FRP筋錨桿拉拔試驗剪切剛度變化及損傷力學模型1)

楊釗 喬春生 陳松

*(北京交通大學土木建筑工程學院，北京100044)?

(河北地質大學城市地質與工程學院，石家莊050031)

近幾十年來，錨桿支護在鐵路、水利、建筑工程等領域得到廣泛運用。全長黏結錨桿作為錨桿支護的一種類型，在巖土工程中得到廣泛運用[1-3]，研究錨桿界面處剪應力和剪切位移關系對錨桿的受力的解析計算和數值方法計算具有重要意義[4-6]。目前，常見的全長黏結錨桿根據材料類型可以分為鋼筋錨桿和纖維增強塑料(fiber reinforced plastic，FRP)筋錨桿。在拉拔試驗中，由于錨桿和漿液的界面層出現破壞，導致錨桿漿液界面的剪應力和位移關系發(fā)生變化。針對鋼筋錨桿錨漿界面的剪應力和剪切位移關系，Benmokrane等[7]提出了鋼筋錨桿的三折線的剪應力和剪切位移模型，受到許多學者的認可；王保田等[8]使用描述彈脆性巖石的子鏈單元模型，考慮錨桿界面的殘余強度，并結合統計損傷理論，推導出鋼筋錨桿的剪應力和剪切位移關系，并通過載荷傳遞法進行了受力計算。FRP筋錨桿由于材料性質和鋼筋有一定區(qū)別，因此描述鋼筋錨桿的方法適用性不強，對此許多學者針對FRP筋錨桿的剪應力和剪切位移關系做了一些工作。文獻[9-12]均對FRP筋錨桿錨漿界面的剪應力和位移關系進行了研究，發(fā)現FRP筋錨桿界面的剪應力剪切位移關系呈現較強非線性，剪切剛度不為常數。通過對文獻[9]中多組試驗數據分析發(fā)現，一些試件中的剪應力隨著位移增大而發(fā)生軟化的程度并不明顯，并且在位移幾乎為零的初始階段，由于錨漿界面的黏結強度很大導致界面剪切剛度極大[11]，甚至接近無窮，故在此位移很小的階段已經產生了一定的剪應力。隨著錨漿界面發(fā)生較為明顯的剪切位移，其界面剪切剛度也伴隨剪切位移發(fā)生變化。

界面剪切剛度是體現錨漿界面力學性能的重要力學指標，界面剛度劣化說明錨漿界面發(fā)生損傷，結合損傷力學分析FRP筋錨桿界面剪切剛度的變化規(guī)律對準確計算不同剪切位移下的界面剪應力具有重要意義，目前針對這一問題的研究甚少。鑒于此，本文參考文獻[9]中的FRP筋室內拉拔試驗中的界面剪應力和剪切位移的試驗數據，通過計算統計界面剪切剛度劣化的規(guī)律，從不同角度出發(fā)，結合損傷理論，使用Weibull和冪函數[13]概率分布，采用與彈脆性子鏈單元模型不同的應變等效假設，分析FRP筋錨桿錨漿界面的剪切剛度劣化規(guī)律以及剪應力與剪切位移關系，確定FRP筋錨桿錨漿界面剪切剛度劣化的函數規(guī)律，并在此基礎上進行錨桿的傳力

分析。

1 FRP筋錨桿拉拔過程中剪切剛度變化規(guī)律

參照文獻[9]所使用的試驗數據，FRP筋錨桿在錨桿拉拔試驗中的剪應力和位移關系曲線具有很強的非線性。為了對其非線性特性進行分析，定義錨桿和漿液界面的剪切剛度為

式中，ui為某一界面剪應力下對應的剪切位移，τi為某一位移下的FRP筋錨桿漿液界面的剪應力，τo為位移幾乎為零時的剪應力，是由錨漿界面黏結現象產生的[11]，因為此時界面剛度很大，所以產生的剪切位移極小，為了簡化分析，認為此時的位移為零。若是錨漿界面沒有明顯的黏結現象，τo可能為零。

