日心懸浮軌道混合推進航天器編隊構(gòu)型保持研究*

左晨熠，袁長清*，龔勝平，賀京九

0 引 言

深空探測任務(wù)通常要求長航時且對整體重量有限制，為減少燃料及推進系統(tǒng)重量，先后提出多種推進方式，太陽帆推進是其中一種較為實用的方法.太陽帆推進是一種連續(xù)小推力的航天器推進方式，其通過太陽光子撞擊帆面進行動量交換對太陽帆產(chǎn)生作用力.太陽帆推進的優(yōu)勢在于采用太陽光為動力，不需要消耗燃料，可持續(xù)對航天器加速，在長時間后能獲得較大加速度.太陽帆推進的概念最早由Tsiolkovsky在1921年提出，目前已提出的利用太陽帆的空間任務(wù)有太陽帆的極地軌道[1]，水星軌道[2]，懸浮在黃道平面上的懸浮軌道[3]等.在太陽帆提供的連續(xù)推力的作用下，航天器可以實現(xiàn)懸浮軌道.懸浮軌道在中繼通訊和深空探測任務(wù)中可提供軌道平臺.GONG對懸浮軌道作了較多研究，將太陽帆懸浮軌道按照周期的不同分為3類[4].BOOKLESS等[5]研究總結(jié)了多類行星懸浮軌道的動力學(xué)模型，并總結(jié)出懸浮軌道的穩(wěn)定區(qū)域.龔勝平針對地球及火星懸浮軌道，推導(dǎo)出在其附近的太陽帆編隊的線性化相對運動方程，并分析了能使其穩(wěn)定的區(qū)域[6].陳翠紅在Bookless的研究基礎(chǔ)上，進一步對行星懸浮軌道的穩(wěn)定性進行了分析[7].太陽帆受到的光壓力與太陽帆的面積、姿態(tài)都有關(guān).當(dāng)太陽帆處于不同的軌道時，太陽帆受到的光壓力矩和各種引力梯度力矩也會發(fā)生變化，從而改變太陽帆的姿態(tài).因此太陽帆的軌道和姿態(tài)是相互耦合的，現(xiàn)有文獻對太陽帆進行研究時通常認為只考慮太陽帆姿態(tài)調(diào)節(jié)對軌道的控制.對航天器編隊加入系統(tǒng)內(nèi)力以直接控制航天器距離可以簡化航天器編隊控制且減少響應(yīng)時間.航天器庫侖力編隊通過使航天器帶電形成排斥力或吸引力來控制航天器編隊的構(gòu)型、姿態(tài)、距離等，由KING[8]首次在2002年提出.三星庫侖衛(wèi)星編隊最早由Hanspeter展開研究，通過設(shè)計反饋控制來實現(xiàn)編隊的保持和重構(gòu)[9].SAAJ[10]首次提出了以庫侖力為主、電推進為輔的混合推進方式.航天器間庫侖力作為系統(tǒng)內(nèi)力不會影響整個編隊系統(tǒng)的在軌運行且不需要消耗燃料，可以提供長周期穩(wěn)定的控制力.

本文建立了日心懸浮軌道附近的混合推進航天器編隊的相對運動方程，基于該方程并考慮軌道出現(xiàn)初始小擾動的情況，設(shè)計了LQR控制器，通過調(diào)節(jié)太陽帆的姿態(tài)及航天器間庫侖力的大小對航天器進行控制.通過數(shù)值仿真的方式對編隊長周期運行情況進行分析，驗證了設(shè)計方法的有效性.

1 航天器動力學(xué)建模

如圖1所示，慣性坐標系中X軸指向J2000星歷的春分點，Z軸方向為地球公轉(zhuǎn)的角速度方向，Y軸與X軸和Z軸構(gòu)成右手坐標系，坐標原點為太陽質(zhì)心.設(shè)編隊中的主航天器運行在離OXY平面距離為h，半徑為ρ的圓軌道上，角速度為ω.定義旋轉(zhuǎn)坐標系oξζη，坐標原點為主航天器的質(zhì)心位置，ξ軸沿上述圓軌道的圓心指向主航天器的方向，η軸的方向定義為主航天器的軌道角速度方向.

圖1 日心懸浮軌道Fig.1 Displaced solar orbit

設(shè)主航天器對太陽的矢徑為rm，從航天器對太陽的矢徑為rs，則從航天器相對主航天器的矢徑為δ=rs-rm.

在慣性坐標系中，兩航天器的軌道動力學(xué)方程可表示為

(1)

(2)

由式(1)(2)得到在慣性坐標系下的相對運動方程為：

fg(rs)+fm(rs)-fm(rm)+

(3)

將慣性系下的方程轉(zhuǎn)換到旋轉(zhuǎn)坐標系oξζη中，有如下關(guān)系成立：

(4)

fg(rm)-fg(rs)+fm(rs)-fm(rm)+

(5)

(6)

考慮到從航天器在主航天器附近運動，從航天器的太陽帆參數(shù)(法向方向和太陽光壓因子)與主航天器非常接近，于是可以將fm(rs)-fm(rm)在(rm,nm,βm)處展開，取線性項得：

(7)

可得在oξζη旋轉(zhuǎn)坐標系下的線性化相對運動方程：

(8)

在軌道坐標系下，式(8)中各項可寫成如下分量形式：

δ=[xyz]T

(9)

ω=[0 0n]T

(10)

rm=[rm0 0 ]T

(11)

rs=[rm+xyz]T

(12)

(13)

將式(9)～(13)代入式(8)整理得相對運動方程的分量形式：

(14)

其中fcx，fux，fcy，fuy，fcz，fuz分別為各力沿軌道坐標系3個坐標軸的分量.

