考慮間隙非線性的控制舵非線性氣動彈性分析

李家旭，田瑋，谷迎松

(1.航空工業(yè)陜西飛機工業(yè)(集團)公司 設(shè)計院， 漢中 723213)(2.西北工業(yè)大學(xué) 結(jié)構(gòu)動力學(xué)與控制研究所， 西安 710072)

0 引 言

一直以來，飛行器氣動彈性問題都是航空航天領(lǐng)域研究的重點問題之一，備受關(guān)注，極大地推動了我國飛機氣動彈性力學(xué)的研究和發(fā)展。然而，現(xiàn)代航空航天飛行器在具備更高飛行速度、更強機動性能的同時，涉及的氣動彈性問題越來越復(fù)雜，帶來的非線性問題也越發(fā)明顯[1]。控制舵結(jié)構(gòu)作為飛行器典型升力面結(jié)構(gòu)之一，相比其他結(jié)構(gòu)部件，其操縱剛度相對較低，更易發(fā)生顫振失穩(wěn)。

在生產(chǎn)過程中，不可避免地出現(xiàn)超差、裝配誤差等因素，同時飛行器運動過程中也會出現(xiàn)磨損等現(xiàn)象，從而導(dǎo)致飛行器結(jié)構(gòu)出現(xiàn)間隙非線性。它作為最常見的一種集中非線性環(huán)節(jié)，在當前飛行器氣動彈性分析中需要被重點考慮[2]。楊智春等[3]從建模方法、分析方法及動力學(xué)行為等方面對含結(jié)構(gòu)集中非線性的機翼顫振研究進行了探討和總結(jié)，其中，控制舵的舵軸連接處及其操縱剛度都可能存在間隙非線性環(huán)節(jié)，這些都會改變系統(tǒng)的動力學(xué)特性及操控性能。該問題也受到了國內(nèi)外研究人員的廣泛關(guān)注[4-12]。基于雙協(xié)調(diào)自由界面法，Wu Zhigang等[13]建立了帶間隙折疊翼的結(jié)構(gòu)模型，并通過地面振動試驗驗證了建模與辨識方法的有效性；Yang Ning等[14]針對含間隙非線性舵結(jié)構(gòu)，提出了一種基于動態(tài)子結(jié)構(gòu)法的氣動彈性建模方法，用于非線性顫振分析；何昊南等[15]從實驗和仿真兩方面對含有間隙的折疊舵面建模方法及響應(yīng)分析進行了研究；R.D.Firouz-Abadi等[16]建立了帶有間隙的三維雙楔型機翼模型，考察了關(guān)鍵參數(shù)對非線性動力學(xué)特性的影響規(guī)律；Tian Wei等[17]針對含有間隙的三維全動舵面模型，考察了氣動載荷和熱載荷作用下間隙對非線性氣動彈性響應(yīng)特性的影響規(guī)律。然而，考慮局部結(jié)構(gòu)間隙影響的舵面非線性顫振機理研究尚有不足，尤其當含有多個非線性環(huán)節(jié)時，間隙對系統(tǒng)顫振和非線性動力學(xué)響應(yīng)是如何影響的，這些都缺少系統(tǒng)的研究。

綜上所述，本文針對考慮間隙非線性的控制舵非線性氣動彈性系統(tǒng)，著重考察間隙非線性對舵面非線性顫振特性的影響機理。應(yīng)用Lagrange方程建立考慮俯仰和撲動方向的控制舵動力學(xué)方程，利用基于樣條插值函數(shù)獲得氣動力降階模型，并應(yīng)用最小狀態(tài)法將降階頻域氣動力模型擬合成時域氣動力模型；分別考察僅有俯仰間隙、僅有撲動間隙及兩個自由度同時含有間隙情況下系統(tǒng)的顫振穩(wěn)定性及非線性動力學(xué)響應(yīng)特性。

1 理論模型

1.1 控制舵結(jié)構(gòu)建模

剛性全動舵面的結(jié)構(gòu)模型如圖1所示，可以在其根部繞x軸和繞y軸轉(zhuǎn)動，分別代表全動舵面撲動方向(β)和俯仰方向(α)的運動，并且舵面的根部在撲動和俯仰方向上分別施加一個彈簧約束，即Kβ和Kα。對于該全動舵面氣動彈性模型，其動能和勢能可以由式(1)和式(2)得到：

