低軌目標(biāo)短弧關(guān)聯(lián)的穩(wěn)健方法*

姜 平，張雅聲，陶雪峰，李 智，徐 燦，方宇強(qiáng)，王 浩

0 引 言

據(jù)歐洲航天局的統(tǒng)計(jì)，全球空間監(jiān)視網(wǎng)編目的空間目標(biāo)有22300個(gè)，直徑大于10 cm的在軌空間目標(biāo)約有34000個(gè)，而直徑在1到10 cm之間空間碎片多達(dá)900000個(gè)[1].近地空間中的目標(biāo)，絕大多數(shù)軌道高度低于2000 km.近年來，SpaceX、亞馬遜、波音、One Web等多家機(jī)構(gòu)和公司提出了構(gòu)建低軌衛(wèi)星通信星座的計(jì)劃[2-3].未來將會(huì)有更多的衛(wèi)星被送到低地球軌道(LEO)上.低軌衛(wèi)星部署一旦完成，在低軌空間就將形成包圍地球的巨型馬賽克，給空間目標(biāo)監(jiān)視[4-5]帶來了巨大的壓力.表1給出了未來低軌衛(wèi)星的部署計(jì)劃.

表1 低軌計(jì)劃部署衛(wèi)星情況Tab.1 Low-orbit satellite deployment

所以，發(fā)展小口徑廣角望遠(yuǎn)鏡[6]，提高多天區(qū)的普查能力就顯得尤為重要.鑒于多天區(qū)觀測時(shí)對目標(biāo)的觀測持續(xù)時(shí)間有限，觀測中的可見弧段基本屬于短弧觀測.光學(xué)傳感器測量數(shù)據(jù)是和時(shí)間相關(guān)的“角度觀測序列”(通常是赤經(jīng)/赤緯，也可以是方位角/高度角)，在距離和距離速率上是未知的，用短弧數(shù)據(jù)進(jìn)行初始軌道確定誤差很大，往往會(huì)給出不切實(shí)際的狀態(tài)估計(jì)[7].所以需要融合多組觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行聯(lián)合定軌，而觀測序列是否出自同一個(gè)目標(biāo)就需要一個(gè)關(guān)聯(lián)性的判斷.

文獻(xiàn)[8-9]在開普勒軌道積分的基礎(chǔ)上，從軌道六要素中分離出與能量和角動(dòng)量無關(guān)的狀態(tài)量(近地點(diǎn)幅角和真近點(diǎn)角)，計(jì)算衡量相關(guān)性條件差異的目標(biāo)函數(shù)，判斷弧段之間的關(guān)聯(lián)性.但其在天頂觀測和共面觀測的時(shí)候是無法使用的[10].基于“容許域”的關(guān)聯(lián)方式[11-12]，構(gòu)建了空間目標(biāo)距離和距離速率上的約束.文獻(xiàn)[13]在研究地球軌道空間目標(biāo)光學(xué)相關(guān)性的時(shí)候，提出了將容許域映射到一個(gè)新的龐加萊元素空間，傳播到同一時(shí)刻并投影到三個(gè)二維平面中，通過分析二維區(qū)域中點(diǎn)的相交情況來判斷軌道的相關(guān)性.但是這種遞歸求交的方法需要手動(dòng)執(zhí)行，并且計(jì)算量很大.文獻(xiàn)[14-15]又提出了一種利用龐加萊軌道元素空間中的概率分布來關(guān)聯(lián)多個(gè)光學(xué)觀測的方法.通過評(píng)估Poincaré空間中超立方體的重疊來確定關(guān)聯(lián)，并將其稱為BIN方法(Poincaré空間中的每個(gè)超立方體稱為一個(gè)BIN).與文獻(xiàn)[13]提出的交集方法相比，BIN方法效率更高，能夠自動(dòng)處理大量的觀測弧段.該方法的核心是通過Bayes公式構(gòu)建給定兩段觀測數(shù)據(jù)的條件下，任意候選軌道的后驗(yàn)概率密度函數(shù)，通過后驗(yàn)概率來判斷觀測數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性.文獻(xiàn)[16-18]又引入了一種基于微分代數(shù)(DA)的新方法，利用DA估計(jì)不確定度范圍來區(qū)分相關(guān)和不相關(guān)的觀測值.文獻(xiàn)[19]也對傳統(tǒng)的初值方法進(jìn)行了改進(jìn)，通過搜索非奇異正則空間中定義的新?lián)p失函數(shù)的全局最小值來判斷關(guān)聯(lián)性.文獻(xiàn)[20]創(chuàng)新性地提出了一種用于關(guān)聯(lián)的幾何方法，調(diào)整其中一個(gè)軌道的半長軸，使兩個(gè)弧段在中間點(diǎn)的位置差最小化，通過半長軸的調(diào)整是否具有收斂性來判斷弧段之間的關(guān)聯(lián)性.在文獻(xiàn)[21]的研究中，將光學(xué)軌跡關(guān)聯(lián)方法與用于大數(shù)據(jù)問題的聚類方法相結(jié)合來解決多目標(biāo)軌跡關(guān)聯(lián)問題.

