二階離散周期邊值問題的Ambrosetti-Prodi結(jié)果

王瑞 路艷瓊 楊曉梅

摘要：本文討論了二階離散周期邊值問題

解的個(gè)數(shù)與參數(shù)s的關(guān)系，其中是連續(xù)函數(shù)，f≥0是常數(shù)，T≥2是一個(gè)整數(shù)，.本文運(yùn)用上下解方法及拓?fù)涠壤碚摣@得了存在常數(shù)，當(dāng)s與s位置關(guān)系變化時(shí)該問題沒有解、至少有一個(gè)解、至少有兩個(gè)解的結(jié)果.

關(guān)鍵詞：Ambrosetti-Piodi問題;上下解方法;拓?fù)涠壤碚?/p>

中圖分類號(hào)：O175.8文獻(xiàn)標(biāo)志碼：ADOI：10.3969/j.issn.l000-5641.2021.06.006

Ambrosetti-Prodi results for second-order discrete periodic boundary value problems

WANG Rui，LU Yanqiong，YANG Xiaomei

（College of Mathematics and Statistics^ Northwest Normal University，Lanzhou 730070，China）

Abstract：This paper explores the relationship between the number of solutions and the parameter s of second-order discrete periodic boundary value problems of the form

where? is a continuous function，f≥0 is a constant，T≥2 is an integer，and s is a real number. By using the upper and lower solution method and the theory of topological degree，we obtain the Ambrosetti-Prodi type alternatives which demonstrate the existence of either zero，one. or two solutions depending on the choice of the parameter s with fixed constant s∈R.

Keywords：Ambrosetti-Prodi problem;upper and lower solution method;topological degree theory

0引言

Ambrosetti-Prodi問題是微分方程中的經(jīng)典問題之一，該問題由Ambrosetti和Prodi[1]在1972年研究Dirichlet問題

解的個(gè)數(shù)時(shí)提出，其中g(shù)是一個(gè)嚴(yán)格凸的C函數(shù)且

λ<λ是Dirichlet問題（0.1）對(duì)應(yīng)的特征值問題在Ω上的主特征值和第二個(gè)特征值.他們證明了存在一個(gè)C流形M將空間分為O和O兩部分，使得

（i）如果h∈O，則（0.1）無解;

（ii）如果h∈M，則（0.1）恰有一個(gè)解;

（iii）如果h∈O，則（0.1）恰有兩個(gè)解.

此后這類問題受到許多學(xué)者的關(guān)注并對(duì)此進(jìn)行了大量研究.特別地，1986年Fabry、Mawhin和Nkashama[2]討論了二階連續(xù)周期邊值問題

其中g(shù)是連續(xù)的T周期函數(shù)且對(duì)t一致滿足

并得到結(jié)論：存在，使得問題（0.2）在s<s時(shí)無解;在s=s時(shí)至少有一個(gè)解;在s>s時(shí)至少有兩個(gè)解.這一結(jié)果被稱為A.P.結(jié)果[2].眾多學(xué)者在強(qiáng)制性條件（0.3）下獲得了不同邊值問題的A.P.結(jié)果，參見文獻(xiàn)[3-5]等.值得注意的是，2019年Feltrin、Sovrano和Zanolin[6]運(yùn)用上下解方法和拓?fù)涠壤碚摐p弱了二階連續(xù)周期邊值問題

存在A.P.結(jié)果時(shí)非線性項(xiàng)對(duì)t的一致性條件（0.3）.

差分方程在物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生態(tài)學(xué)和傳染病動(dòng)力學(xué)等自然科學(xué)、工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，如文獻(xiàn)[7-9]中建立的差分方程普遍描述了系統(tǒng)隨離散時(shí)間變化的規(guī)律性.因此，對(duì)差分方程的研究引起了眾多學(xué)者的關(guān)注.2015年He等[10]得到了二階離散周期邊值問題

的符號(hào)變化解和正解存在的充分條件.2008年，Bereami和Mawhin[11]運(yùn)用上下解方法和度理論探究了帶有離散算子的二階非線性差分方程周期問題解的存在情況并得到了A.P.結(jié)果（參見文獻(xiàn)[11]中的定理6、定理7）.