(1)

(2)

圖1 全動舵面模型的平面幾何示意圖

通過應(yīng)用Lagrange方程：

(3)

建立系統(tǒng)的運動方程，其運動方程矩陣形式為

(4)

式中：x=[βα]T為狀態(tài)向量；M和K分別為廣義質(zhì)量陣和剛度陣；Q為廣義外載荷。

當不考慮結(jié)構(gòu)阻尼時：

對于含有俯仰和撲動間隙非線性的控制舵模型，其動力學(xué)方程可寫為

(5)

式中：M(x)=[g(β)f(α)]T，為彈性恢復(fù)力項。

俯仰和撲動方向的非線性恢復(fù)力矩表達式分別為

(6a)

(6b)

式(6)中的恢復(fù)力矩可分寫為線性項和非線性項的形式，即：

f(α)=Kαα+f1(α)

(7a)

g(β)=Kββ+g1(β)

(7b)

其中，

最終，彈性恢復(fù)項可表示為M(x)=K+FN，F(xiàn)N=[g1(β)f1(α)]T。

1.2 控制舵氣動力建模

在對全動舵面動力學(xué)系統(tǒng)進行氣動彈性求解時，需要實時地計算廣義外載荷的非定常氣動力。為了提高計算效率，本文采用升力面理論中的偶極子格網(wǎng)法進行氣動力建模，利用基于樣條函數(shù)的降階方法對頻域氣動力進行降階，從而得到降階的氣動力模型，再應(yīng)用最小狀態(tài)法將頻域氣動力模型轉(zhuǎn)換到時域上。

1.2.1 頻域氣動力模型降階的理論方法

工程上常用的升力面方法，如偶極子格網(wǎng)法和ZONA51等，則是通過氣動力影響系數(shù)矩陣來計算氣動力[18-19]。頻域非定常氣動力模型可以表示為

Q=q∞A(ω)z

(8)

式中：q∞為動壓；A(ω)為非定常氣動力影響系數(shù)矩陣；ω為簡諧振動圓頻率；Q和z分別為力向量和位移向量。

常用的樣條插值函數(shù)有面樣條函數(shù)和梁樣條函數(shù)[20]，它們都是通過樣條矩陣來實現(xiàn)力與位移的插值。假設(shè)將式(8)的頻域氣動力模型降階到Ns個節(jié)點上，則有如下樣條插值關(guān)系：

(9)

式中：Qs和zs分別為Ns個節(jié)點上的氣動力、位移組成的列向量；Gs為插值矩陣。

將式(9)代入式(8)即可得到基于樣條函數(shù)的非定常氣動力降階模型：

Qs=q∞Ass(ω)zs

(10)

1.2.2 氣動力模型的時域擬合

經(jīng)過上述過程可以得到降階頻域氣動力模型，下面通過最小狀態(tài)法將該模型轉(zhuǎn)換到拉式域中，從而用于時域分析[19]。這里，最小狀態(tài)法將已知的空氣動力矩陣Q(k,M∞)在Laplace域中進行近似，具體形式如下：

(11)

氣動力經(jīng)過最小狀態(tài)法近似后，運動方程表示為

(12)

引入的狀態(tài)變量為

(13)

由此，可以得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：

(14)

上述過程得到的是Ns個節(jié)點上的時域降階氣動力，但對于剛性全動舵面只需要撲動和扭轉(zhuǎn)兩個自由度的運動，因此，需要通過變換矩陣得到撲動和俯仰兩個自由度上的位移β和α，以及廣義力Qβ和Qα。具體關(guān)系如下：

(15)

(16)

式中：R為變換矩陣。

R具體為

(17)

式中：xi和yi分別為降階點到俯仰和撲動軸的距離。

因此，通過上述變換，系統(tǒng)狀態(tài)空間內(nèi)的氣動彈性方程式(14)變?yōu)?/p>

(18)

RsR=Rs。

這樣，即可利用數(shù)值方法來實現(xiàn)帶間隙非線性的全動舵面模型的氣動彈性響應(yīng)仿真。

2 算例與分析

三維控制舵在MSC.Adams軟件平臺上建立的動力學(xué)模型如圖2所示，可以看出：在舵面根部作用有萬向節(jié)和兩個轉(zhuǎn)動彈簧，其中，萬向節(jié)用于約束系統(tǒng)的3個平動自由度和繞z軸的轉(zhuǎn)動自由度。