目前的關(guān)聯(lián)方法都存在一個(gè)相同的技術(shù)瓶頸，即對于星座目標(biāo)和低軌的近似軌道目標(biāo)區(qū)分度很低，難以保證對光學(xué)觀測序列進(jìn)行準(zhǔn)確關(guān)聯(lián).文獻(xiàn)[22-23]也做了詳細(xì)的闡述，并提出了一種公共橢圓方法，通過檢查是否有一個(gè)公共橢圓足夠接近假設(shè)橢圓來識(shí)別相關(guān)的觀測弧段.但其僅限于同一軌道面上的目標(biāo)識(shí)別，并且對于不同軌道高度上的空間目標(biāo)來說，其閾值的選取沒有一定的規(guī)則性.

本文首先以容許域的方法為基礎(chǔ)，給出了使用光學(xué)測角信息進(jìn)行相關(guān)性判別的方法.其次，詳細(xì)描述了現(xiàn)有方法應(yīng)用在低軌空間目標(biāo)短弧關(guān)聯(lián)上所呈現(xiàn)出的病態(tài)性問題.最后，根據(jù)對于病態(tài)性問題的分析，給出了一種利用角度誤差值特性規(guī)律進(jìn)行關(guān)聯(lián)性判別的方法.

1 關(guān)聯(lián)性判別方式

光學(xué)觀測序列關(guān)聯(lián)的方法是在滿足第一段觀測短弧數(shù)據(jù)的大量軌道中，找到與另一段觀測數(shù)據(jù)最小二乘擬合誤差最小的軌道.通過合理的方法對擬合誤差進(jìn)行衡量，來判定光學(xué)觀測數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)性.

假定傳感器獲取了m組包含時(shí)間ti以及赤經(jīng)赤緯的含噪聲測量值：

(1)

設(shè)定這m組赤經(jīng)赤緯的真值(無噪聲)為：

(2)

(3)

假定觀測誤差服從高斯分布，傳感器的視線誤差標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)為σ，則根據(jù)赤經(jīng)赤緯的誤差幾何關(guān)系，可以得到赤經(jīng)赤緯具有如下統(tǒng)計(jì)特性：

(4)

(5)

其中預(yù)測序列與觀測序列的均方誤差(mean square error)表示了兩段觀測弧段之間的關(guān)聯(lián)性大小，如式(6)所示：

(6)

(7)

