淺談含參二次函數(shù)壓軸題的解法

林東斌

摘 ?要：含參的二次函數(shù)壓軸題，因其抽象、靈活多變而顯得深?yuàn)W，對(duì)學(xué)生綜合能力要求很高，是近幾年全國(guó)各地中考?jí)狠S題的必考類型之一。大多數(shù)學(xué)生對(duì)這類問題都望而生畏，找不到思維方向。其實(shí)，含參二次函數(shù)壓軸題也有一定的解題思路，消參、數(shù)形結(jié)合、化動(dòng)為定是解決上述問題的三大主要策略。

關(guān)鍵詞：含參函數(shù);消參;數(shù)形結(jié)合;化動(dòng)為定

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)板塊，所涉及的性質(zhì)與數(shù)學(xué)思想方法多，所涉及的問題很廣，綜合應(yīng)用性很強(qiáng)。特別是含參的二次函數(shù)壓軸題，更是因其抽象、靈活多變而顯得深?yuàn)W，對(duì)學(xué)生綜合能力要求很高，是近幾年全國(guó)各地中考?jí)狠S題的必考類型之一。大多數(shù)學(xué)生對(duì)這類問題都望而生畏，找不到思維方向。其實(shí)，含參二次函數(shù)壓軸題也有一定的解題思路，下面以廣州市近幾年中考?jí)狠S題為例，淺談一下含參二次函數(shù)壓軸題的類型及其基本思路。

一、消參

多參函數(shù)，就是函數(shù)解析式中包含多個(gè)參數(shù)，顯然參數(shù)的數(shù)量越多越不利于問題的解決，因此“消參”是解決多參函數(shù)的重要策略。在實(shí)際問題中，通常可以根據(jù)所給條件找到兩個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系，將其中一個(gè)參數(shù)用另一個(gè)參數(shù)來表示，使多參變?yōu)橐粎?，從而?shí)現(xiàn)“消參”的目的，降低題目的難度。

例1（2020年廣州市第25題）

平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線G：y=ax2+bx+c（0

（1）用含a的式子表示b;

（2）求點(diǎn)E的坐標(biāo);

（3）若直線DE與拋物線G的另一個(gè)交點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為

+3，求y=ax2+bx+c在1<x<6時(shí)的取值范圍（用含a的式子表示）.

分析：

（1）將點(diǎn)A坐標(biāo)代入解析式可得b=-6a，得到拋物線G：y=ax2-6ax+c，將三個(gè)參數(shù)先變成兩個(gè);

（2）分兩種情況討論，由三角形面積關(guān)系，可得BE=CE+1，由對(duì)稱軸為x= ? ? ? =3，可求BC中點(diǎn)M的坐標(biāo)（3，3），由線段的數(shù)量關(guān)系，可求EM= ? ? ，可求解;

（3）此時(shí)拋物線G：y=ax2-6ax+c還有兩個(gè)參數(shù)，要想辦法繼續(xù)“消參”，直到只剩下一個(gè)參數(shù)。

解法如下：

∵直線DE與拋物線G：y=ax2-6ax+c的另一個(gè)交點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為 ? ? ?+3，

∴y=a（ ? ? +3）2-6a×（ ? ? ?+3）+c= ? ? -9a+c，

∴點(diǎn)F（ ? ?+3， ? ?-9a+c），

∵點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，

∴點(diǎn)D（3，-9a+c），

∴直線DF的解析式為：y=6x-18+c-9a，

∵點(diǎn)E坐標(biāo)為（ ? ?，3）在直線DF上，

∴3=21-18+c-9a，∴c=9a，

∴拋物線解析式為：y=ax2-6ax+9a，

∵1<x<6，

∴當(dāng)x=3時(shí)，ymin=0，當(dāng)x=6時(shí)，ymax=9a，

∴0≤y<9a.

