丁素琴
[摘? 要] 解題能力的培養(yǎng)離不開科學(xué)有序的引導(dǎo)與拓展,這就要求教師在課堂教學(xué)過程中深挖教材所呈現(xiàn)的例題,通過思考、探究、拓展與創(chuàng)新等方式延伸知識(shí)點(diǎn),訓(xùn)練學(xué)生的思維能力與解題能力.
[關(guān)鍵詞] 解題能力;拓展;延伸
伽利略曾經(jīng)說過:“科學(xué)是在思維角度的不斷變化中探索前進(jìn)的. ”對(duì)數(shù)學(xué)教材中一些經(jīng)典例題從多個(gè)角度進(jìn)行革新與拓展,對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展與解題能力的培養(yǎng)具有意想不到的效果. 正如宋代朱熹所言:“問渠那得清如許,為有源頭活水來. ”初中數(shù)學(xué)教學(xué)的源頭就是教材,通過對(duì)教材例題的探索與研究,將例題進(jìn)行拓展與創(chuàng)新,可活化學(xué)生的思維,促進(jìn)學(xué)生解題能力與綜合素養(yǎng)的提升.
讀題審題,弄清題意
審題是解題的根本,只有審清題意才能清楚題中所包含的條件,根據(jù)題目所呈現(xiàn)的內(nèi)容分析與本題相關(guān)的公式、概念、法則、定理等,尤其是一些隱蔽的隱含條件,是審題的重點(diǎn),這些隱含條件往往決定了解題的方向,因此決不能遺漏或自行添加任何條件,而應(yīng)客觀地讀題、審題并加以分析,這是提高解題能力最基本的措施.
我們?cè)谧x題、審題時(shí)應(yīng)做到“一看二讀三畫四思”,只有完整地遵循這四個(gè)步驟,才能徹底審清題意,避免各種奇葩錯(cuò)誤的發(fā)生. “一看二讀三畫四思”主要是指:(1)看. 這是審題最簡(jiǎn)單直接的方法,對(duì)于題中一些關(guān)鍵性的字、詞、句等可標(biāo)上著重號(hào),找出題中的顯性條件與隱含條件,堅(jiān)決做到不漏看、不錯(cuò)看任何條件,保證看清、看準(zhǔn)題目. (2)讀. 只有逐字逐句地認(rèn)真讀過去,才能保證不多出或漏掉任何有價(jià)值的信息,讀的過程具有補(bǔ)救看錯(cuò)、看漏的重要作用. (3)畫. 數(shù)學(xué)文字一般偏抽象,光憑看和讀還不能完全理解一些關(guān)系,畫卻能將一些數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成直觀的圖像符號(hào),這也是突破解題思路的最佳方式,尤其是一些行程問題、幾何證明題等,畫能讓解題思路變得更加清晰. (4)思. 在完成以上三步之后,就需要快速、準(zhǔn)確地挖掘大腦所儲(chǔ)存的信息,分析問題的本質(zhì)和解決辦法.
不少學(xué)生在考試時(shí)失分在一些不可思議的地方,例如,題目要求選擇錯(cuò)誤選項(xiàng),他偏偏選擇正確選項(xiàng);要求寫系數(shù),他偏偏寫的是次數(shù),等等. 究其主要原因就在于讀題、審題粗枝大葉,答非所問而導(dǎo)致漏洞百出,這也是學(xué)生之間拉開差距的主要原因之一. 因此,提高解題能力的首要因素是讀題、審題能力的培養(yǎng).
以教材為本,拓展原題,開拓解題思維
加里寧認(rèn)為:“數(shù)學(xué)是鍛煉思維的體操. ”解題能力主要體現(xiàn)在解題思維的靈活性與創(chuàng)造性,富有創(chuàng)造性的思維能激發(fā)學(xué)生的解題思路,促進(jìn)學(xué)生解題能力的發(fā)展. 鑒于此,教師可在原題的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展、延伸,以活躍學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,拓展學(xué)生的解題思路. 筆者以執(zhí)教過程中教材的一道題目為例,談?wù)勅绾瓮卣乖},開闊學(xué)生的解題思路,提升解題能力的具體辦法.
