基于收益權重的均值-熵投資組合模型的研究

江璐瑤，鄧 雪

（華南理工大學 數學學院，廣東 廣州 510640）

0 引言

1952年，Markowitz的《Portfolio Selection》［1］一文的發(fā)表，標志著證券投資組合理論（也稱投資分散理論）的產生，它主要是研究人們在預期收入受到多種不確定因素影響的情況下，如何進行分散化投資來規(guī)避投資中的系統(tǒng)性風險和非系統(tǒng)風險，實現投資收益的最大化。半個多世紀以來，人們在Markowitz研究的基礎上不斷進行深入探索，使得這一理論的發(fā)展日益趨于完善。證券投資組合理論主要有以下幾家主流觀點：Markowitz的“均值-方差”投資組合理論［1］，Sharp的“資本資產定價”投資組合理論；Jansen的“非常規(guī)收益率”投資組合理論和Ross的“套利定價”投資組合理論等等。

隨著學者們深入的研究，大量有關統(tǒng)計學的成果［2，3］被應用到投資組合研究中。其中，經典的均值-方差模型是采用組合收益的方差來度量投資組合的風險，用收益的均值表示投資者的期望效益，通過約束收益均值下極小化收益方差，或約束收益方差下極大化收益均值來選擇最優(yōu)投資組合，最終得到最優(yōu)投資權重系數。但由于這種經典的均值-方差模型要依賴于收益率方差的存在，以及求解需要進行方差、協(xié)方差矩陣等復雜計算。因此，本文提出用均值-熵原理構建證券投資組合模型。同時為了構建的投資組合模型更加的貼合經濟市場，我們還引入了無風險證券，其中Consigli［4］對含無風險證券的均值-方差投資組合模型也進行了一定的研究。

熵的度量在信息理論中起著極其重要的作用，是度量隨機事件取值的不確定性程度，其應用范圍也逐漸擴展到各個學科領域中。在信息論中，熵的測度是指對具有多個結果的離散隨機變量取值的不確定性程度的度量，其中我們知道不確定性會隨著熵值的增大而增大，同時掌握的信息也會增多，反之亦然。因此，熵作為一種新的風險度量工具開始廣泛應用到金融等領域中，且通過與其他風險度量工具的比較，發(fā)現熵能夠更加全面而準確的反映事件的不確定性信息。一方面，考慮到方差度量風險的局限性，曹靜［5］基于熵的概念，在研究均值-方差模型的基礎上，提出用最大熵原理建立證券投資組合模型；李華等［6］建立了幾種關于熵的證券投資組合優(yōu)化模型。隨著對熵進一步的探討，有關的學術成果也越來越多，諸如文獻［7～9］；Aksarayl［10］研究了一種基于均值-方差-偏度的多項式目標規(guī)劃新方法，并提出了峰度熵模型。Jadhao［11］研究了熵在投資組合輪換策略中的應用。Brandtner［12］對最佳投資組合選擇進行決策理論分析，特別是對比分析兩種熵風險度量下的靜態(tài)熵，相關熵風險度量（CERM）和C-均值凸熵風險度量（ERM）。Mehlawat［13］研究了基于均值-熵的多期投資組合模型。另一方面，在以往多數文獻中，研究者往往假設收益率服從正態(tài)分布，用簡單平均法計算的收益率均值衡量期望，但是在實際市場中，往往沒有這么好的假設，導致用收益率均值衡量期望有一定的缺陷。李江濤等［14］提出用收益權重θt計算期望收益率，且基于熵的概念和國內市場的情況，建立了幾種關于熵的證券投資組合優(yōu)化模型。但是目前為止，缺少對這個模型合理性的驗證和進一步的討論比較，受以上文獻啟發(fā)，我們不僅引入θt和熵建立均值-熵模型，也通過實證分析討論θt的合理性，熵方法和方差法的一致性，并通過與均值-方差模型作比較，進一步研究均值-熵模型。同時結合國內市場的情況，分別考慮了含無風險證券和不含無風險證券下的均值-熵投資組合問題。

1 基于收益權重的均值-熵模型

1.1 不含無風險證券的均值-熵模型

設有n種證券，且不含有無風險證券。其中令θt代表在第t個時間段的收益占T個時間段總收益的比重，rit記為第i種證券對應于第t個時間段的收益率記為第i種證券的期望收益率，xi記為第i種證券的投資比例，Rt記為投資第t個階段的收益記為投資的總平均收益，pt記為第t個時間段證券收益的概率，那么的表達式為：

相應地，基于收益權重θt的均值-方差模型如（10）：

1.2 含無風險證券的均值-熵模型

在均值-熵模型（9）的基礎上，引入1種無風險證券，記這種證券為第n+1種，且固定收益率為rf，相應的投資比例記為xn+1，則均值-熵模型如（11）：

2 實證分析

2.1 數據的收集和處理

本文針對深證A股，考慮股票的規(guī)模、流動性、收益率等因素，從中選出5只股票作為研究樣本，這5只股票分別為世紀華通（002602） 、同花順（30033）、二三四五（002195） 、大富科技（300134） 、雷曼股份（300162） 。研究時限選取為2014年1月1日到2014年12月31日，收集的數據是這5只股票在研究時限內的月收益率，我們可以根據這5只股票的收盤價數據分析來推斷收益率未來的收益趨勢，其中股票的收益率定義為：rit＝（pi，t-pi，t-1）／pi，t-1，其中Pi，t為第i種證券t時間的收盤價。