2006年，Bereanu和Mawhin運(yùn)用拓?fù)涠群蜕舷陆夥椒ㄑ芯苛藛栴}

并得到了A.P.結(jié)果（參見文獻(xiàn)[12]中的定理2、定理3），其中f，…，f連續(xù)，為參數(shù)，為常數(shù)且

我們自然會(huì)問，在減弱條件（0.7）的情形下二階離散周期邊值問題

的A.P.結(jié)果是否存在？受上述文獻(xiàn)啟發(fā)，本文探究并獲得了問題（0.8）的A.P.結(jié)果.

1預(yù)備知識(shí)

令，設(shè)u（t）是定義在上的函數(shù)，則?u（t）=u（t+1）-u（t）稱為u（t）在t的差分，?稱為（前向）差分算子，用/表示恒等算子，即Iu（t）=u（t）.當(dāng)n<n時(shí)，約定.

考慮問題

其中是連續(xù)函數(shù).記，E按范數(shù)構(gòu)成Banach空間，按范數(shù)構(gòu)成Banach空間.

下面給出本文的主要定義及引理.首先引入離散情形下Villari條件、廣義零點(diǎn)和上下解的定義.

定義1連續(xù)函數(shù)h（t，u（t））在+∞（或-∞）處滿足離散情形下的Villari條件，若存在δ=±1和d>0，使得

對(duì)任意的u∈E且u（t）≥d（或u（t）≤-d），，成立.

定義2[8]設(shè)u是

?（p（t-1）?u（t-1））+q（t）u（t）=0，

定義在上的一個(gè)解，若存在，使得下列之一成立：

（1）當(dāng)t=0時(shí)，u（t）=0;

（2）當(dāng)t>0時(shí)，u（t）=0或u（t-1）u（t）<0.

則稱t為u的一個(gè)廣義零點(diǎn).

定義3設(shè)α，β∈Z，若

成立，稱α為問題（1.1）的下解.若

成立，則稱β為問題（1.1）的上解.若條件（1.3）、條件（1.4）中的第一個(gè)不等式是嚴(yán)格的，則分別稱α，β為嚴(yán)格下解和嚴(yán)格上解.

下面給出一些重要的結(jié)論.

引理1設(shè)是連續(xù)函數(shù)且滿足

（A）對(duì)，和ε>0，存在δ>0，使得當(dāng)時(shí)有.設(shè)a>0，f≥0，則當(dāng)

時(shí)，α為問題（1.1）的一個(gè)嚴(yán)格下解.

證明設(shè)u為問題（1.1）的一個(gè)T-周期解，下證對(duì)任意有u（t）>α（t）.

令w（t）=α（t）-u（t），反設(shè)存在使得w（t）≥0.

不妨設(shè)存在包含t的最大區(qū)間使得在區(qū)間內(nèi)任意一點(diǎn)t′，有w（t′）≥0.則由w（t+1）≥0，w（t）<0得?w（t+1）>0;由w（t1）≥0，w（t）<0得?w（t）<0.所以存在為w（t）的極大值點(diǎn)，?w（t*-1）=?α（t*-1）-?u（t*-1）≤0.于是

矛盾.故假設(shè)不成立，即不存在使得w（t）≥0.因此，對(duì)，有α（t）<u（t），α為問題（1.1）的嚴(yán)格下解.

利用引理1的證明思路同理可得下列結(jié)論.

引理2設(shè)是連續(xù)函數(shù)且滿足條件（A）.設(shè)b>0，f≥0，則當(dāng)

時(shí)，β為問題（1.1）的一個(gè)嚴(yán)格上解.

下面考慮問題（1.1）的同倫族問題

首先給出獲得問題（1.5）的解的先驗(yàn)界估計(jì)的兩個(gè)重要結(jié)論.

引理3設(shè)是連續(xù)函數(shù).

（1）若存在d>0，使得對(duì)任意d≤u∈E有

成立，則問題（1.5）的任意T-周期解u均滿足minu<d，其中.

（ii）若存在d>0，使得對(duì)任意-d≥u∈E有式（1.6）成立，則問題（1.5）的任意T-周期解u均滿足maxu>-d，其中.

證明設(shè)u是當(dāng)μ∈（0，1]時(shí)問題（1.5）的任意T-周期解，對(duì)問題（1.5）在上求和可得

由式（1.6）得u（t）<d或u（t）>-d，即有minu<d或maxu>-d.

引理4設(shè)為連續(xù)函數(shù)且滿足

對(duì)，，存在，使得h（t，u）≥-γ（t）成立.

則存在常數(shù)K=K（γ），使得問題（1.5）的任意T-周期解u滿足maxu-minu≤K.另外，且l<l，若對(duì)有l(wèi)≤u（t）≤l，則.