在本文算例中，三維舵面的結(jié)構(gòu)參數(shù)若無特別說明均如表1所示。

圖2 三維控制舵的MSC.Adams動力學(xué)模型

表1 三維控制舵的結(jié)構(gòu)參數(shù)

2.1 線性顫振分析

對于三維控制舵線性顫振系統(tǒng)，通過系統(tǒng)矩陣特征值分析獲得線性系統(tǒng)的顫振特性，如圖3所示。線性顫振速度和頻率分別為259.63 m/s和44.91 Hz，并將該時域結(jié)果(Time Domain，簡稱TD)與Nastran頻域和Adams時域仿真結(jié)果進行對比，如表2所示，可以看出：三種方法計算得到的顫振結(jié)果吻合得很好，系統(tǒng)顫振是由撲動-俯仰模態(tài)耦合振動導(dǎo)致。上述對比結(jié)果驗證了該分析模型的有效性和準確性。

(a) 實部

(b) 虛部

表2 線性顫振速度和頻率的結(jié)果

在三維控制舵線性顫振系統(tǒng)中，俯仰和撲動彈簧剛度對系統(tǒng)顫振特性有著很大的影響。線性顫振速度和顫振頻率隨俯仰彈簧剛度的變化規(guī)律如圖4所示，可以看出：系統(tǒng)的顫振速度和頻率隨著俯仰彈簧剛度系數(shù)的增加而增加。這是因為俯仰彈簧剛度的增加，使得俯仰模態(tài)分支的頻率增加，推遲了兩個運動模態(tài)分支頻率的接近，從而導(dǎo)致顫振速度提高，相應(yīng)的顫振頻率也提高。

圖4 顫振速度隨俯仰彈簧剛度系數(shù)的變化

線性顫振速度和顫振頻率隨撲動彈簧剛度的變化規(guī)律如圖5所示，可以看出：與俯仰彈簧剛度不同，隨著撲動彈簧剛度系數(shù)的增加，系統(tǒng)顫振速度降低。產(chǎn)生該結(jié)果的原因是由于撲動彈簧剛度的增加，使撲動模態(tài)分支的頻率增加，兩個模態(tài)分支的頻率更接近，導(dǎo)致系統(tǒng)顫振速度降低。

圖5 顫振速度隨撲動彈簧剛度系數(shù)的變化

綜上可知，提高俯仰彈簧剛度可以提高顫振速度，增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性；而撲動彈簧剛度的增加，會降低顫振速度，不利于系統(tǒng)的顫振穩(wěn)定性。

2.2 僅考慮俯仰間隙非線性

利用等效線化方法(Equivalent Linearization Method,簡稱ELM)[21]進行非線性顫振分析。俯仰間隙非線性的等效線性剛度曲線如圖6所示，可以看出：當幅值在間隙大小之內(nèi)，等效剛度系數(shù)為零；當幅值大于間隙值時，隨著幅值的增加，等效線性剛度增加，表現(xiàn)出“硬彈簧”特性；當幅值繼續(xù)增大時，等效線性剛度將趨近線性剛度。

圖6 間隙非線性的等效線化剛度系數(shù)

系統(tǒng)俯仰角幅值與間隙值之比隨速度和頻率的變化規(guī)律如圖7所示。從圖7(a)可以看出：隨著速度的增加，系統(tǒng)俯仰角與間隙大小之比呈增加趨勢；從圖7(b)可以看出：俯仰角幅值與間隙值之比越大，相應(yīng)的運動頻率也越大，并且系統(tǒng)發(fā)生極限環(huán)顫振的頻率小于線性顫振頻率。

(a) 系統(tǒng)俯仰自由度的運動幅值隨速度的變化規(guī)律

(b) 系統(tǒng)俯仰自由度的運動幅值隨頻率的變化規(guī)律

俯仰彈簧剛度對系統(tǒng)顫振速度和顫振頻率的影響規(guī)律如圖8所示，可以看出：在A/δ>1時，系統(tǒng)顫振邊界隨俯仰彈簧剛度增加而提高。因此，對于含俯仰間隙的控制舵系統(tǒng)，俯仰彈簧剛度的增加可以提高系統(tǒng)的顫振邊界。