2.2 引入θt的合理性討論

為了檢驗θt的合理性，我們建立均值-方差模型（10），其中利用收益權重θt來計算證券的收益率均值和相應的方差，通過賦予收益水平r不同的值，求出8種最優(yōu)投資組合，其結果如表1。

表1 均值-方差模型（10）的投資權重系數

根據表1，畫出均值-方差模型（10）的有效邊界，如圖1所示：

圖1 均值-方差模型（10）的有效邊界

從圖1中，我們可以看出隨著收益水平的增加（減少），方差也隨之相應的增加（減少），而且均值-方差模型（10）的有效邊界圖形的形狀是一條較好的拋物線，這與經典的用簡單平均法計算證券收益率均值時的有效邊界的圖形形狀和走勢完全一致，這說明引入θt計算證券的收益率均值具有合理性。

2.3 風險度量的熵方法和方差法的一致性比較

在均值-方差模型（10）中，我們得到了8種最優(yōu)投資組合方案，以及每個收益水平所對應的方差。我們把表1中每種最優(yōu)投資組合權重系數代入到均值-熵模型（9）中熵的計算公式中，得到如表2所示的數據：

表2 均值-熵模型（9）和均值-方差模型（10）方法的一致性比較

根據并在同一個圖中做出熵和方差分別關于收益水平的變化趨勢：

圖2 均值-熵模型（9）和均值方差模型（10）方法的一致性比較

從圖2中，我們可以看出熵的變化趨勢和方差的變化趨勢基本一致，隨著收益水平的增加（減少），熵和方差也隨之相應的增加（減少），而且均值-熵曲線和均值-方差曲線基本上是一種平行的關系，這說明在度量風險方面，熵方法和方差法具有一致性。但是均值-方差模型要依賴于收益率方差的存在，且收益率服從正態(tài)分布等假設條件，以及求解需要進行方差、協(xié)方差矩陣等復雜計算，而熵不受上述假設條件的約束，僅僅與收益率的分布概率有關，因此均值-熵模型在實際應用中能更好的刻畫風險的特征。

2.4 基于收益權重的均值-熵投資組合問題

2.4.1 不含無風險證券的均值-熵投資組合問題

根據θt的定義，計算出θt的值，并把它代入到均值-熵模型（9）中。再利用Matlab軟件，賦予收益水平r不同的值，求出相應的最優(yōu)投資組合和熵值，其具體結果如表3。

表3 均值-熵模型（9）的收益和熵

2.4.2 含無風險證券的均值-熵投資組合問題

引入一種無風險證券，其月收益率rf為0.00385，把θt和0.00385代入到均值-熵模型（11）中。同樣利用Matlab軟件，改變收益水平r的值，求出相應的最優(yōu)投資組合和熵值，其具體結果如表4。

表4 均值-熵模型（11）的收益和熵

根據表3和表4，我們可以發(fā)現在相等的收益水平r下，引入了無風險證券的均值-熵模型的熵值更小。

2.5 模型的分析比較

均值-方差模型是金融經濟中廣泛應用的一種模型，而均值-熵模型是以熵來度量風險，且熵不依賴于收益率的分布，僅僅與收益率分布的概率有關，從這方面來看熵度量風險更好。因此接下來我們從分散風險的能力來比較分析這兩個模型，又因為考慮到要與均值-方差模型投資股票的種類保持一致，因此選擇不含無風險證券的均值-熵模型和均值-方差模型，同時改變收益水平r，得到在不同的收益水平r下最優(yōu)投資組合方案，兩模型的比較結果如表5。

表5 均值-熵模型（9）和均值-方差模型（10）的投資組合權重比較

根據風險分散和投資組合原理以及對中國股票市場的調查研究得出的經驗法則可知，組合對非系統(tǒng)風險有著一定的分散作用。從表5中，我們可以發(fā)現均值-熵模型的投資組合方案更加的分散，例如當收益水平r＝0.26時，均值-熵模型的投資組合方案對5種股票的投資比例都大于零，其中股票002195的投資比例為0.2059，而均值-方差模型對股票002195的投資比例為0。因此在相同的收益水平r下，均值-熵模型能更好的分散非系統(tǒng)風險。

3 結論

隨著市場經濟的發(fā)展，投資組合越來越成為人們生活中一個熱門的話題。投資組合通過分散化的投資來沖掉一部分的風險，因此深入投資組合理論的研究有利于投資者進行理智的投資。

本文通過對深圳A股進行篩選，從中選取5只股票進行實證分析。為了討論θt的合理性，我們建立了均值-方差模型，發(fā)現均值-方差模型的有效邊界仍符合同增同減性質，并且其圖形是一條較好的拋物線，與用簡單平均法計算收益率均值時的有效邊界的圖形形狀和走勢完全一致。我們還討論了熵方法和方差法的一致性，發(fā)現在引入收益權重θt計算收益率均值時股票風險度量的熵方法和方差法具有一致性，但是由于均值-方差模型要依賴于收益率方差的存在，且收益率服從正態(tài)分布等假設條件，以及求解需要進行方差、協(xié)方差矩陣等復雜計算，因此從這個意義上講，熵能夠更好的刻畫風險的特征。最后通過比較分析不含無風險證券的均值-熵模型和均值-方差模型，我們發(fā)現在相等收益水平r下，熵方法能夠更好的分散投資風險。