集中的m個條件屬性、n個決策屬性的約減問題，元胞空間內(nèi)個體(i,j,k)的解可以表示為：

Xi,j,k=(xi,j,k,1,xi,j,k,2,…,xi,j,k,m)，

其中，X∈{0,1}。

圖1 三維元胞空間

其中，Xi,j,k中xi,j,k,l(l=1,2…m)取0或1的概率由混沌序列生成，本文采用遍歷性較好的Cat混沌映射:

(13)

其中，xmod1=x-?x」。

Step2建立每個個體的非支配條件屬性組合解集。令NDi,j,k表示種群中的每個個體(i,j,k)的非支配條件屬性組合解集，依次將個體(i,j,k)每個“鄰居”的條件屬性組合及目標(biāo)函數(shù)值加入NDi,j,k。加入規(guī)則如下：如果NDi,j,k中已有的條件屬性組合被“鄰居”的條件屬性組合支配，則刪去NDi,j,k中被支配的條件屬性組合；如果“鄰居”的條件屬性組合不被任何NDi,j,k中已有的條件屬性組合支配，則確認(rèn)加入“鄰居”的條件屬性組合。

Step3建立全局非支配條件屬性組合解集。令NDg表示全局非支配條件屬性組合解集，將種群中所有個體的條件屬性組合及目標(biāo)函數(shù)值依次加入NDg。加入規(guī)則與Step2中向NDi,j,k中加入條件屬性組合的規(guī)則相同，不再贅述。

Step4遺傳操作。

(3)交叉。設(shè)置交叉概率pc，依次對于Xi,j,k=(xi,j,k,1,xi,j,k,2,…,xi,j,k,m)中的每一個0-1變量xi,j,k,l(l=1,2…m)，以概率pc變換為xi′,j′,k′,l，然后以概率pc變換為xi″,j″,k″,l。

(4)變異。設(shè)置個體變異概率pm，種群中依概率pm對交叉操作后的個體(i,j,k)進行變異操作，對于參加變異操作的Xi,j,k=(xi,j,k,1,xi,j,k,2,…,xi,j,k,m)中的每一個0-1變量xi,j,k,l(l=1,2…m)，利用Cat混沌映射生成變異概率進行變異(0變?yōu)?，1變?yōu)?)。

經(jīng)過上述遺傳操作，元胞空間內(nèi)每個個體的條件屬性組合得到更新。

Step5返回Step 2。

Step6運行算法直到滿足終止條件。

算法流程如圖2所示。

圖2 算法流程示意圖

3 實際問題計算

測試案例：為了驗證本文所提出約減方法的有效性，選取著名的UC Irvine Machine Learning Repository(http://archive.ics.uci.edu/ml/index.php)中的Turkiye Student Evaluation Data Set測試數(shù)據(jù)集作為測試案例對本文約減方法進行測試(選取前300個樣本)，該數(shù)據(jù)集中具有多個分類標(biāo)簽(如instr，class，attendance等)，本文首先使用隨機森林在不同的標(biāo)簽下對數(shù)據(jù)集進行訓(xùn)練，選取識別率最高的兩個屬性(標(biāo)簽)作為測試案例中的決策屬性，構(gòu)成兩個不同的決策子系統(tǒng)。

此外，本文通過長期實地調(diào)研收集了若干鐵路領(lǐng)域安全風(fēng)險案例及處置方案的實際數(shù)據(jù)，并依據(jù)案例特點及實際操作對其進行編碼，構(gòu)建知識系統(tǒng)，形成本文計算案例。

實際計算案例1采用收集于某鐵路局2013～2015年的設(shè)備安全風(fēng)險處理數(shù)據(jù)構(gòu)建風(fēng)險處置決策表，條件屬性為風(fēng)險處置中所涉及的故障特征(共11種)，選取兩種重要的處理方案作為決策屬性。

實際計算案例2采用收集于某鐵路局2015年的設(shè)備安全風(fēng)險處理數(shù)據(jù)構(gòu)建風(fēng)險處置決策表，條件屬性為風(fēng)險處置中所涉及的故障特征(共16種)，選取兩種重要的處理方案作為決策屬性。

此外，算法參數(shù)設(shè)置如下：交叉概率pc=0.5；變異概率pm=0.05；元胞空間長度N=7。為了說明本文提出方法的可行性與有效性，本文同時引入傳統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化算法NSGA-II與MO-cell進行屬性約減，兩種算法的種群數(shù)量均與本文算法相同，獨立實驗30次。