2 關(guān)聯(lián)病態(tài)性分析

在進(jìn)行關(guān)聯(lián)性分析的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)目前的短弧數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)方法面臨一個(gè)相同的瓶頸，當(dāng)對來自同一低軌星座中不同對象的軌跡進(jìn)行關(guān)聯(lián)時(shí)，錯(cuò)誤關(guān)聯(lián)率很高.對于軌道比較相近(通常是半長軸和偏心率)的目標(biāo)，也很難進(jìn)行區(qū)分.從淺層意義上理解，造成這種問題的原因是由于目標(biāo)間軌道的相似性極大，主要是半長軸，偏心率之間的相似性.而光學(xué)觀測序列又沒有距離上的約束，很容易找到擬合兩個(gè)短弧的優(yōu)化軌道，使得損失函數(shù)值達(dá)到極小，而將其錯(cuò)誤判斷為具有相關(guān)性的觀測弧段.且觀測短弧之間的時(shí)間間隔越長，造成誤關(guān)聯(lián)的概率越高.因?yàn)闀r(shí)間間隔越長，低軌衛(wèi)星的轉(zhuǎn)數(shù)變大，由于星座衛(wèi)星的軌道本身就具有極大的相似性，想要再確定觀測短弧之間的關(guān)聯(lián)性就變的極其困難了.

通過實(shí)驗(yàn)仿真，將測站設(shè)置在中國國家天文臺(tái)興隆觀測站(117.575°,40.396°)，選擇銥星星座中的兩個(gè)目標(biāo)(ID:24793,24795，為NASA數(shù)據(jù)庫中已編目空間目標(biāo)編號(hào)).給定測角信息誤差為3″，生成的觀測數(shù)據(jù)如表2所示：

表2 IRIDIUM衛(wèi)星觀測數(shù)據(jù)Tab.2 The observation of satellite IRIDIUM

實(shí)際關(guān)聯(lián)過程中，在對觀測序列1、4，觀測序列2、3進(jìn)行匹配的時(shí)候，出現(xiàn)誤關(guān)聯(lián)的情況，這里以序列1、4的誤關(guān)聯(lián)情況為例進(jìn)行詳細(xì)的說明.如圖1，通過SGP4模型建立兩個(gè)銥星星座目標(biāo)的軌道(IRIDIUM_5_24795和IRIDIUM_7_24793)，并將優(yōu)化過程的最終軌道(記為：Sat_error)顯示在圖中.獲得優(yōu)化軌道的過程是以時(shí)間在前的序列為基礎(chǔ)建立容許域進(jìn)行外推，得到擬合誤差最小的軌道Sat_error.如圖1(a)所示，初始時(shí)刻20 Oct 2019 11:21:45.000，觀測站對于擬合軌道目標(biāo)和真實(shí)目標(biāo)(ID: 24795)幾乎無視線偏差.如圖1(b)所示，終止時(shí)刻20 Oct 2019 22:10:42.000，觀測站對于擬合軌道目標(biāo)和真實(shí)目標(biāo)(ID: 24793)的視線偏差同樣很小，兩次視線誤差均在卡方檢驗(yàn)所接受的范圍內(nèi)，造成了誤關(guān)聯(lián)情況.

圖1 低軌同軌道面星座目標(biāo)病態(tài)性關(guān)聯(lián)Fig.1 The false correlation of LEO constellation objects in same plane

誤關(guān)聯(lián)的情況不僅表現(xiàn)在同軌道面的星座目標(biāo)中，在異軌道面的星座目標(biāo)中(ID：24944, 24965)同樣可能出現(xiàn)誤關(guān)聯(lián)的情況，如圖2給出了詳細(xì)的說明.由(a)圖和(b)圖的兩個(gè)觀測時(shí)刻的觀測弧段，同樣可以優(yōu)化得到一條軌道.雖然優(yōu)化軌道和目標(biāo)的真實(shí)軌道之間的差距很大，但是在兩個(gè)觀測時(shí)刻，優(yōu)化軌道對于角度誤差序列的擬合結(jié)果在卡方誤差限的接受范圍內(nèi).

圖2 低軌異軌道面星座目標(biāo)病態(tài)性關(guān)聯(lián)Fig.2 The false correlation of LEO constellation objects in different plane

仿真分析發(fā)現(xiàn)，不僅對于低軌星座目標(biāo)可能出現(xiàn)關(guān)聯(lián)病態(tài)性的情況，對于低軌的近似軌道目標(biāo)(主要指半長軸和偏心率的相似性)，如COSMOS衛(wèi)星目標(biāo)(ID:27056,27057)以及(ID:27056,27869)，區(qū)分難度也很大.因?yàn)閷τ诠鈱W(xué)短弧數(shù)據(jù)來說，可用的信息量非常少，這不僅在短弧定軌上存在嚴(yán)重的病態(tài)性，在短弧數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)上的病態(tài)性也非常明顯，致使對于不同軌道目標(biāo)的區(qū)分度不是很高.如圖3所示給出了非星座目標(biāo)的誤關(guān)聯(lián)情況.