證明設(shè)u為問題（1.5）的任意T-周期解，令u（t）=maxu，記v（t）：=maxu-u（t），則?v（t）=-?u（t），v（0）=v（T-1），?v（0）=?v（T-1）.由可知

?u（t-1）=-μf?u（t）-μh（t，u（t））≤μ[f?u（t）+γ（t）]，

將上式兩邊同乘以v（t）≥0，并在上求和，得

另外，對(duì)任意b>0，存在K>0，使得對(duì)，有，所以

綜上，有

令，可得，則，因此maxu-minu≤K.又h是連續(xù)函數(shù)且u有界，則對(duì)且l<l，若對(duì)有l(wèi)≤u（t）≤l，則.

引理5設(shè)為連續(xù)函數(shù)且滿足

，，存在，使得h（t，u）≤γ（t）成立.

則存在常數(shù)M=M（γ）使問題（1.5）的任意T-周期解u滿足maxu-minu≤M.另外，對(duì)且n<n，若對(duì)有n≤u（t）≤n，則.

證明在問題（1.5）中令u=-x，由類似于引理4的論證可得結(jié)果.

令f?u（t）+h（t，u（t））=F（t，u（t），?u（t）），下面介紹關(guān)于邊值問題

的不動(dòng)點(diǎn)理論和延拓定理.

易見為連續(xù)函數(shù)，定義線性算子L：E→Z，

和算子N：E→Z，

易證問題（1.8）等價(jià)于算子方程

Lu=μN(yùn)u，u∈E.

定義投影算子P：E→E，

Pu：=u（0）

和Q：Z→Z，

令

則易證Ker（L）=Im（P），Im（L）=Ker（Q），且存在E的子空間，使得.對(duì)任意u∈E有唯一分解u（t）=u（0）+u（1），其中u（0）∈Ker（L），u（t）∈E.存在為Z的子空間.令z（t）=z（t）-Qz，驗(yàn)證可得z∈Im（L），又Im（L）∩Z={0}，因此.易證為雙射，其逆算子為K：Im（L）→E.當(dāng)且僅當(dāng)全連續(xù)算子，

有不動(dòng)點(diǎn)時(shí)，問題（1.8）有T-周期解u.

定理1設(shè)為有界開集且滿足

（1）對(duì)?μ∈[0，1]，問題（1.8）在Ω上無解;

（2）方程在上無解.

則，并且當(dāng)時(shí)問題（1.8）在Ω中有解.

證明不妨設(shè)在Ω上無不動(dòng)點(diǎn)，否則定理得證.

記，u∈Ω，μ∈[0，1].由（1）知當(dāng)u∈Ω時(shí)，B（u）≠0.由拓?fù)涠鹊耐瑐惒蛔冃杂衐eg（B，Ω，θ）=deg（B，Ω，θ）.由邊界值性質(zhì)又有，，故由可解性可得，問題（1.8）在Ω中有解.

定理2設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且滿足δ=1時(shí)-∞處的離散Villari條件和.假設(shè)存在β是問題（1.1）的嚴(yán)格上解，則問題（1.1）有一個(gè)T-周期解，使得.另外，存在R≥d，K>0，使得

其中

證明首先構(gòu)造截?cái)嗪瘮?shù)

考慮含參方程

由的構(gòu)造易證其滿足，由引理4可得存在常數(shù)K，使得方程（1.9）的任意T-周期解u滿足.設(shè)，由引理3，有maxu>-d，minu>-K- d=：-R.事實(shí)上，當(dāng)μ∈（0，1]時(shí)，存在，使得.否則，反設(shè)對(duì)，有u（t）≥β（t），則u是

?（t-1）+μ[f?u（t）+h（t，β（t））]=0

的一個(gè)T-周期解，對(duì)上式在上求和，有，又由β是嚴(yán)格上解，故，矛盾.因此，.

令l=-R，，由引理4可知.此時(shí)在任意有界開集

上有定義，其中R>R，，.

定義均值映射

由-∞處的Villari條件有.取，則.因此由定理1得

特別地，當(dāng)μ=1時(shí)方程（1.9）在Γ上至少有一個(gè)解.

下證：對(duì)，有.反設(shè)存在，使得.

令，則存在，使得w（t）在t處取極大值.所以，?w（t-1）≤0，即

矛盾.故對(duì)，有.