3.1 計算案例決策表

表2和表3給出了本文兩個實際計算案例所構(gòu)成決策表的字段簡稱。

表2 案例1安全風(fēng)險處理決策表字段

表3 案例2安全風(fēng)險處理決策表字段

3.2 計算結(jié)果分析

對于多目標(biāo)優(yōu)化中常用的經(jīng)典測試函數(shù)，帕累托前沿的理論值往往比較容易獲取，而對于基于實際問題的離散多目標(biāo)優(yōu)化問題，帕累托前沿的理論值往往無法獲得，近年來，“支配率”與“超體積”(Hyper-volume，簡寫為HV)[15]常被很多學(xué)者用來衡量無法獲取帕累托前沿理論值的多目標(biāo)優(yōu)化問題的優(yōu)化結(jié)果，本文沿用這些指標(biāo)。支配率與超體積的表達式分別用式(14)(15)表示:

(14)

(15)

其中，SCAB表示條件屬性組合解集B中被解集A中的條件屬性組合支配的百分比；Q表示帕累托前沿上最優(yōu)解的個數(shù)，vi表示由前沿上第i個點與參照點形成的超體積，HV表示算法所獲得的帕累托最優(yōu)解集在目標(biāo)域所覆蓋的體積，HV值越大，帕累托最優(yōu)解的質(zhì)量越好。

圖3 計算案例1條件屬性重要性帕累托前沿

圖4 計算案例2條件屬性重要性帕累托前沿

圖5 UCI測試案例條件屬性重要性帕累托前沿

圖6 計算案例1所得解HV值統(tǒng)計

圖7 計算案例2所得解HV值統(tǒng)計

圖8 UCI測試案例所得解HV值統(tǒng)計

表4 不同方法約減效果對比(計算案例1)

表5 不同方法約減效果對比(計算案例2)

表6 不同方法約減效果對比(UCI數(shù)據(jù)庫測試案例)

圖3、4、5給出了三種算法在兩個計算案例及一個測試案例中得到的具有代表性的粗糙集屬性約減帕累托前沿，圖6、7、8給出了不同算法所得到的最優(yōu)解HV值的箱線圖，由圖6、7、8可見，對于計算案例1，MOCCARA與MO-cell算法獲取了質(zhì)量更好且更穩(wěn)定的帕累托前沿；對于計算案例2，MOCCARA與NSGA-II算法獲取了質(zhì)量更好且更穩(wěn)定的帕累托前沿。表4、5、6給出了三種算法在兩個計算案例中的性能指標(biāo)，對于計算案例1，由圖3及表4可知，NSGA-II算法產(chǎn)生的帕累托最優(yōu)解有13%被MO-cell算法及本文的MOCCARA算法支配且收斂時間更長，這說明本文的MOCCARA算法及MO-cell算法獲取了更加理想的屬性約減帕累托前沿；此外，雖然相對于MO-cell算法，本文的MOCCARA算法消耗了更多的運行時間，但也獲取了更多的帕累托最優(yōu)解。對于計算案例2，結(jié)合圖4及表5可知，傳統(tǒng)算法MO-cell產(chǎn)生的帕累托最優(yōu)解中高達47%被NSGA-II算法及本文的MOCCARA算法支配，這說明本文的MOCCARA算法及NSGA-II算法獲取了更加理想的屬性約減帕累托前沿，雖然MO-cell算法的運行時間最短且獲取的帕累托最優(yōu)解個數(shù)相對較多，但得到的帕累托最優(yōu)解以較大概率落入局部最優(yōu)。此外，結(jié)合圖5及表6可知，對于測試數(shù)據(jù)集，本文的MOCCARA算法雖然獲取的帕累托最優(yōu)解數(shù)量與其他兩種算法相同，但最優(yōu)解被支配的比例較少。比較圖6、7、8可以發(fā)現(xiàn)本文的MOCCARA算法同時具有較好的穩(wěn)定性。綜上可知，MOCCARA算法取得了優(yōu)異的屬性約減性能。

表7 屬性約減帕累托最優(yōu)解集(計算案例1)

表8 屬性約減帕累托最優(yōu)解集(UCI計算案例2)

表9 屬性約減帕累托最優(yōu)解集(UCI數(shù)據(jù)庫測試案例)