1. 原題呈現(xiàn)
若一圓柱體底面的周長(zhǎng)是20 cm,AB是該圓柱的高為4 cm,上底面的直徑為BC,若一只蝸牛以A點(diǎn)為起點(diǎn)沿著圓柱體側(cè)面進(jìn)行爬行,一直爬到點(diǎn)C(見圖1),請(qǐng)問這只蝸牛所爬的最短路程是多少?
分析:蝸牛在圓柱體的半個(gè)側(cè)面爬行,若展開這半個(gè)側(cè)面(見圖2),可得矩形ABCD,依照兩點(diǎn)之間,線段最短的原理,最短路程應(yīng)該是圖2中矩形對(duì)角線AC的距離.
?搖?搖解:如圖2所示,在Rt△ABC中,BC的長(zhǎng)度是圓柱體底面周長(zhǎng)的一半,即10? cm,根據(jù)勾股定理可得AC===≈10.77(cm). 答:蝸牛所爬行的最短路程約為10.77 cm.
學(xué)生解決這個(gè)問題的難度系數(shù)并不大,只要審清題意,解題基本沒有問題. 教師為了拓展學(xué)生的解題思維,可在原題的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展與延伸,深化學(xué)生對(duì)勾股定理的掌握與運(yùn)用程度,提升學(xué)生對(duì)此類問題的解題能力.
2. 原題拓展
拓展1:原題條件不發(fā)生變化,把蝸牛爬行的路線從側(cè)面爬行到C點(diǎn)改為從表面爬行到C點(diǎn),請(qǐng)問它所爬行的最短路程依然是矩形ABCD的對(duì)角線AC的長(zhǎng)度嗎?
分析:蝸牛先是沿著母線AB爬行由點(diǎn)A爬到點(diǎn)B,而后沿著上底面的直徑由點(diǎn)B爬到點(diǎn)C,路程是4+≈10.37<10.77. 因此,最短距離不是AC的長(zhǎng)度.
拓展2:把原題中的圓柱底面周長(zhǎng)這個(gè)條件由20 cm改成16 cm,若蝸牛依然是沿著表面進(jìn)行爬行,那么它所爬行的最短距離還是A→B→C這條路線嗎?
分析:根據(jù)題意得AC===≈8.94(cm). 由點(diǎn)A到點(diǎn)B再到點(diǎn)C的長(zhǎng)度為4+≈9.09(cm),此時(shí)AC的長(zhǎng)度又明顯比A→B→C這條路線短.
不少學(xué)生在遇到拓展2的問題時(shí),受拓展1的影響,省略掉了計(jì)算與分析環(huán)節(jié),直接給出答案而出現(xiàn)了解題錯(cuò)誤. 因此,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在解題時(shí)不能受思維定式的影響武斷地給出結(jié)論,而應(yīng)經(jīng)過分析、計(jì)算、對(duì)比等環(huán)節(jié),讓客觀數(shù)據(jù)來判斷其距離的長(zhǎng)短.
3. 探索研究
以上兩種爬行方法,哪種方法的爬行路程更短?(說明:以下探究比較的都是兩種爬行方法的最短路程)
假設(shè)h為圓柱體的高,r為圓柱體的底面半徑,蝸牛沿著側(cè)面爬行的路線AC的長(zhǎng)度為l=;沿著表面爬行的路線A→B→C的長(zhǎng)度l=h+2r,因此,l=h2+π2r2,l=h2+4hr+4r2,假設(shè)Δd=l-l.
探究1:如果高h(yuǎn)是一個(gè)常數(shù),那么Δd=(π2-4)r2-4hr. 此時(shí),關(guān)于r的二次函數(shù)圖像與橫軸有兩個(gè)交點(diǎn),分別為(0,0)和,0. 因?yàn)閞>0,其函數(shù)圖像如圖3所示.