求出c=9a，得到拋物線解析式為：y=ax2﹣6ax+9a是本題的關(guān)鍵。

函數(shù)中含有多個(gè)參數(shù)是很難直接解決問題的，在初中階段，通常可以籠統(tǒng)地認(rèn)為多參便是消參的提示，看到多個(gè)參數(shù)就可以利用題目中給出的有效信息進(jìn)行轉(zhuǎn)化、消參，使得多個(gè)參數(shù)最后消成一個(gè)參數(shù)，讓問題變得清晰，降低問題難度，從而進(jìn)一步解決問題。

二、數(shù)形結(jié)合

抽象是函數(shù)的本質(zhì)特征，也是很多學(xué)生感到函數(shù)問題難度較大的原因之一，對(duì)于初中生而言，函數(shù)的概念確實(shí)比較抽象，而通過畫圖，數(shù)形結(jié)合，可以讓抽象的函數(shù)變得直觀，讓條件與問題變得明顯。

例2（2018年廣州市第24題）

已知拋物線y=x2+mx-2m-4（m>0）.

（1）證明：該拋物線與x軸總有兩個(gè)不同的交點(diǎn);

（2）設(shè)該拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，A，B，C三點(diǎn)都在⊙P上.

①試判斷：不論m取任何正數(shù)，⊙P是否經(jīng)過y軸上某個(gè)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是，說明理由;

②若點(diǎn)C關(guān)于直線x=- ? ? ?的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)D（0，1），連接BE，BD，DE，△BDE的周長(zhǎng)記為l，⊙P的半徑記為r，求

的值.

分析：

（1）令y=0，再求出判別式，判斷即可得出結(jié)論;

（2）令y=0，∴x2+mx-2m-4=0，

∴（x﹣2）[x+（m+2）]=0，∴x=2或x=-（m+2），

∴A（2，0），B（﹣（m+2），0），

∴OA=2，OB=m+2，

令x=0，∴y=-2（m+2），

∴C（0，-2（m+2）），

∴OC=2（m+2），

①通過定點(diǎn)（0，1）理由：如圖，

∵點(diǎn)A，B，C在⊙P上，

∴∠OCB=∠OAF，

在Rt△BOC中，tan∠OCB= ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? ? ?= ? ? ，

在Rt△AOF中，tan∠OAF= ? ? ? = ? ? ? ?= ? ? ?，

∴OF=1，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，1）;

②如圖1，由①知，點(diǎn)F（0，1），

∵D（0，1），∴點(diǎn)D在⊙P上，

∵點(diǎn)E是點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，

∴∠DCE=90°，

∵⊙P是△ABC的外接圓，∴點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，

∴點(diǎn)E在⊙P上，∴DE是⊙P的直徑，

∴∠DBE=90°，∵∠BED=∠OCB，

∴tan∠BED= ? ? ? ?，設(shè)BD=n，

在Rt△BDE中，tan∠BED= ? ? ? = ? ? ? = ? ? ?，

∴BE=2n，

根據(jù)勾股定理得，DE= ?BD2+BE2 = ?5 n，

∴1=BD+BE+DE=（3+ ?5 ?）n，r= ? ? DE= ? ? ?n，

∴ ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? .

圖像是函數(shù)的三種表達(dá)形式之一，它能形象地呈現(xiàn)出函數(shù)多方面性質(zhì)。含參函數(shù)問題一般都比較抽象，直接根據(jù)題意無法理解其含義和厘清數(shù)量之間的關(guān)系，因此需借助圖像讓問題變得明顯。

很難想象不畫圖能解出此題，通過圖象易得三角形相似或者運(yùn)用三角函數(shù)的知識(shí)來求定點(diǎn)。圖像不需要很精準(zhǔn)，但頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開口方向、特殊點(diǎn)等關(guān)鍵要素要嚴(yán)謹(jǐn)準(zhǔn)確，這樣才能利用圖像直觀的性質(zhì)巧妙地解決含參函數(shù)抽象的問題。