表7、8、9分別給出了兩個計算案例獲得的帕累托最優(yōu)解集以及與每個最優(yōu)解相對應(yīng)的非支配條件屬性組合?？梢?，隨著最優(yōu)條件屬性組合在帕累托前沿上的位置變化(例如表7中的帕累托最優(yōu)解(0.0411,0.0904)是傾向于決策屬性2的約減)，約減出的關(guān)鍵條件屬性組合也發(fā)生了相應(yīng)變化。這種現(xiàn)象在管理實踐中有著較為重要的意義，以本文的計算案例為例，對于知識系統(tǒng)中的風(fēng)險處置論域U={x1,x2,…,xK}，不同的主管部門、領(lǐng)導(dǎo)層級、專業(yè)人員都會在決策過程中形成不同的處置方案(決策屬性)，即便是相同的風(fēng)險，也會由于風(fēng)險產(chǎn)生時的決策情境不同而產(chǎn)生不同的處置方案，這些方案之間難免會有矛盾之處，尤其是在大數(shù)據(jù)背景下，數(shù)據(jù)的屬性、維度、層次眾多，基于帕累托最優(yōu)思想的引入為各個維度數(shù)據(jù)之間的全域聯(lián)動與協(xié)調(diào)提供了一種新的處理機制，便于管理者挖掘不同維度數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，實現(xiàn)不同數(shù)據(jù)維度下的科學(xué)決策，例如對于本文的安全風(fēng)險處理知識系統(tǒng)，管理者可依據(jù)不同屬性組合在不同處置方案條件下的重要性程度判別關(guān)鍵風(fēng)險因素，提高風(fēng)險因素挖掘的準(zhǔn)確性。

進一步分析表7、8、9可知，現(xiàn)實數(shù)據(jù)條件下，雖然一組條件屬性對一個決策屬性的重要程度上升會使其對另一個決策屬性的重要程度降低，但帕累托前沿在不同決策屬性(目標(biāo)函數(shù))之間的分布(傾向性)并非均勻。例如表7中，條件屬性對決策屬性2的重要程度區(qū)間為[0.0702,0.0904]，條件屬性對決策屬性1的重要程度區(qū)間為[0.0411,0.0702]，小于前者。這一結(jié)果有助于管理者在缺乏先驗知識的情況下首先判斷決策方案變化所產(chǎn)生的條件屬性組合重要性變化，進而為判別不同決策方案的差異提供了量化依據(jù)，然后以此為基礎(chǔ)，依據(jù)條件屬性對決策屬性的重要程度區(qū)間挖掘關(guān)鍵條件屬性。

4 結(jié)論

針對管理實踐及大數(shù)據(jù)處理中的多維決策屬性問題，本文將帕累托最優(yōu)思想引入多決策屬性粗糙集的約減問題中，將傳統(tǒng)的粗糙集屬性約減計算轉(zhuǎn)化為離散多目標(biāo)優(yōu)化問題，實現(xiàn)了條件屬性的約減在不同決策屬性之間的協(xié)調(diào)。針對轉(zhuǎn)化后的離散多目標(biāo)優(yōu)化問題，設(shè)計了基于元胞自動機的混沌集群智能算法并與傳統(tǒng)多目標(biāo)優(yōu)化算法進行了比較，驗證了本文提出方法的有效性。從方法設(shè)計的角度而言，本文針對所研究的問題獲取了更為精確的帕累托最優(yōu)解；從管理實踐的角度而言，帕累托前沿思想的引入有效解決了如何在缺乏先驗知識(概率)的條件下定量挖掘影響不同決策的關(guān)鍵條件屬性(因素)問題，本研究的結(jié)果一方面可以幫助管理者增加屬性約減的維度，實現(xiàn)不同數(shù)據(jù)維度下的科學(xué)決策及關(guān)鍵特征識別，同時也可以幫助其在屬性約減過程中定量地實現(xiàn)不同決策角度之間的取舍與權(quán)衡。

本文采用的測試案例及計算案例均為確定性數(shù)據(jù)構(gòu)成，而在現(xiàn)實中一些特定的決策場景中，用于特征提取的數(shù)據(jù)集會包含不確定性數(shù)據(jù)。因此，模糊集的引入則可以更好的解決本文模型引入不確定性計算的問題，此外，本文的研究沒有考慮數(shù)據(jù)粒度、離散化程度等因素對決策結(jié)果的影響，這些都將在未來的研究中繼續(xù)討論。