因此是問題（1.1）的一個(gè)解，當(dāng)對(duì)有，β是問題（1.1）的一個(gè)嚴(yán)格上解.

最后，對(duì)問題（1.1）應(yīng)用引理4，可得常數(shù)K：=l-l>0，使得對(duì)問題（1.1）的任意T-周期解u，有.故由拓?fù)涠鹊那谐钥傻?/p>

定理3設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且滿足δ=-1時(shí)+∞處的離散Villari條件和.假設(shè)存在α是問題（1.1）的嚴(yán)格下解，則問題（1.1）有一個(gè)T-周期解，使得.另外，存在R>d，K>0，使得

其中.

注1設(shè)h滿足（A），β是問題（1.1）的一個(gè)上解，此時(shí)仍可證得存在T-周期解，使得在更一般的Villari條件下成立，即對(duì)任意u≤-c有.構(gòu)造輔助函數(shù)

此時(shí)β是修正后的方程?u（t-1）+f?u（t）+h（t，u）=0的一個(gè)嚴(yán)格上解，定理2保證了問題（1.1）T- 周期解的存在性，其中R和K是依賴于ε的常量.在上述條件下，定理3的結(jié)論仍成立.

2主要結(jié)果

考慮二階離散周期邊值問題

其中是連續(xù)函數(shù)，f≥0為常數(shù)，為參數(shù).

本文主要假設(shè)條件如下.

（H）對(duì)，和ε>0，存在δ>0，使得當(dāng)時(shí)有.

對(duì)，，存在，使得g（t，u）≥-γ（t）成立.

對(duì)，存在，使得g（t，u）≤g成立.

對(duì)u∈E，存在σ>max{0，g}，d>0，使得對(duì)且成立.

對(duì)u∈E，存在σ>max{0，g}，d>0，使得對(duì)且u（t）≥d成立.

下面給出本章的主要結(jié)論.

定理4假設(shè)（H），，，成立，并設(shè)

則存在s∈（-∞，σ），使得

（i）當(dāng)s<s<σ時(shí)，問題（2.1）至少有一個(gè)T-周期解;

（ii）當(dāng)s<s時(shí)，問題（2.1）沒有T-周期解.

進(jìn)一步，若成立，記

則

（iii）當(dāng)s=s時(shí)，問題（2.1）至少有一個(gè)T-周期解;

（iv）當(dāng)s<s<σ時(shí)，問題（2.1）至少有兩個(gè)T-周期解.

證明記h（t，u）：=g（t，u）-s，則問題（2.1）可改寫為

下面分兩步證明結(jié)論.

（1）證明對(duì)充分小的參數(shù)s，問題（2.1）無解，并給出問題（2.1）有一個(gè)解時(shí)參數(shù)s的存在區(qū)間.

若u是問題（2.1）的解，則.由條件成立可得

故當(dāng)時(shí)問題（2.1）沒有T-周期解.

由h滿足知，當(dāng)s>g時(shí)有

?（t-1）+f?β（t）+h（t，β（t））=g（t，u）-s≤g-s<0，

故常值函數(shù)是問題（2.1）的嚴(yán)格上解.設(shè)σ滿足，使得當(dāng)δ=1時(shí)-∞處的Villari條件成立，根據(jù)定理2可得問題（2.1）至少存在一個(gè)T-周期解u，即當(dāng)s=σ時(shí)u<u.設(shè)ω是當(dāng)時(shí)問題（2.1）的一個(gè)T-周期解，則問題（2.1）在時(shí)有一個(gè)T-周期解.事實(shí)上，設(shè)，由引理2知ω是問題（2.1）的嚴(yán)格上解，因此

由和定理2知，當(dāng)時(shí)u<ω，問題（2.1）至少有一個(gè)T-周期解u.

由σ的定義可知，問題（2.1）的具有T-周期解的參數(shù)s（≤σ）的存在范圍是一個(gè)以s$#為界（下有界）的區(qū)間.設(shè)

通過選擇σ定義σ，由此推得，當(dāng)s∈（s，σ）時(shí)問題（2.1）至少存在一個(gè)T-周期解.

（2）證明問題（2.1）至少有兩個(gè)解的參數(shù)s的范圍.

考慮問題（2.1）的同倫族問題

?（t-1）+μ[f?u（t）+h（t，u（t））]=0，μ∈（0，1].（2.3）

定義N是Nemytskii算子，（Nu）（t）：=f?u（t）+h（t，u（t）），u∈E.定義，u∈E，μ∈（0，1]，其中R，Q，K均如第1章所定義的，則問題（2.3）存在解等價(jià)于算子方程有不動(dòng)點(diǎn).

