復(fù)雜載荷作用下梁的彎曲變形微分求積法求解1)

葛仁余 呂良偉 朱浩杰 聶子龍 張金輪

(安徽工程大學(xué)建筑工程學(xué)院，安徽蕪湖241000)

材料力學(xué)中求平面彎曲梁的撓度和轉(zhuǎn)角采用的基本方法是彎矩方程積分法，即首先建立撓曲線近似微分方程，進(jìn)行二次積分運(yùn)算再結(jié)合邊界條件獲得撓度方程和轉(zhuǎn)角方程。但是彎矩方程積分法分析梁的彎曲變形時(shí)，需要事先獲得梁上任意位置的彎矩方程，當(dāng)梁上作用任意分布載荷時(shí)確定梁的彎矩方程十分困難[1-3]。另一方法是載荷方程積分法[4]，需要進(jìn)行四次積分運(yùn)算結(jié)合邊界條件才能得到撓度方程。當(dāng)任意分布載荷為簡單的線性表達(dá)式時(shí)，由載荷方程積分法可以獲得彎曲變形的精確解，但是，當(dāng)分布載荷為非線性表達(dá)式時(shí)，載荷方程積分法運(yùn)算過程將會(huì)繁瑣冗長。積分法是計(jì)算彎曲變形的基本方法，其優(yōu)越性在于可用解析方法得到撓度方程和轉(zhuǎn)角方程，但是，當(dāng)梁上作用較多外載荷時(shí)，需要分段建立彎矩積分方程和載荷積分方程，而在分段積分時(shí)，積分常數(shù)的個(gè)數(shù)分別是分段數(shù)的兩倍或四倍，因此，用積分法求解復(fù)雜載荷的變形問題時(shí)，耗費(fèi)在積分運(yùn)算和積分常數(shù)確定方面的工作量很大，也容易出錯(cuò)，使得積分法在工程實(shí)際計(jì)算中的應(yīng)用受到較大的限制。

正是彎矩方程積分法或載荷方程積分法在工程實(shí)際計(jì)算中受到較大的限制，本文引入微分求積法[5]求解任意復(fù)雜載荷下梁的彎曲變形問題。首先，根據(jù)疊加原理將作用在梁上的復(fù)雜載荷分解為各個(gè)單獨(dú)載荷，再由微分求積法將各個(gè)單獨(dú)載荷作用在梁上的載荷方程邊值問題轉(zhuǎn)化為求解線性代數(shù)方程組問題，通過Fortran語言編制通用程序計(jì)算，從而獲得梁的撓度和轉(zhuǎn)角的數(shù)值解，最后，將計(jì)算結(jié)果累計(jì)疊加，從而獲得多個(gè)載荷作用下梁的撓度和轉(zhuǎn)角。該法使梁的彎曲變形計(jì)算得以程序化，可避免彎矩方程積分法和載荷方程積分法中確定積分常數(shù)時(shí)一系列繁瑣的代數(shù)運(yùn)算，尤其對(duì)于積分方法求解區(qū)間分段數(shù)較多的梁彎曲變形計(jì)算非常適用，因此，本法在求解梁的彎曲變形教學(xué)中具有巨大的功效。

1 梁的載荷方程及微分求積法原理

1.1 單個(gè)載荷作用下梁的載荷方程

如圖1所示，梁長為L，抗彎剛度為EI，q0為常數(shù)。圖1(a)有作用在梁上的任意分布載荷q(x)=q0f(x)，圖1(b)有作用在梁上的集中載荷F=q0L，圖1(c)有作用在梁上的集中力偶Me=q0L2。以變形前的梁軸線為x軸，垂直向上的軸為y軸，變形后梁的軸線將成為xy平面內(nèi)的一條曲線，稱為撓曲線，撓曲線上橫坐標(biāo)為x的任意點(diǎn)的縱坐標(biāo)稱為撓度，記為y=y(x)；變形中梁的橫截面對(duì)其原來的位置轉(zhuǎn)過的角度θ，稱為轉(zhuǎn)角，記為θ=y′(x)，在圖1所示的坐標(biāo)系中，向上的撓度和逆時(shí)針方向的轉(zhuǎn)

圖1 單個(gè)載荷作用下的簡支梁

角為正，反之為負(fù)。根據(jù)文獻(xiàn)[4]，圖1(a)梁的載荷方程為

為了便于編程計(jì)算，引入無量綱變量ξ=x/L，ξ∈[0，1]，將其代入式(1)可得

圖1 (a)簡支梁兩端的邊界條件為因此，圖1(a)任意分布載荷下的梁的彎曲變形問題，就是在邊界條件式(3)下，求解微分方程式(2)的邊值問題。同理，根據(jù)文獻(xiàn)[4]，圖1(b)和圖1(c)梁中，設(shè)AC梁段的撓度為yI(x)，引入無量綱坐標(biāo)ξ=x/a，x∈[0，a]，ξ∈[0，1]，梁的載荷方程為