近幾年廣州市的函數(shù)解答題都沒給出圖形，需要學(xué)生自己動(dòng)手畫。所以在平時(shí)教學(xué)時(shí)要重視數(shù)形結(jié)合、強(qiáng)調(diào)在分析題目時(shí)畫示意圖，讓學(xué)生參與動(dòng)手畫圖、分析圖象和使用圖象，學(xué)會(huì)根據(jù)圖象解決問題，讓學(xué)生經(jīng)歷由數(shù)到形和由形到數(shù)的過程，感受數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性。

三、化動(dòng)為定

動(dòng)態(tài)問題是數(shù)學(xué)經(jīng)久不衰的經(jīng)典問題，對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及思維的靈活性有很高的要求。含參函數(shù)問題，本身就是動(dòng)態(tài)問題。參數(shù)的變化自然引起函數(shù)的變化。然而萬變不離其蹤，含參函數(shù)的變化不是毫無規(guī)律可循的，它的運(yùn)動(dòng)也是存在軌跡的。找定點(diǎn)，化動(dòng)為定，是解決動(dòng)態(tài)問題的基本原則。

例3（2019年廣州市第25題）

已知拋物線G：y=mx2-2mx-3有最低點(diǎn).

（1）求二次函數(shù)y=mx2-2mx-3的最小值（用含m的式子表示）;

（2）將拋物線G向右平移m個(gè)單位得到拋物線G1.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，隨著m的變化，拋物線G1頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x之間存在一個(gè)函數(shù)關(guān)系，求這個(gè)函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍;

（3）記（2）所求的函數(shù)為H，拋物線G與函數(shù)H的圖象交于點(diǎn)P，結(jié)合圖象，求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍.

分析：

（1）拋物線有最低點(diǎn)即開口向上，m>0，用配方法或公式法求得對(duì)稱軸和函數(shù)最小值.

（2）寫出拋物線G的頂點(diǎn)式，根據(jù)平移規(guī)律即得到拋物線G1的頂點(diǎn)式，進(jìn)而得到拋物線G1頂點(diǎn)坐標(biāo)（m+1，-m-3），即x=m+1，y=-m-3，x+y=-2即消去m，得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式.再由m>0，即求得x的取值范圍.

（3）如圖，函數(shù)H：y=-x-2（x>1）圖象為射線x=1時(shí)，y=-1-2=-3;x=2時(shí)，y=-2-2=-4

∴函數(shù)H的圖象恒過點(diǎn)B（2，-4）

∵拋物線G：y=mx2-2mx-3

∴拋物線G過定點(diǎn)（0，-3），由對(duì)稱性知

拋物線G過定點(diǎn)A（2，-3）

由圖象可知，若拋物線與函數(shù)H的圖象有交點(diǎn)P，則yB<yP<yA

∴點(diǎn)P縱坐標(biāo)的取值范圍為-4<yP<-3

滿足條件的拋物線G有無數(shù)種情況，但不管怎么變化，拋物線G都恒過點(diǎn)A（2，﹣3），找到定點(diǎn)是此題的關(guān)鍵。

含參函數(shù)因?yàn)橛袇?shù)的存在，看似是“動(dòng)”的，但它常常與定點(diǎn)有關(guān)，所以求出定點(diǎn)、挖掘隱含條件對(duì)于解決含參函數(shù)問題非常必要。

消參、數(shù)形結(jié)合和化動(dòng)為定是解決含參二次函數(shù)壓軸題的三大主要策略。當(dāng)然含參二次函數(shù)問題還經(jīng)常要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論、運(yùn)用“十字相乘法”對(duì)含參的一元二次方程進(jìn)行因式分解等。

參考文獻(xiàn)：

[1]廣州市教育研究院.2020年廣州市初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試年報(bào)[N].廣州：廣東教育出版社，2019.

（作者單位：廣東第二師范學(xué)院廣州南站附屬學(xué)校，廣東 ? 廣州 ? 510000）