一類非負張量譜半徑的上下界

李海龍

(吉林工程技術(shù)師范學(xué)院應(yīng)用理學(xué)院，吉林 長春 130052)

非負張量是非負矩陣的重要推廣，關(guān)于其特征值和特征向量有許多研究結(jié)果[1-7].張量的特征值問題有重要的應(yīng)用背景，如在盲源分離[8]、磁共振成像[9-10]、分子構(gòu)象[11]等方面都有重要應(yīng)用.本文利用張量的有向圖，研究一類非負張量譜半徑的上下界，其結(jié)果改進了此類非負張量譜半徑上下界估計的相應(yīng)結(jié)論.

1 基本定義和定理

如果ai1i2…im≥0，稱為非負張量.

2005年，Qi[12]和Lim[1]分別定義了張量的特征值.

定義1對于m階n維張量和一個向量x=(x1，x2，…，xn)T，xm-1是一個向量，其第i個分量為

(

一個復(fù)數(shù)λ稱為張量的特征值，如果存在一個非零向量x=(x1，x2，…，xn)T，使得

類似于非負矩陣?yán)碚?，我們稱ρ()=sup{|λ|:λ∈spec()}是張量的譜半徑，其中spec()是張量的特征值集合.

文獻[13]將不可約矩陣的概念推廣到張量.

定義2[13]對于m階n維張量，如果存在一個非空的真子集I?〈n〉，使得

ai1i2…im=0， ?i1∈I， ?i2，…，im?I，

對于m階n維張量=(ai1i2…im)，記G=(V(G)，E(G))是伴隨于張量的有向圖，其結(jié)點集合V(G)=〈n〉，有向邊集合E(G)={(i，j):aii2…im≠0，j∈{i2，…，im}}[14-15].如果對每一對i，j∈V(G)(i≠j)都存在由i到j(luò)和由j到i的有向路徑，則稱G是強連通的.我們定義G上的簡單回路集合為C(G)，G上包含平凡回路的循環(huán)回路集合為定義

文獻[5]給出了如下非負張量的特征值和特征向量的結(jié)果：

定理1[5]如果=(ai1i2…im)是m階n維非負張量，則存在λ0≥0和一個非負向量x0≠0，使得

(1)

文獻[5]又進一步證明了

定理2[5]如果=(ai1i2…im)是m階n維不可約非負張量，則方程(1)中的(λ0，x0)滿足：

(ⅰ)λ0>0是的一個特征值.

(ⅱ)x0>0，即x0的所有分量是正的.

(ⅲ)如果λ是的一個具有非負特征向量的特征值，則λ=λ0.此外，在不計倍數(shù)的情況下非負特征向量是唯一的.

(ⅳ)如果λ是的特征值，則|λ|≤λ0.

由定理2之(ⅱ)和(ⅳ)可知，非負張量的譜半徑即是其最大特征值.

給定m階n維非負張量=(ai1…im)，定義

ri()-ai…i，i∈〈n〉.

由文獻[5]我們有

引理1設(shè)=(ai1…im)是m階n維不可約非負張量，則ρ()>ai…i，i∈〈n〉.

文獻[16]在非負張量上推廣了關(guān)于非負矩陣譜半徑上下界的Perron-Frobenius型定理：

定理3[16]假設(shè)=(ai1i2…im)是m階n維非負張量，則

2 主要結(jié)果

在這一節(jié)中，我們給出一類非負張量譜半徑的一個新的上下界估計結(jié)果.

定理4設(shè)=(ai1…im)是m階n維弱不可約非負張量，滿足aii2…im=0，當(dāng)i∈{i2，…，im}{i:i=i2=…=im}時.記

.

(1)

再由aii2…im=0，當(dāng)i∈{i2，…，im}{i:i=i2=…=im}時，從而進一步有

(2)

由引理1知ρ()>ai…i，?i∈〈n〉，從而由式(2)有

也即

從而ρ()≤xγ.因此ρ(

另一方面，由文獻[17]存在一個簡單環(huán)路γ′∈C(G)，不妨記γ′:j1→j2→…→jr→jr+1=j1，使得對都有xk≥xjl+1，l=1，2，…，r.類似上面的證明又有ρ()≥xγ′.因此ρ(證畢.

如果把定理4推廣到一般的非負張量，可得如下結(jié)果：

定理5設(shè)=(ai1…im)是m階n維非負張量，記

但在aii2…im≠0，存在i∈{i2，…，im}{i:i=i2=…=im}時，上面結(jié)果退化為定理3.因此，在定理4中假設(shè)aii2…im=0，當(dāng)i∈{i2，…，im}{i:i=i2=…=im}是必要的.而文獻[18]給出的引理2.1，實際上只有當(dāng)aii2…im=0，當(dāng)i∈{i2，…，im}時才是有意義的.

3 數(shù)值算例

例1設(shè)

計算知ρ()=5.211 1.應(yīng)用定理3有4≤ρ()≤7，應(yīng)用本文定理4有4.472 1≤ρ()≤5.916 1.因此，對于此類非負張量，估計其譜半徑的上下界，本文定理4是一個很好的改進.