新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)函數(shù)模型應(yīng)用分析

趙永莉

摘要：基于分析新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)函數(shù)模型應(yīng)用。首先分析出新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)函數(shù)模型應(yīng)用的價值，能夠幫助學(xué)生用函數(shù)的方法快速、有效的解決問題。其次分析出通過創(chuàng)設(shè)真實(shí)的問題情境;瞄準(zhǔn)高考考點(diǎn)進(jìn)行訓(xùn)練;科學(xué)有序建立函數(shù)模型三種途徑，為學(xué)生精心設(shè)置函數(shù)問題，引導(dǎo)學(xué)生建立函數(shù)模型加以解決，不斷強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與建模能力，最終出將學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)成績的有效提升。

關(guān)鍵詞：新課標(biāo);數(shù)學(xué)函數(shù);函數(shù)模型;數(shù)學(xué)建模

在新課標(biāo)下明確指出，高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，不僅需要學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識概念，還要學(xué)會用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，以此來發(fā)展學(xué)生的綜合能力。因此，對于函數(shù)來說，始終都是高中教學(xué)中重要的工具性知識，通過函數(shù)模型的應(yīng)用，能夠幫助學(xué)生進(jìn)一步解決涉及物價、路程、產(chǎn)值以及角度、面積等實(shí)際問題，以便學(xué)生達(dá)到化繁為簡、迅速解題的目的。所以，數(shù)學(xué)教師與其授之以魚不如授之以漁，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會構(gòu)建數(shù)學(xué)函數(shù)模型，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與綜合素質(zhì)的全面發(fā)展。

1新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)函數(shù)模型應(yīng)用的價值

1.1函數(shù)模型的含義

模型，是一種實(shí)物、過程的表示，是人們認(rèn)識事物的框架?？梢哉f模型是對實(shí)物的仿造與模擬，或者是對某些基本屬性的抽象。數(shù)學(xué)模型屬于一般意義上的模型拓展，通常對實(shí)際問題的分析，經(jīng)過抽象與簡化后構(gòu)建的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，使用數(shù)學(xué)符號、公式及數(shù)學(xué)關(guān)系，以此來解決實(shí)際問題，獲得其存在的關(guān)系與規(guī)律[1]。而函數(shù)模型，則是用函數(shù)知識對生活中的一些問題歸納、加工，包括利潤高、成本低、效益好等實(shí)際問題，去建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，從而用函數(shù)的方法去進(jìn)行快速、有效的解決問題。

1.2 函數(shù)模型的分類

對于高中階段的數(shù)學(xué)而言，利用函數(shù)模型解決實(shí)際問題，這對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有重要的意義。而將實(shí)際問題正確轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，才是解題的關(guān)鍵。其中這轉(zhuǎn)化源于對已知信息的關(guān)系、歸納與抽象，并且與熟悉的函數(shù)模型加以比較，來確立函數(shù)模型。目前，常見的函數(shù)模型有五種類型。其一，直線模型，多見于一次函數(shù)模型y=ax+b（a≠0），應(yīng)用于成正比例關(guān)系的問題;其二指數(shù)函數(shù)模型，屬于自變量增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，多見于指數(shù)函數(shù)y=axx+c（a≠0，b>0），應(yīng)用于增長率、銀行的利率問題[2];其三是對數(shù)函數(shù)模型，自變量增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢，多見于對數(shù)函數(shù)y=logax（x>0且a≠0），應(yīng)用于給出對數(shù)函數(shù)模型求解;其四冪函數(shù)模型，包括奇函數(shù)：自變量增大函數(shù)值增大，偶函數(shù)：關(guān)于y軸對稱，多見于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），應(yīng)用于面積、利潤和產(chǎn)量問題;其五是分段函數(shù)模型，由幾個不同的關(guān)系式構(gòu)成，主要應(yīng)用于票價、路程等問題。

2 新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)函數(shù)模型應(yīng)用的有效策略

2.1創(chuàng)設(shè)真實(shí)的問題情境

對于高中數(shù)學(xué)函數(shù)模型的應(yīng)用，主要是解決實(shí)際的問題。由于數(shù)學(xué)函數(shù)模型的建立，是一個比較復(fù)雜的過程，加之學(xué)生的思維水平、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的差異，所以教師直接出示問題很難讓學(xué)生理解并解決[3]。因此，數(shù)學(xué)教師就要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)較為真實(shí)的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生去運(yùn)用函數(shù)模型進(jìn)行問題的解決，以此來激發(fā)學(xué)生的解題動機(jī)與學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光去觀察生活，同時強(qiáng)化學(xué)生的思維能力，從而更利于學(xué)生感悟到函數(shù)模型的應(yīng)用價值。

比如人教版《分段函數(shù)》中，教師將實(shí)際的函數(shù)問題，以多媒體的動態(tài)化方式呈現(xiàn)，對于商場的促銷活動，通過視頻的促銷方式表達(dá)出來，規(guī)定顧客的購物總金額沒有超過800元，沒有任何折扣，如若超過800元，則超過的部分<500元，按照5%打折，超過的部分>500元按照10%打折，讓學(xué)生仿佛置身商場購物情境之中，嘗試運(yùn)用函數(shù)模型解決問題。問題：購物總金額為x元，獲得折扣金額為y元，