圖3 低軌非星座目標(biāo)病態(tài)性關(guān)聯(lián)Fig.3 The false correlation of LEO objects

通過分析可以看出，低軌目標(biāo)的誤關(guān)聯(lián)情況是普遍存在的.造成誤關(guān)聯(lián)的主要原因是沒有距離約束的條件下，很容易通過角度視線方向找到擬合兩段觀測弧段的最優(yōu)軌道，擬合軌道的角度偏差是在卡方誤差限可接受范圍內(nèi)的.誤關(guān)聯(lián)的產(chǎn)生顯著影響到了弧段關(guān)聯(lián)的準(zhǔn)確性，且誤關(guān)聯(lián)越多，對初始軌道確定以及空間目標(biāo)編目的干擾越大.所以為了提高對空間目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)的準(zhǔn)確性，就必須準(zhǔn)確地識(shí)別出被誤關(guān)聯(lián)的弧段.

3 關(guān)聯(lián)病態(tài)性解決方案

在一般的短弧關(guān)聯(lián)性判別中，僅僅考慮以誤差大小來作為關(guān)聯(lián)性判別的唯一標(biāo)準(zhǔn).這在很大程度上會(huì)對關(guān)聯(lián)的可能性做出錯(cuò)誤的判斷，也反應(yīng)出了僅考慮誤差大小所帶來的嚴(yán)重關(guān)聯(lián)病態(tài)性問題.本節(jié)中給出一種詳細(xì)考慮誤差特性規(guī)律后，對關(guān)聯(lián)病態(tài)性問題的解決方案.

3.1 誤差特性分布規(guī)律

如圖4所示，以銥星星座中同軌道面、不同軌道面的觀測弧段關(guān)聯(lián)以及COSMOS衛(wèi)星中近似軌道面、異軌道面的觀測弧段誤關(guān)聯(lián)為例，分別進(jìn)行了說明.針對關(guān)聯(lián)性判別中出現(xiàn)關(guān)聯(lián)性誤判的情況，詳細(xì)給出最優(yōu)擬合軌道在兩個(gè)弧段的所有觀測點(diǎn)對于赤經(jīng)赤緯的擬合誤差分布規(guī)律.(對于低軌衛(wèi)星：觀測弧長選取為30 s，采樣間隔為1 s，圖4為兩段觀測弧段上共60個(gè)采樣點(diǎn)的赤經(jīng)赤緯擬合偏差).

圖4 誤關(guān)聯(lián)中的誤差特性曲線Fig.4 The error characteristic curves in false correlation

從圖4中的誤差特性曲線中分析可以發(fā)現(xiàn)，最優(yōu)擬合軌道對第一段觀測弧段的各個(gè)測量點(diǎn)的赤經(jīng)赤緯擬合偏差沒有明顯的分布特征.對于第二段觀測弧段的擬合偏差具有明顯的“V”字型誤差特性.

結(jié)合第1節(jié)中給出的關(guān)聯(lián)性判別方式，最優(yōu)軌道是使得式(6)中MSE最小的軌道.由于軌道的偏差是沿軌積累的[20]，若要使得式(6)中整體的均方誤差最小，就必然會(huì)在對第二個(gè)觀測弧段的擬合時(shí)刻中點(diǎn)位置處偏差最小，在觀測弧段的首末位置處偏差最大.