根據(jù)這個(gè)圖像可獲得以下結(jié)論:
①在r>時(shí),Δd>0,l>l,即l>l,蝸牛沿著圓柱體表面爬行的路程比沿著側(cè)面爬行的路程短;
②在r=時(shí),Δd=0,l=l,即l=l,蝸牛的兩種爬行路線的路程是一樣的;
③在0<r<時(shí),Δd<0,l<l,即l<l,蝸牛沿著圓柱體側(cè)面爬行的路程比沿著表面爬行的路程短.
探究2:如果r是常數(shù),Δd=-4rh+(π2r2-4r2),關(guān)于h的一次函數(shù)圖像與橫軸交于點(diǎn),0,因?yàn)閔>0,其函數(shù)圖像如圖4所示.
①在0<h<時(shí),Δd>0,l>l,即l>l,蝸牛沿著圓柱體表面爬行的路程比沿著側(cè)面爬行的路程短;
②在h=時(shí),Δd=0,l=l,即l=l,蝸牛沿著圓柱體表面和側(cè)面爬行的路程一樣;
③在h>時(shí),Δd<0,l<l,即l<l,蝸牛沿著圓柱體側(cè)面爬行的路程較比沿著表面爬行的路程短.
此探究主要是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的建模過程,通過對(duì)圓柱體表面展開所得的圖形,一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì),以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的探索,滲透了方程、函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、分類討論等各種數(shù)學(xué)思想,經(jīng)過對(duì)比分析,由淺入深地發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,幫助學(xué)生提高解題的靈活性,形成良好的探究力.
4. 延伸創(chuàng)新
延伸1:如圖5,正方體ABCD-EFGH的棱長(zhǎng)是3 m,蝸牛從A點(diǎn)出發(fā),若沿正方體的外表面爬行到G點(diǎn)的最短距離是多少米?
正方體ABCD-EFGH的表面展開圖如圖6所示:
從“兩點(diǎn)之間,線段最短”的規(guī)律出發(fā),想求的最短路程就是正方體ABCD-EFGH表面展開后AG的長(zhǎng)度. 其實(shí),不論是路徑①的AG,或是路徑②的AG,或是路徑③的AG,以勾股定理為據(jù),均等于==3(m). 因此,蝸牛從正方體的A點(diǎn)出發(fā),從外表面爬行到G點(diǎn)的最近路程為3m.
延伸2:如圖7所示,長(zhǎng)方體ABCD-EFGH中AB的長(zhǎng)度為3 m,高BF是2 m,寬BC是1 m. 蝸牛從長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)A點(diǎn)開始沿長(zhǎng)方體的外表面向頂點(diǎn)G爬行,試求最短路程的距離.
如圖8所示,展開長(zhǎng)方體ABCD-EFGH的表面后,根據(jù)“兩點(diǎn)之間,線段最短”的規(guī)律可知距離最短的路程就是矩形對(duì)角線AG的長(zhǎng)度.
由勾股定理可得:①AG==(m);②AG===3(m);③AG===2(m). 因?yàn)?<2<,所以蝸牛從A點(diǎn)爬到G點(diǎn)的最短路程是3m.
此延伸過程將圓柱體換成正方體與長(zhǎng)方體,既直接運(yùn)用了教材中所呈現(xiàn)的知識(shí),又提升了學(xué)生的思維能力. 學(xué)生在一步步尋找最短路程的過程中,激發(fā)了求知的內(nèi)驅(qū)力,有效地拓寬了學(xué)生解題的思路.?搖?搖
總之,解題能力的培養(yǎng)需要一個(gè)漫長(zhǎng)的過程,任何能力的提升都非一朝一夕就能完成的. 教師只有靜下心來認(rèn)真鉆研教材,挖掘例題的內(nèi)涵,通過對(duì)例題的探究與延伸,讓學(xué)生從根本上理解問題的本質(zhì),達(dá)到做一題、通一類題的良好效果.