設(shè)CB梁段的撓度為yII(x)，引入無量綱坐標(biāo)ξ=x/b，x∈[0，b]，ξ∈[0，1]，梁的載荷方程為

圖1 (b)和圖1(c)簡支梁兩端的邊界條件為

圖1 (b)和圖1(c)簡支梁在C處的交界條件為

在集中載荷作用下有

在集中力偶作用下有

因此，圖1(b)集中載荷作用下的梁的彎曲變形問題，就是在邊界和交界條件式(6)～式(8)下，求解微分方程式(4)和式(5)的邊值問題。圖1(c)集中力偶作用下的梁的彎曲變形問題，就是在邊界和交界條件式(6)、式(7)和式(9)下，求解微分方程式(4)和式(5)的邊值問題。

至此，根據(jù)疊加法原理，任意多個(gè)載荷共同作用下的梁的彎曲變形，可由單個(gè)分布載荷q(x)=q0f(x)、集中載荷F=q0L和集中力偶Me=q0L2單獨(dú)作用在梁上變形的疊加而獲解。

1.2 微分求積法計(jì)算梁的載荷方程

微分求積法是Bellman等[5]于1971年提出的基本理論，該方法求解微分方程具有公式簡單、編程方便、計(jì)算量少和精度高等優(yōu)點(diǎn)。不失一般性，以1.1節(jié)圖1(a)單個(gè)分布載荷作用下梁的變形為例，將梁長區(qū)間ξ∈[0，1]均勻等分為n段n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)ξi，ξ0=0，ξn=1表示的近似值(i=0，1，···，n)。

將微分方程式(2)中待求函數(shù)y(ξ)用節(jié)點(diǎn)函數(shù)值進(jìn)行拉格朗日插值來描述，即

式中l(wèi)j(ξ)為拉格朗日插值基函數(shù)。將式(10)求導(dǎo)，得

式(11)寫成向量和矩陣形式，得

這里，

A(1)稱為權(quán)系數(shù)矩陣，矩陣元素高階導(dǎo)數(shù)順次地采用低階導(dǎo)替換，逐步遞推可得

其中，

令q0L4/(EI)=1，以下同。將式(14)代入式(2)，寫成向量和矩陣形式，得

其中，f=(f(ξ0)f(ξ1)···f(ξn-1)f(ξn))T。

不失一般性，以圖1(a)簡支梁為例，設(shè)I為(n+1)×(n+1)階單位陣，將邊值條件式(3)寫成向量形式

行、第n行置換，得新向量則有這里，采用Fortran語言編制通用程序計(jì)算，由高斯主元消去法求解式(17)線性代數(shù)方程組獲得未知量y。同理，1.1節(jié)的圖1(b)集中載荷和圖1(c)集中力偶分別作用下梁的彎曲變形也可類似用微分求積法編制程序獲解。

2 教學(xué)實(shí)例分析

為了驗(yàn)證本文微分求積法程序化求解受復(fù)雜載荷作用的梁彎曲變形的可行性和精確性，本文通過3個(gè)教學(xué)實(shí)例進(jìn)行分析。設(shè)梁長為L，抗彎剛度EI為常量，分布載荷為q(x)，集中載荷為F=q0L，集中力偶為Me=q0L2(q0為常數(shù))，在以上三種載荷共同作用下，由微分求積法求解梁的撓度和轉(zhuǎn)角。

2.1 教學(xué)實(shí)例一

如圖2所示，在課堂教學(xué)中，為了驗(yàn)證微分求積法分析梁彎曲變形問題的精確性，我們使用Fortran語言編制通用程序計(jì)算，用數(shù)值計(jì)算方法代替繁雜的載荷方程積分法。按等步長方式布置離散節(jié)點(diǎn)，在梁長區(qū)間AC段和CB段上，皆取離散單元數(shù)為n=16，節(jié)點(diǎn)數(shù)為n+1=17，計(jì)算結(jié)果如表1所示，由表1可知，微分求積法計(jì)算簡支梁中點(diǎn)撓度yC、兩端轉(zhuǎn)角θA和θB結(jié)果與文獻(xiàn)[4]精確解完全吻合，充分說明了微分求積法在教學(xué)中計(jì)算受彎梁撓度和轉(zhuǎn)角的可行性和精確性。