按照式(1)計算錨漿界面剪切剛度，可得各個試件的剪切剛度變化規(guī)律，如圖1所示。

圖1 各個試件剪切剛度變化規(guī)律

由圖1可知，錨桿在拉拔作用下出現位移后，錨漿界面的剪切剛度呈現隨著剪切位移的增大而降低的趨勢。為了研究剪切剛度和剪切位移的關系，通過觀察曲線形態(tài)，采用指數函數進行擬合，定義擬合表達式為

按照式(2)對各個試件的數據進行擬合，結果如表1所示。

由表1可以看出，六個試件的指數函數擬合優(yōu)度R平方接近1，擬合效果好，表明隨著位移的增大，FRP筋錨桿的界面剪切剛度呈指數形式降低。界面剪切剛度是錨桿錨漿界面力學性能的綜合體現，反映了FRP筋錨桿與漿液界面在拉拔作用下逐漸發(fā)生破壞的過程。

表1 試件試驗數據擬合結果

2 損傷理論在FRP筋錨桿剪應力和位移關系中的應用

錨漿界面剪切剛度隨著拉拔產生的位移而降低，反映出錨漿界面在拉拔作用下缺陷構造產生和發(fā)展的過程，可以通過損傷力學來描述這一漸進破壞的過程。剪切剛度的大小是衡量FRP筋錨桿錨漿界面性能的重要指標，其隨剪切位移的增大而降低，說明錨漿界面力學性能發(fā)生劣化，故定義損傷變量為

式中，K為第二數據點到第一數據點的初始剪切剛度。

將式(2)代入式(3)可得損傷演化方程

由Lemarite應變等效假定[14-15]可得，錨漿界面發(fā)生損傷后，錨漿界面的剪應力和位移關系為

考慮幾乎未產生位移時的“黏結強度”，將式(4)代入式(5)后平移τo，可得FRP筋錨桿錨漿界面的剪應力和剪切位移關系表達式

若從錨漿界面微裂紋微元強度的角度出發(fā)，錨漿界面發(fā)生的損傷為破壞的微裂紋個數和總的微裂紋個數的比值。采用位移作為衡量強度的指標，假定錨漿界面的隨機微裂紋強度服從Weibull和冪函數[13]概率分布，概率密度函數的表達式為

式中，m和uo為擬合參數。

損傷變量的表達式為

將式(7)代入式(8)可得

同理可得兩種FRP筋錨桿錨漿界面的剪應力和剪切位移關系表達式

3 基于載荷傳遞法的錨桿傳力分析

在錨桿微段上，假定微段上的界面剪應力均勻分布，通過錨桿微段受力平衡可得[16]

式中，d為錨桿直徑；P(x)為某一桿長截面處的軸力，滿足

式中，E為錨桿的彈性模量。

某一桿長處的應變滿足

式中，u(x)為不同桿長處的剪切位移。

聯立式(11)～式(13)，并將式(6)和式(10)代入可得三種模型受力平衡方程

聯立式(12)和式(13)可得軸力沿桿長分布的關系式

邊界條件為式中，l為錨桿長度，P(x=0)為所施加的拉拔力大小。

同理可得三種模型剪應力隨桿長的分布

同理可得三種模型損傷沿桿長的分布為

4 算例分析

4.1 錨桿錨漿界面損傷剪切滑移曲線

為進一步驗證FRP筋錨桿錨漿界面剪切剛度呈指數衰減的合理性，采用上述所建立的三種FRP筋錨桿錨漿界面剪應力和剪切位移關系計算方法對錨漿界面的剪應力進行計算，擬合參數如表2所示，與試驗結果對比如圖2所示。

由圖2可知，基于Weibull概率分布和剪切剛度指數形式劣化所計算的錨漿界面剪應力與試驗數據較為吻合，冪函數概率分布所計算出的剪應力與試驗數據差距較大，說明錨漿界面的隨機微裂紋更好地服從Weibull分布。Weibull概率分布函數為指數函數形式，跟前文中對FRP筋錨桿錨漿界面的剪切剛度擬合方程形式非常接近，與試驗數據較為吻合。通過Weibull概率分布剪應力和剪切位移模型可以再一次證明錨漿界面的剪切剛度呈指數形式衰減。

4.2 錨桿傳力算例分析

使用試件三剪應力-位移數據的擬合參數，取錨桿直徑為30 mm，FRP筋彈性模量為60 GPa，錨桿長度為500 mm?？紤]到式(6)相對簡單且擬合效果較好，故對式(14)中的第一分式進行分離變量