設(shè)σ滿足假設(shè)、，則存在正常數(shù)Λ=Λ（σ），使得當(dāng)s≤σ時(shí)的任意解u

滿足.引理3保證了問題（2.3）的任意解滿足maxu>-d，minu<d，d=max{d，d}.由和s≤σ，有h（t，u（t））≥-γ（t）-σ.令，由引理4知存在一個(gè)正常數(shù)K=K（σ），使得對(duì)問題（2.3）的任意可能的T-周期解u，有maxu-minu≤K，故.設(shè)σ<s，ρ是非負(fù)函數(shù)，且對(duì)，s∈[σ，σ]，u[-Λ（σ），Λ（σ）]，有.由引理4知，存在常數(shù)K=K（σ，σ）>0，使得的任意解滿足.定義

則

由步驟（1）可知，當(dāng)時(shí)問題（2.1）有一個(gè)T-周期解.設(shè)是問題（2.1）當(dāng)時(shí)的一個(gè)T-周期解.固定，下證問題（2.1）第二個(gè)解的存在性.

由于，故是問題（2.1）的一個(gè)嚴(yán)格上解，據(jù)有

其中R≥Λ（σ）+1，R≥K.由式（2.4）、式（2.5）和，通過拓?fù)涠鹊那谐钥傻?/p>

故問題（2.1）在上至少存在一個(gè)解.

下證當(dāng)s=s時(shí)，問題（2.1）至少有一個(gè)T-周期解.取σ<s<σ<σ，設(shè){s}為區(qū)間（s，σ）上單調(diào)遞減且趨于s的數(shù)列.?n，至少存在一個(gè)T-周期解ω，使得

?ω（t-1）+f?ω（t）+g（t，ω（t））=s，

其中，.令n→∞，根據(jù)Ascoli-Afzela定理，問題（2.1）在s=s處至少存在一個(gè)T-周期解.

對(duì)偶地，本文還可在如下假設(shè)條件下獲得A.P.結(jié)論.

對(duì)，存在，使得g（t，u）≤γ（t）成立.

對(duì)，存在，使得g（t，u）≤g成立.

對(duì)u∈E，存在v<min{0，g}，d>0，使得對(duì)且u（t）≤-d成立.

對(duì)u∈E，存在v<min{0，g}，d>0，使得對(duì)且u（t）≥d成立.

定理5假設(shè)（H），，，成立，并設(shè)

則存在s∈（v，+∞），使得

（i）當(dāng)v<s<s時(shí)，問題（2.1）至少有一個(gè)T-周期解;

（ii）當(dāng)s>s時(shí)，問題（2.1）沒有T-周期解.

進(jìn)一步，若成立，記

則

（iii）當(dāng)s=s時(shí)，問題（2.1）至少有一個(gè)T-周期解;

（iv）當(dāng)v<s<s時(shí)，問題（2.1）至少有兩個(gè)T-周期解.

證明在問題（2.1）中令，由類似于對(duì)定理4的論證可得結(jié)論.

例1考慮二階離散周期邊值問題

其中.驗(yàn)證可得如下性質(zhì)成立.

對(duì)和ε>0，存在δ=2ε>0，使得當(dāng)時(shí)有

對(duì)，存在，，使得成立.

對(duì)u∈E，存在σ>max{0，g}，d>1，使得

對(duì)且u（t）≤-d成立.

對(duì)u∈E，存在σ>max{0，g}，d>1，使得

對(duì)且u（t）≥d成立.

另外，對(duì)，存在充分大的常數(shù)M，令γ（t）=M，則，使得g（t，u）≥-γ（t），即成立.

因此滿足（H），，，，，故問題（2.6）滿足定理4的假設(shè)，并由σ，σ滿足的條件可設(shè)，，則存在，使得

（i）當(dāng)s<s<σ時(shí)，問題（2.6）至少有一個(gè)T-周期解;

（ii）當(dāng)s<s時(shí)，問題（2.6）沒有T-周期解;

（iii）當(dāng)s=s時(shí)，問題（2.6）至少有一個(gè)T-周期解;

（iv）當(dāng)s<s<σ時(shí)，問題（2.6）至少有兩個(gè)T-周期解.

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（責(zé)任編輯：林磊）