圖2 教學(xué)實(shí)例一簡支梁外載荷示意圖

表1 簡支梁彎曲變形的數(shù)值解與精確解對(duì)比

圖3～圖4 是圖2簡支梁在復(fù)雜載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角微分求積法計(jì)算值與精確解的對(duì)比，計(jì)算結(jié)果表明：微分求積法獲得梁的撓度曲線y(x)和轉(zhuǎn)角曲線θ(x)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[4]精確解曲線完全重合，再次驗(yàn)證了本文微分求積法計(jì)算復(fù)雜載荷作用下受彎梁撓度和轉(zhuǎn)角的精確性。

圖3 教學(xué)實(shí)例一：簡支梁的撓度曲線

圖4 教學(xué)實(shí)例一：簡支梁的轉(zhuǎn)角曲線

2.2 教學(xué)實(shí)例二

如圖5所示，由于作用在梁上的分布載荷q(x)=q0cos[sin(x/L)]為非線性表達(dá)式，課堂教學(xué)中運(yùn)用載荷方程積分法求解，耗費(fèi)在積分運(yùn)算和積分常數(shù)確定方面的工作量很大。若采用微分求積法編制通用程序計(jì)算，則可避免人工積分法運(yùn)算過程的繁瑣冗長問題。同時(shí)，為了驗(yàn)證微分求積法的收斂性，在AC段和CB段區(qū)間取離散單元數(shù)分別為n=8，12，16和20，按等步長方式布置離散節(jié)點(diǎn)，由微分求積法獲得圖6和圖7計(jì)算結(jié)果。由圖6和圖7可知：當(dāng)n=8時(shí)計(jì)算值誤差較n=12時(shí)大，隨著區(qū)間離散單元數(shù)n的增加，梁的撓度和轉(zhuǎn)角加速收斂，當(dāng)n≥16時(shí)，梁的撓度曲線和轉(zhuǎn)角曲線完全收斂。

圖5 教學(xué)實(shí)例二：簡支梁外載荷示意圖

圖6 教學(xué)實(shí)例二：簡支梁的撓度曲線

圖7 教學(xué)實(shí)例二：簡支梁的轉(zhuǎn)角曲線

2.3 教學(xué)實(shí)例三

算例2.1和2.2簡支梁的區(qū)間分段數(shù)為2段，為了驗(yàn)證微分求積法可以求解更多的區(qū)間分段數(shù)，算例2.3的簡支梁求解區(qū)間分段數(shù)為3段，如圖8所示。在梁長區(qū)間AC段、CD段和DB段上，皆取離散單元數(shù)為n=16，節(jié)點(diǎn)數(shù)為n+1=17，按等步長方式布置離散節(jié)點(diǎn)，由微分求積法獲得梁的撓度曲線y(x)和轉(zhuǎn)角曲線θ(x)，分別如圖9和圖10所示，與文獻(xiàn)[4]精確解曲線完全重合。

圖8 教學(xué)實(shí)例三：簡支梁外載荷示意圖

圖9 教學(xué)實(shí)例三：簡支梁的撓度曲線

圖10 教學(xué)實(shí)例三：簡支梁的轉(zhuǎn)角曲線

3 結(jié)語

(1)當(dāng)梁上作用較多復(fù)雜載荷時(shí)，需要分段建立載荷方程，積分運(yùn)算過程繁瑣冗長，尤其分布載荷為非線性表達(dá)式時(shí)，人工積分法運(yùn)算過程十分繁瑣。采用微分求積法編制通用程序計(jì)算，無論分布載荷為線性表達(dá)式還是非線性表達(dá)式，梁的分段數(shù)有多么多，受彎梁的撓度和轉(zhuǎn)角皆可順利獲解。文中教學(xué)實(shí)例2.1和教學(xué)實(shí)例2.3給出了數(shù)值解與精確解完全吻合的計(jì)算結(jié)果，驗(yàn)證了微分求積法在彎曲變形計(jì)算中的可行性和精確性。

(2)在彎曲變形課堂教學(xué)中，當(dāng)載荷方程積分法求解梁的彎曲變形問題受到限制時(shí)，我們可以借助Fortran語言編程計(jì)算獲得數(shù)值解，這一教學(xué)過程既讓學(xué)生體會(huì)到求解方法的多樣性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和興趣，也讓學(xué)生們掌握編制程序解決力學(xué)問題的一技之長，對(duì)他們今后的學(xué)習(xí)與工作都有較大幫助。