(a) 顫振速度

(b) 顫振頻率

2.3 僅考慮撲動間隙非線性

系統(tǒng)顫振速度隨撲動角與間隙大小之比的變化規(guī)律如圖9所示，并將時域計算結(jié)果與等效線化法得到的結(jié)果進行比較。

圖9 系統(tǒng)撲動方向運動幅值隨速度的變化規(guī)律

從圖9可以看出：兩種方法的結(jié)果吻合一致，并且當撲動方向帶有間隙非線性時，隨著撲動運動幅值的增加，系統(tǒng)顫振邊界降低，而顫振頻率隨之增加。這一規(guī)律與線性顫振系統(tǒng)中改變撲動彈簧剛度的結(jié)果是類似的。

在系統(tǒng)受到一定擾動后，系統(tǒng)振幅超過當前運動幅值，則系統(tǒng)進入不穩(wěn)定區(qū)域從而導(dǎo)致運動發(fā)散，而當系統(tǒng)振幅小于當前運動幅值，系統(tǒng)運動收斂。因此，含有撲動間隙非線性的系統(tǒng)不能得到穩(wěn)定的極限環(huán)運動。而在時域分析中，需要通過調(diào)整不同速度來尋找系統(tǒng)不穩(wěn)定的極限環(huán)運動，而此時對應(yīng)的速度就是系統(tǒng)的不穩(wěn)定顫振邊界。

U*= 271.75和U*= 271.76時，時域響應(yīng)和相平面圖分別如圖10～圖11所示，可以看出：在0.3 s左右之前存在一段等幅運動，并且兩個相鄰速度下等幅運動的幅值基本相同，但0.3 s之后的響應(yīng)分別為收斂和發(fā)散，因此，該等幅運動的幅值所對應(yīng)的顫振速度和頻率即為系統(tǒng)的不穩(wěn)定顫振邊界上的點。

(a) 時域歷程

(b) 相平面圖

(a) 時域歷程

(b) 相平面圖

綜上可知，在撲動自由度帶有間隙非線性的控制舵氣動彈性系統(tǒng)中，系統(tǒng)的顫振邊界大于線性顫振速度，并且該系統(tǒng)的顫振速度隨振幅的增加而降低。

2.4 同時考慮俯仰和撲動間隙非線性

對于控制舵系統(tǒng)兩個方向同時含有間隙的情況，系統(tǒng)俯仰和撲動運動的分岔圖分別如圖12～圖13所示，可以看出：在線性顫振速度內(nèi)，系統(tǒng)會出現(xiàn)有限幅值的動力學(xué)響應(yīng)，而當速度大于線性顫振速度時，系統(tǒng)響應(yīng)將發(fā)散。

圖12 控制舵俯仰運動的分岔圖

圖13 系統(tǒng)撲動方向運動的分岔圖

(a) 相平面圖

(b) 幅值譜

(c) Poincare映射圖

圖時系統(tǒng)俯仰方向運動

根據(jù)上述分析可知，當俯仰和撲動方向同時含有間隙非線性時，系統(tǒng)的運動與僅含有俯仰間隙非線性系統(tǒng)類似，即在線性顫振邊界內(nèi)存在有限幅值的非線性動力學(xué)響應(yīng)。并且，控制舵在顫振邊界內(nèi)表現(xiàn)出多周期LCO、混沌等復(fù)雜動力學(xué)響應(yīng)。

3 結(jié) 論

(1) 采用本文建立的時域模型，相比于Nastran頻域和Adams時域仿真結(jié)果，具有足夠精度可用于預(yù)測三維控制舵模型的顫振穩(wěn)定性及非線性動力學(xué)響應(yīng)。

(2) 提高俯仰彈簧剛度可以提高顫振速度，增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而撲動彈簧剛度的增加會降低顫振速度。

(3) 對于含有俯仰間隙的控制舵系統(tǒng)，在顫振邊界內(nèi)會出現(xiàn)穩(wěn)定的極限環(huán)運動；而對于含有撲動間隙控制舵系統(tǒng)，系統(tǒng)不存在穩(wěn)定極限環(huán)運動，并且系統(tǒng)顫振速度隨振幅的提高而持續(xù)下降。

(4) 對于控制舵系統(tǒng)同時含有俯仰和撲動間隙非線性的情況，在顫振邊界內(nèi)存在多周期LCO、混沌等復(fù)雜動力學(xué)響應(yīng)。