設(shè)主航天器沿圓軌道運動，軌道角速度不變，有：

(15)

(16)

ω×(ω×δ)=[-n2x-n2y0]T

(17)

相對運動方程的分量形式變?yōu)椋?/p>

(18)

由于航天器距太陽距離較遠，近似認為懸浮軌道處太陽光線為平行光，方向沿旋轉(zhuǎn)坐標系η軸，所以α即為太陽帆的法向方向與η軸的夾角，在之后的運算中用φ替代α，設(shè)θ為太陽帆的法向方向在旋轉(zhuǎn)坐標系oξζ平面內(nèi)與ζ軸夾角.太陽帆的法向矢量可以表示為：

n=[sinφsinθsinφcosθcosφ]T

(19)

將式(6)，(7)，(19)代入式(18)得到相對運動方程的分量形式為：

(20)

取主航天器與從航天器為相同航天器，面質(zhì)比相同，δβ=0.則進一步簡化后的相對運動方程為：

(21)

2 控制器設(shè)計

對式(21)中狀態(tài)變量及控制輸入用下式進行表示：

(22)

其中x0，y0，z0為從航天器跟蹤參數(shù)軌道運動時的期望值，δx，δy，δz為狀態(tài)誤差.φ0，θ0，Q0為保持從航天器跟蹤參數(shù)軌道運動時的控制量，δφ，δθ，δQ為調(diào)整狀態(tài)誤差所需要的調(diào)整控制量.

(23)

取如下二次型性能指標函數(shù)：

(24)

式中Q與R分別為描述狀態(tài)變量和控制變量的加權(quán)矩陣，此LQR問題對應(yīng)的代數(shù)Riccati方程為：

PA+ATP-PBR-1BTP+Q=0

(25)

解得最優(yōu)控制u=-R-1BTPx.

3 仿真分析

假設(shè)主航天器運行的懸浮軌道參數(shù)為ρ=0.98AU，h=4×105km，從航天器運行在oξζ平面內(nèi)的半徑為100 m的圓形軌道，軌道中心點為主航天器質(zhì)心，軌道周期選取為地球公轉(zhuǎn)周期的1/100.光壓因子取β=0.20.仿真模型為存在一個δx=10 m的初始誤差的理想二體動力學(xué)模型，仿真在初始時主航天器不存在初始速度誤差，初始速度誤差會在編隊仿真過程中對航天器間距離產(chǎn)生影響，并累積較快.利用控制輸入使得從航天器回到參考軌道.仿真結(jié)果如下圖所示.

圖2為在LQR控制器控制下的相對運動軌道，表明從航天器在預(yù)設(shè)參考軌道上穩(wěn)定運行.圖3、圖4為從航天器的兩個太陽帆姿態(tài)角的變化，穩(wěn)定持續(xù)提供小推力控制.圖5為電荷積大小變化，通過控制電荷積大小調(diào)整庫侖力大小.如圖示，在仿真過程中通過調(diào)整電荷積數(shù)值用時約10h消除初始距離誤差，使航天器間距離達到期望距離，電荷積在之后的仿真過程中為小量且不再變化，為直觀展示前10h內(nèi)電荷積變化，圖5不再展示15h后仿真過程中的電荷積變化曲線.仿真結(jié)果表明編隊在長周期內(nèi)保持穩(wěn)定，且能量消耗小.

圖2 相對運動軌道Fig.2 Relative motion orbit

圖3 姿態(tài)角變化Fig.3 Attitude angle change

圖4 姿態(tài)角變化Fig.4 Attitude angle change

圖5 電荷積變化曲線Fig.5 charge’s change

4 結(jié) 論

本文主要研究了太陽帆和庫侖力混合推進航天器編隊在日心懸浮軌道上的動力學(xué)與控制問題.對原始方程進行線性化處理，得到在日心懸浮軌道附近的線性化相對運動方程.通過控制太陽帆的兩個姿態(tài)角及航天器間庫侖力大小，對編隊構(gòu)型進行改變或保持.基于上述方程設(shè)計了LQR控制器.該方法比僅使用太陽帆作為編隊推進更加簡單可控且響應(yīng)速率更高.為驗證該控制器的有效性與控制性能，通過軟件仿真平臺對編隊模型在參考軌道處進行數(shù)值仿真，結(jié)果顯示編隊在有初始擾動量的情況下能快速調(diào)整至參考軌道，并在長周期內(nèi)保持穩(wěn)定.