電機端蓋在不對稱載荷作用下的強非線性主共振分析

李自強

(唐山職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機電工程系， 河北 唐山 063000)

0 引言

電機作為機械動力之源，電機的振動直接影響設(shè)備的運行安全、產(chǎn)品的精度及噪聲的產(chǎn)生等. 因此電機振動問題受到了廣泛關(guān)注. 電機的結(jié)構(gòu)部件轉(zhuǎn)子和定子的弱非線性振動研究已有許多成果,其中關(guān)于對轉(zhuǎn)子、定子系統(tǒng)振動影響因素研究較多[1-4]，關(guān)于電機端蓋結(jié)構(gòu)的振動研究文獻很少.電機端蓋作為電機主要結(jié)構(gòu)之一，其振動將對電機的使用性能造成直接影響.熊煥國等將電機端蓋離散為若干有限的單元進行分析，并將理論一階頻率與實驗數(shù)據(jù)進行了對比，得出轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速受端蓋低階固有頻率影響[5]； 侯朝勝根據(jù)電機端蓋的結(jié)構(gòu)特點將其簡化為薄板圓環(huán)，建立其多種約束條件作用下的振動微分方程，并對其超諧共振進行分析，但其未考慮強非線性對系統(tǒng)的影響[6]. 文[7]建立載荷對稱端蓋的動力學(xué)方程，考慮強非線性參數(shù)對系統(tǒng)振動的影響，并進行了數(shù)值分析.

基于上述原因，本文在文[7]的基礎(chǔ)建立結(jié)構(gòu)對稱的電機端蓋在受載不對稱情況下的振動模型，考慮強非線性參數(shù)對定子、轉(zhuǎn)子與端蓋耦合振動的影響，通過改進的MLP法[7]得到定常解，分析系統(tǒng)的一次解析解，并通過不同相關(guān)參數(shù)分析對電機端蓋的振動影響. 研究結(jié)果對電機的減振、避振設(shè)計具有實際意義.

1 電機端蓋動力學(xué)方程建立

圖1 電機端蓋結(jié)構(gòu)簡圖

圖1為結(jié)構(gòu)對稱的電機端蓋結(jié)構(gòu)簡圖，將其簡化為圓環(huán)薄板，其振動基本方程為動態(tài)卡門偏微分方程[8],即：

(1)

(2)

電機端蓋的約束特點為內(nèi)、外邊緣固定夾緊，因此邊界條件為：

(3)

應(yīng)用伽遼金(Galerkin)法，將振動方程的撓度函數(shù)進行空間和時間分離，即設(shè)定軸承端蓋的瞬時撓度為：

W(ξ,t)=hu(t)w(ξ)

(4)

式中：h為板厚，u(t)是僅關(guān)于時間t的無量綱變量函數(shù)，由振動控制方程給出. 在qcosωt激勵作用下，設(shè)振型試函數(shù)w(ξ)為無量綱的自然數(shù)項冪函數(shù)[8]，即：

w(ξ)=c0+c2ξ+c2ξ2+c3ξ3+ξ4

(5)

將式(5)代入式(4)，再進行求偏導(dǎo)運算得：

(6)

由電機端蓋邊緣固定夾緊的邊界條件和端蓋厚度h與關(guān)于時間t的無量綱函數(shù)u(t)，兩者不能恒為零，則在電機端蓋外邊緣固定夾緊時，即在(ξ=1)有[8]：

(7)

同理考慮軸承端蓋內(nèi)邊緣夾緊固定(ξ=0.41)時邊界條件：

(8)

聯(lián)立以上兩組邊界條件方程解得：

c0=0.3247；c2=-2.8312；c4=5.6883；c6=-4.1818.

將解代回式(5)后再代入式(2)解得：

(9)

將式(9)式和(4)代入式(1)得：

(10)

式中：

(2c2+6c3ξ1+12ξ2)

應(yīng)用伽遼金(Galerkin)法消除殘余值[9]：

(11)

計算得電機端蓋在結(jié)構(gòu)對稱受載不對稱情況下的非線性振動控制方程：

(12)

2 強非線性主共振分析

根據(jù)電機端蓋系統(tǒng)振動方程非線性項可知該系統(tǒng)為強非線性系統(tǒng)，采用處理強非線性方程的改進MLP法對系統(tǒng)進行分析，同時考慮頻率和相位變化關(guān)系令τ=ωt-θ，并設(shè)K=Fcosθ，H=Fsinθ，則式(12)可化解為：

(13)

因微小的同頻外激勵就能使系統(tǒng)產(chǎn)生共振，所以可將激勵小參數(shù)化進行分析：

(14)

令ω2有關(guān)于ε的展開的級數(shù)關(guān)系：

(15)

引入變換參數(shù)：

(16)

由式(15)可得：

(17)