如圖5所示給出了軌道的兩種擬合方式，其中假設(shè)軌道的角度偏差積累是均勻的(實(shí)際中由于動(dòng)力學(xué)模型的非線性，角度偏差積累并不均勻，但是整體呈現(xiàn)出上升的趨勢).(a)圖中給出了中點(diǎn)擬合軌道的角度擬合偏差，其中中點(diǎn)擬合在弧段中點(diǎn)時(shí)刻角度偏差最小，角度偏差積累最大值為Δ，對應(yīng)于“V”字型誤差特性分布規(guī)律.這樣可以粗略就算出其對應(yīng)的角度均方誤差值為：

圖5 軌道擬合方式Fig.5 The Optimal orbit fitting method

(8)

(b)圖中給出了使用端點(diǎn)擬合得到的角度擬合偏差，其中端點(diǎn)擬合在端點(diǎn)時(shí)刻的角度偏差最小，角度偏差積累的最大值為2Δ，同樣可以粗略地計(jì)算出其對應(yīng)的角度均方誤差值為：

(9)

對比可知MSE1

相比之下，圖6給出了不同時(shí)間間隔下，真實(shí)存在關(guān)聯(lián)性的觀測弧段赤經(jīng)赤緯的擬合誤差分布規(guī)律.

圖6 準(zhǔn)確關(guān)聯(lián)中的誤差特性曲線Fig.6 The error characteristic curves in true correlation

對比圖4和圖6可以看出，能夠準(zhǔn)確關(guān)聯(lián)的觀測弧段，其赤經(jīng)赤緯誤差特性曲線有近似于噪聲的分布規(guī)律.而被錯(cuò)誤關(guān)聯(lián)的弧段在第二段觀測序列的赤經(jīng)赤緯擬合誤差特性曲線中，可以明顯地提取出“V”字型的分布特征.因?yàn)槎袒‰m然觀測時(shí)間短不能有效確定軌道的半長軸和偏心率[28-30]，但是其有明顯的方向信息，可以較為準(zhǔn)確地表征軌道的傾角.如果短弧段被錯(cuò)誤關(guān)聯(lián)，其擬合軌道的傾角將會(huì)與真實(shí)軌道的傾角存在明顯的差異性.由于在利用第一段觀測弧段進(jìn)行軌道外推的過程中，角度偏差會(huì)沿軌積累，若使得整體的角度擬合誤差最小，必然會(huì)出現(xiàn)，在觀測弧段中點(diǎn)位置處誤差最小，整體呈現(xiàn)“V”字型分布特征.所以在后續(xù)的研究中，如果能準(zhǔn)確地識(shí)別該特征，就能準(zhǔn)確地對低軌目標(biāo)進(jìn)行區(qū)分，保證關(guān)聯(lián)的準(zhǔn)確性.

3.2 “病態(tài)性”關(guān)聯(lián)識(shí)別方式

根據(jù)對誤差特性分布規(guī)律的研究，一種簡單而快速的識(shí)別方式是，利用線性擬合的方式來識(shí)別“V”字型分布特征，設(shè)定觀測弧段的真實(shí)誤差序列為：

S={Δα1,Δβ1,Δα2,Δβ2,…,Δαn,Δβn}

(10)

構(gòu)建線性擬合函數(shù)y=|a(x-0.5n)|，其圖像近似呈“V”字型分布.通過最小二乘線性擬合，找到擬合所有觀測誤差的最優(yōu)函數(shù).相應(yīng)觀測點(diǎn)處的擬合誤差序列為：

(11)

利用Pearson相關(guān)系數(shù)計(jì)算真實(shí)誤差序列和擬合誤差序列的相關(guān)性大?。?/p>

(12)

給定r>rmin時(shí)，表示真實(shí)誤差序列和擬合誤差序列之間具有較強(qiáng)的相關(guān)性(一般取r>0.8表示強(qiáng)相關(guān)性)，即通過線性擬合的方式識(shí)別到了具有“V”字型分布特征的序列.通過這種方式可以快速穩(wěn)定地判斷出低軌目標(biāo)關(guān)聯(lián)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤關(guān)聯(lián)情況，有效地提高了關(guān)聯(lián)的準(zhǔn)確率.圖7中給出了誤差序列的擬合結(jié)果及相應(yīng)的Pearson相關(guān)系數(shù)計(jì)算值.