式中，c1為待求參數。

由式(16)可知，在錨桿錨固端的位移ux=l=ul為一常數，需要確定該常數才能進行進一步求解。先將式(16)中錨固端處的邊界條件代入式(19)，可求得c1為

聯合式(19)和式(20)有

表2 擬合參數表

圖2 各試件擬合參數與試驗數據的對比

將式(21)代入式(15)有

參考文獻[16]中求解微分方程的方法，根據得出結果繪制載荷-位移曲線、軸力沿桿長分布、剪應力沿桿長分布、損傷沿桿長分布曲線，如圖3～圖6 所示。

由圖3可知，本文計算所得載荷-位移曲線形式和文獻[16]對于鋼筋錨桿所計算結果有一定相似性。在未達到峰值之前，載荷-位移曲線呈曲線上升趨勢，與文獻[16]計算結果趨勢一致；在達到曲線峰值之后，即錨桿位移達到一定值后，桿體突然被拔出，拉拔載荷降低，曲線呈突然下降趨勢。該趨勢和文獻[16]所計算載荷-位移曲線趨勢一致，區(qū)別是曲線下降幅度相對降低。這是因為FRP筋錨桿界面剪應力-位移關系和鋼筋的剪應力應變有一定區(qū)別。FRP筋錨桿界面剪應力峰值后隨著位移的增大跌落較少，沒有出現非常明顯的“殘余強度”?？紤]到錨桿軸力和界面剪應力呈現平衡關系，因此此時的端頭軸力(載荷)會相對下降較少。除此之外，在較低載荷情況下，錨桿端頭幾乎不會出現位移，因為錨桿界面在位移極小時界面強度較大。

圖3 載荷-位移曲線

圖4 錨桿軸力沿桿長分布曲線

圖5 錨桿剪應力沿桿長分布

圖6 錨桿界面損傷值沿桿長分布

由圖4可知，軸力隨著在錨桿長度方向上逐漸衰減，與文獻[16]中鋼筋錨桿的軸力變化趨勢一致。錨桿端頭的軸力越大，沿桿長分布的錨桿軸力整體也就越大。這是因為在較大端頭的拉拔力下，錨桿界面損傷越嚴重，錨桿桿體產生的應變越大。由圖5(a)～圖5 (c)可知，在錨桿桿端位移較小時，剪應力沿著桿長降低；在錨桿桿端位移到達一定值后，在桿中間部位出現剪應力峰值點，并隨著桿端位移增加，峰值點向錨桿錨固段移動。由圖6(a)～圖6 (c)可知，在桿端位移較小時，桿端附近會發(fā)生較大的損傷，錨固端附近損傷較小。隨著桿端位移的增大，錨固端附近的損傷增大，當位移達到一定程度時，桿端和錨固端處都接近完全損傷，此時錨桿界面已經基本破壞，界面剪應力要低于峰值。

5 結論

(1)本文通過對六組FRP筋室內拉拔試驗數據的界面剪切剛度進行擬合，得出FRP筋錨桿漿液界面的剪切剛度隨著剪切位移的增加呈指數衰減。

(2)基于擬合得出的剪切剛度與位移關系，用剪切剛度劣化定義損傷變量，推導FRP筋錨桿錨漿界面剪應力和剪切位移關系的損傷力學模型。計算結果與試驗數據較為接近，表明剪切剛度衰減的規(guī)律合理。

(3)從統計損傷理論角度，推導FRP筋錨桿錨漿界面剪應力和剪切位移關系的統計損傷力學模型。Weibull分布模型所得結果擬合良好，冪函數分布模型擬合結果較差，說明錨漿界面的微元強度接近Weibull分布，也說明了界面剪切剛度變化規(guī)律的合理性。

(4)將所提出FRP筋錨漿界面剪應力-位移關系代入錨桿的載荷傳遞微分方程進行FRP筋錨桿傳力過程的分析。由于界面剪應力-位移關系有初始的“黏結強度”以及過峰值后強度降低較小特點，因此在較小拉拔載荷小下產生位移極小，并且載荷-位移曲線下降段跌落幅度較低。