得出y=如若y=30，則購物實(shí)際所付金額多

少元？解析：若x=1300元，y=5%（1300-800）=25元，<30元，∴由10%（x-1300）+25=30，得出x=1350。

2.2 瞄準(zhǔn)高考考點(diǎn)進(jìn)行訓(xùn)練

歷年來的數(shù)學(xué)高考，始終都有函數(shù)的考點(diǎn)。因此，數(shù)學(xué)教師在引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)模型時，可以根據(jù)高考的考點(diǎn)，對學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，突出對學(xué)生的讀題、審題能力、知識遷移能力及分析、解決問題的能力等方面的考查[4]。所以教師要有意識將高考中的建模意識，體現(xiàn)出新課標(biāo)的“好題型”，適當(dāng)?shù)囊胝n堂，從而既能滿足學(xué)生對高考應(yīng)試的需求，又能進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生的建模能力，最終為學(xué)生的高考數(shù)學(xué)解題效率的提升奠定基礎(chǔ)。

2.3科學(xué)有序建立函數(shù)模型

數(shù)學(xué)模型是一個數(shù)學(xué)與實(shí)際問題聯(lián)系的橋梁，所以在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中函數(shù)模型的應(yīng)用，主要是培養(yǎng)學(xué)生的知識運(yùn)用能力。因此，數(shù)學(xué)教師要引導(dǎo)學(xué)生科學(xué)、有序，按照步驟建立函數(shù)模型，以此來有效的解決實(shí)際問題[5]。首先，認(rèn)真的審題，探索題目中隱藏的數(shù)量關(guān)系，去捕捉其中數(shù)學(xué)模型與數(shù)量的關(guān)系。同時，根據(jù)題意選取好參數(shù)，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的聯(lián)系，選擇恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式進(jìn)行表示，建立相應(yīng)的函數(shù)模型，通常自變量為x，函數(shù)為y，注意變量和解析式的實(shí)際意義。

其次，就是解模，用數(shù)學(xué)方法、相關(guān)的函數(shù)去設(shè)計最佳的解題方案，進(jìn)行求解，且注意實(shí)際問題對變量參數(shù)的限制條件。最后則是還原，將計算的結(jié)果返回來實(shí)際問題之中加以解釋，也就是對實(shí)際問題給予總結(jié)。從而，通過這四個步驟構(gòu)建函數(shù)模型，更利于發(fā)揮出函數(shù)模型的作用與價值，以此來促進(jìn)學(xué)生的解題效率與能力的有效提升。

比如人教版中《函數(shù)》的應(yīng)用題：一個工廠在1月生產(chǎn)產(chǎn)品1萬件、2月生產(chǎn)1.2萬件、3月生產(chǎn)1.3萬件、4月生產(chǎn)1.37萬件，為了不多生產(chǎn)或過少生產(chǎn)，5月份的產(chǎn)量應(yīng)該是多少？解析：第一步審題，根據(jù)題意了解到這個共產(chǎn)4個月份，分別對應(yīng)的生產(chǎn)件數(shù)屬于對應(yīng)關(guān)系，可建立函數(shù)模型;第二步根據(jù)已知條件，建立直角坐標(biāo)系，畫出圖形（如圖1），模擬三個函數(shù)模型：一次函數(shù)f（x）y=ax+b（a≠0）;二次函數(shù)g（x）=ax2+bx+c（a≠0）;指數(shù)函數(shù)：h（x）=axx+c（a≠0，b>0）。由三個已知點(diǎn)解出三個函數(shù)解析式來求出第四點(diǎn)的誤差，并比較大小確定函數(shù)模型。于是代入前三點(diǎn)f（x）=0.2x+0.8，f（4）=1.6與實(shí)際誤差0.23;g（x）=-0.05x2+0.35x+0.7，g（4）=1.3與實(shí)際誤差0.07;h（x）=-0.08×0.5x+1.5，h（4）=1.35與實(shí)際誤差0.02，求解指數(shù)函數(shù)模型h（5）=1.375。從而可知這個工廠5月份產(chǎn)量為1.375萬件產(chǎn)品。

3結(jié)束語

綜上所述，新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)函數(shù)模型的應(yīng)用，對學(xué)生的函數(shù)解題效率與數(shù)學(xué)能力的提升具有重要的幫助，更利于學(xué)生的高考數(shù)學(xué)成績的進(jìn)一步提高。通過數(shù)學(xué)教師精心設(shè)計的函數(shù)問題，引導(dǎo)學(xué)生嘗試建立函數(shù)模型加以解決，以此來激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生的建模能力與問題分析、解決的能力，促使學(xué)生積累豐富的函數(shù)模型應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)與技巧，能夠快速、準(zhǔn)確的解答出實(shí)際問題，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生的高質(zhì)量數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)，最終促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與綜合能力的有效提升。

參考文獻(xiàn)：

[1]王鵬武.淺談新課標(biāo)與大綱下高中數(shù)學(xué)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)難度定量分析[J].考試周刊，2019，000（014）：87-87.

[2]王軍.解析新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)策略[J]. 數(shù)學(xué)大世界， 2020，000（003）：P.23-24.

[3]饒真平. 新課標(biāo)下的高中數(shù)學(xué)建模暢想[J]. 數(shù)學(xué)大世界（小學(xué)五六年級版）， 2019， 000（009）：85.

[4]鐘三明. 核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)設(shè)計——以《三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用》一課為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)）：下半月， 2019， 447（06）：25-27.

[5]吳茹， 孔德鵬. 基于經(jīng)驗(yàn)，注重活動，挖掘本質(zhì)，落實(shí)素養(yǎng)*——以“函數(shù)模型及其應(yīng)用”為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)， 2019（23）.