圖7 誤差序列擬合Fig.7 Error sequences fitting

在對誤差特性規(guī)律識(shí)別的基礎(chǔ)上，有效地提高了對于低軌空間目標(biāo)僅光學(xué)觀測序列的關(guān)聯(lián)成功率，提升了對于低軌星座等近似軌道空間目標(biāo)的區(qū)分度.

4 仿真分析

實(shí)驗(yàn)仿真分析，選取54顆低軌衛(wèi)星，軌道高度為700～1000 km，軌道偏心率接近0.衛(wèi)星的真實(shí)軌道使用Space-track中公布的TLE數(shù)據(jù)外推獲得.測站位置坐標(biāo)為(117.575°,40.396°,557 m).對于低軌衛(wèi)星的觀測弧段長度設(shè)為30S，采樣時(shí)間間隔設(shè)置為1S.觀測時(shí)段選為27 Oct 2019 04:00:00.000 UTCG～28 Oct 2019 04:00:00.000 UTCG.一天的觀測時(shí)段內(nèi)，不同衛(wèi)星可能出現(xiàn)0～6段觀測弧段.由于選取的低軌目標(biāo)的軌道相似度極高，給關(guān)聯(lián)帶來了極大的困難.

在對所有觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行關(guān)聯(lián)的時(shí)候，關(guān)聯(lián)的結(jié)果可以通過衡量以下四個(gè)指標(biāo)來進(jìn)行評(píng)定：

1.TP(真正率)：兩個(gè)弧段屬于同一目標(biāo)，且關(guān)聯(lián)結(jié)果認(rèn)為是同一目標(biāo).

2.TN(真負(fù)率)：兩個(gè)弧段屬于同一目標(biāo)，但關(guān)聯(lián)結(jié)果認(rèn)為不是同一目標(biāo).

3.FP(假正率)：兩個(gè)弧段不屬于同一目標(biāo)，但關(guān)聯(lián)結(jié)果認(rèn)為是同一目標(biāo).

4.FN(假負(fù)率)：兩個(gè)弧段不屬于同一目標(biāo)，且關(guān)聯(lián)結(jié)果認(rèn)為不是同一目標(biāo).

其中TP和FN的比例越高，可以認(rèn)為關(guān)聯(lián)的準(zhǔn)確率越高.如表3所示，對比給出了初始方法中使用卡方誤差限進(jìn)行關(guān)聯(lián)性判別的關(guān)聯(lián)成功率和進(jìn)行誤關(guān)聯(lián)識(shí)別改進(jìn)后的關(guān)聯(lián)成功率.可以看出，經(jīng)過改進(jìn)后的關(guān)聯(lián)識(shí)別方法相較于初始方法，誤關(guān)聯(lián)的概率由13.30%下降到了0.50%.

表3 短弧數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)結(jié)果Tab.3 The association results of short-arcs

5 結(jié) 論

本文分析了未來低軌空間目標(biāo)可能出現(xiàn)大量增多的趨勢，并闡述了利用光學(xué)觀測系統(tǒng)的廣域監(jiān)視作用進(jìn)行初始軌道確定的優(yōu)越性.針對光學(xué)觀測“短弧”的關(guān)聯(lián)性需求，以容許域方法為基礎(chǔ)，提出了通過優(yōu)化擬合兩段觀測短弧軌道的方式確定不同觀測之間關(guān)聯(lián)性的方法.其次詳細(xì)分析了對于低軌衛(wèi)星，用僅測角觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行關(guān)聯(lián)時(shí)存在的病態(tài)性問題，指出了僅用角度誤差值大小進(jìn)行關(guān)聯(lián)性判別的不足.最后，針對這種潛在的誤關(guān)聯(lián)情況，提出了利用角度誤差序列的分布特性規(guī)律進(jìn)行關(guān)聯(lián)性判別的改進(jìn)方式，有效地提高了對于低軌光學(xué)觀測數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的準(zhǔn)確性.