將式(17)代入式(15)有：

(18)

利用泰勒公式對式(18)進行展開得：

(19)

設(shè)u(τ)可展開為關(guān)于α級數(shù)形式：

u(τ)=u0(τ)+αu1(τ)+α2u2(τ)+…

(20)

將式(15)～(20)代入是式(14)中得：

(21)

將式(21)展開并比較關(guān)于α的次冪得:

關(guān)于α0

(22)

關(guān)于α1

(23)

設(shè)關(guān)于方程α0的解的形式有：

u0(τ)=Acosτ+Bsinτ

(24)

將式(24)代入式(23)可得：

(25)

式(25)中的NST為不長期存在項，提取永年項并令其等于零有：

(26a)

(26b)

已知H2+K2=F2，再令A(yù)2+B2=a2，讓式(26a)與(26b)平方相加并整理得：

(27)

式(27)為電機端蓋系統(tǒng)的強非線性主共振響應(yīng)方程.

3 電機端蓋一次近似解析分析

式(24)是系統(tǒng)在周期力作用下的0階近似解，電機端蓋在應(yīng)用時通過緊固螺釘固定在電機機身上，因此考慮其實際工作情況，將邊界條件設(shè)置為：

(28)

式中的a取值范圍0.001～0.005 m.

解得關(guān)于α0方程的解為：

u0(τ)=acosτ

(29)

將其代入式(23)解關(guān)于一次冪式得：

(30)

式中C1，C2是待定系數(shù)，u1(τ)是對u(τ)的修正的派生解，故令其初始條件都為零，即：

(31)

解u1(τ)得：

(32)

所以系統(tǒng)振動的一次近似解為：

(33)

電機端蓋參數(shù)為：c=0.001；ρ=7 800 kg/m3；r2=0.11 m；h=0.008 m；ν=0.33；E=2.1×1011Pa；q=5 N；k=1 373.1；λ=4.3191；D=Eh3/12(1-ν2)=10 056 Pa·m3.

當電機端蓋在一定的振動幅值及其約束范圍之內(nèi)時，選取振幅a為0.002 m時，通過數(shù)值仿真軟件計算得振動方程解析解的時間響應(yīng)曲線如圖2所示.由圖2中電機端蓋主共振系統(tǒng)0階和1階近似解曲線可以看出，振動幅值隨階次的增長有明顯升高，同時1階曲線有較明顯的滯后性.

圖2 振動方程解析解的時間響應(yīng)曲線

4 數(shù)值分析

將參數(shù)代入式(27)并對其進行數(shù)值計算與分析，參數(shù)選取參考解析解時所給參數(shù). 可以得到系統(tǒng)在不同外激勵q、阻尼c、厚度h和外半徑r2作用下的幅頻響應(yīng)曲線，如圖3所示.通過分析明顯可見在單一參數(shù)發(fā)生變化時，系統(tǒng)的共振區(qū)間和振幅都有較大變化.圖3a為外激勵在q=0.5 N和q=0.8 N作用下的幅頻響應(yīng)曲線，隨著外激勵力的增大，系統(tǒng)的共振區(qū)間也隨之增寬，外界激勵的改變對系統(tǒng)的共振影響主要體現(xiàn)在振動區(qū)域增大. 圖3b為不同阻尼c作用下的系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線，阻尼增大振幅減小，可有效緩解系統(tǒng)振動. 圖3c為端蓋結(jié)構(gòu)參數(shù)厚度h變化的系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線，端蓋厚度的變化對系統(tǒng)振動響應(yīng)曲線有明顯影響，隨著端蓋厚度是增加，振動響應(yīng)曲線向右偏置，同時振幅也有所降低. 圖3d為結(jié)構(gòu)參數(shù)外半徑r2對系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線影響曲線，當端蓋的外半徑r2越大時，在同等條件和激勵下振動幅值越大，系統(tǒng)的非線性越顯著.

圖3 系統(tǒng)在不同外激勵q、阻尼c、厚度h和外半徑r2作用下的幅頻響應(yīng)曲線

5 結(jié)論

通過動態(tài)卡門方程和伽遼金法建立電機端蓋的強非線性振動方程，應(yīng)用改進的MLP法對系統(tǒng)進行理論分析，利用數(shù)值分析軟件通過參數(shù)帶入解出其周期幅頻響應(yīng)曲線，得出振動幅值隨階次的增長有明顯升高，同時高階曲線有較明顯的滯后性. 同時通過對系統(tǒng)的振動方程進行分析，在不同結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化時系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線有明顯變化，結(jié)構(gòu)參數(shù)變化得到的幅頻響應(yīng)曲線符合實際振動規(guī)律.因此，可以為優(yōu)化電機端蓋結(jié)構(gòu)尺寸提供理論依據(jù).