多復變整函數(shù)涉及全導數(shù)的Picard型定理

周勝瑤 楊劉

摘要：本文中，我們利用多復變對數(shù)導數(shù)引理將Milloux不等式推廣至關于整函數(shù)全導數(shù)的微分多項式.作為應用，我們證明了兩個多復變Picard型定理：設f是上的一個整函數(shù)，a，b是兩個判別復數(shù)且b≠0，（1）如果f≠a，f關于全導數(shù)的微分多項式，則f是常函數(shù);（2）如果，且，則f是常函數(shù)，其中Df是f的k階全導數(shù).

關鍵詞：整函數(shù);多復變;全導數(shù);微分多項式

中圖分類號：O174.5文獻標志碼：ADOI：10.3969/j.issn.l000-5641.2021.06.005

Picard-type theorems for entire functions of several complex variables with total derivatives

ZHOU Shengyao，YANG Liu

（School of Mathematics and Physics^ Anhui University of Technology，Maanshan Anhui 243032，China）

Abstract：In this paper，we use the logarithmic derivative lemma for several complex variables to extend the Milloux inequality to differential polynomials of entire functions. As an application，we subsequently apply the concept to two Picard-type theorems：（1）Let f be an entire function in? and a，b（≠0）be two distinct complex numbers. If f≠a，，then f is constant. （2）If? and ，then f is constant，where Df is the k-th total derivative of f and? is a differentialpolynomial of f with respect to the total derivative.

Keywords：entire function;several complex variables;total derivative;differential polynomial

0簡介及主要結(jié)果

著名的Picard定理說明，復平面上不取三個值的亞純函數(shù)必為常函數(shù).我們把有關亞純函數(shù)蛻化為常函數(shù)的定理稱為Picard型定理.例如，由Milloux不等式可以得到整函數(shù)涉及導數(shù)的Picard型定理.

定理A設f是上的一個整函數(shù)，k是一個正整數(shù).若f≠0，f≠1，則f是常函數(shù).

Hayman在文獻[1]中將定理A進一步推廣到亞純函數(shù).

定理B設f是上的一個亞純函數(shù)，k是一個正整數(shù).若f≠0，f≠1，則f是常函數(shù).

在文獻[1]中，Hayman還得到涉及導數(shù)的另一種形式的Picard型定理.

定理C設f是上的一個整函數(shù)，k>1是一個正整數(shù).若ff′≠1，則f是常函數(shù).

在文獻[1]和文獻[2]中，Hayman猜想：定理C在k≥1時均成立.1967年Clunie在文獻[3]中證明了這個猜想成立.這些結(jié)果引起國內(nèi)外學者對涉及導數(shù)的亞純函數(shù)值分布理論的關注和研究.另一方面，一個很自然的問題是：如何將上述涉及導數(shù)的Picard型定理推廣至多復變情形.為此，2003年金路在文獻[4]中引入多復變上全導數(shù)的概念，并將定理A和定理C推廣至多復變整函數(shù)情形.

定義1設f是上的一個整函數(shù)，f的全導數(shù)是

其中是f關于z的偏導數(shù)（j=1，2，…，n）.設k是一個正整數(shù)，歸納地定義f的k階全導數(shù)為Df=D（Df），且約定Df=f.

定理D設f是上的一個整函數(shù)，a，b是兩個判別復數(shù)且b≠0，k是一個正整數(shù)，若f≠a，Df≠b，則f是常函數(shù).

定理E設f是上的一個整函數(shù)，b是一個非零復數(shù)，k是一個正整數(shù)且k≥2.若f·Df≠b，則f是常函數(shù).

近年來，有不少涉及多復變整函數(shù)或亞純函數(shù)全導數(shù)的研究，例如多復變的Picard型定理（見文獻[4]和文獻[5]），多復變唯一性的問題（見文獻[6-8]），以及多復變的正規(guī)定則（見文獻[9]和文獻[10]）等.本文的主要目的是考慮全導數(shù)整函數(shù)的微分多項式，將定理D和定理E推廣至更為廣泛的形式. 為方便敘述，我們首先定義一些符號.

如果f是上的一個整函數(shù)，S是非負整數(shù)（0≤j≤k），則稱

是f關于全導數(shù)的一個微分單項式.

分別稱為微分單項式的次數(shù)和權(quán)重.如果是整函數(shù)f關于全導數(shù)的p個不同的微分單項式，記.設a是上的整函數(shù)，，且除去一個Lebesgue測度有限集外的所有的r有T（r，a）=O（log（rT（r，f）））成立，1≤i≤p，則稱

為f關于全導數(shù)的一個微分多項式，相應地，對于微分多項式，

分別稱為微分多項式的次數(shù)和權(quán)重.我們的主要結(jié)果如下.

定理1設f是上的一個整函數(shù)，是由式（1）所定義的一個微分多項式，a.b是兩個判別復數(shù)且b≠0.若f≠a，，則f是常函數(shù).

注1定理1中取微分多項式即得定理D.

定理2設s是一個非負整數(shù)，s，…，s，t，…，t都是正整數(shù)，f是上的一個整函數(shù)，b是一個非零復數(shù).若，且滿足，則f是常函數(shù).

由定理2可推得一些關于微分多項式的Picard型定理.如取q=1，s=1，則立刻得到如下結(jié)論.

推論1設f是上的一個整函數(shù)，b是一個非零復數(shù)，k，l都是正整數(shù)，且k≥l+1.若f·Df≠b，則f是常函數(shù).

注2定理E就是推論1中l(wèi)=1的特殊情形.

1基本概念和引理

我們簡述一些相關事實和概念，更詳細的內(nèi)容可以參閱文獻[7]和文獻[11-13]等.對.定義

其中r>0.記，定義

則σ（z）是S（r）上的正測度.令，設是上的一個全純函數(shù)，任意取定，可以寫作，其中?；蛘逷是v次多項式，且.上述非負整數(shù)m由f，a，z唯一確定，稱為f在z處的a值點重級，記作，稱映射為全純函數(shù)f的a值點除子，其支撐集.記

其中

表示除子在0處的Lelong數(shù).記f關于∞的臨近函數(shù)為

f關于a的臨近函數(shù)為

第一基本定理可敘述為：設f是上的一個整函數(shù)，a∈C，則

注3對上任意的整函數(shù)g和h及，成立如下全導數(shù)運算法則：

D（g+h）=D（g）+D（h），D（kg）=kD（g），D（gh）=D（g）h+gD（h）.

引理1[4]設f是上的一個超越整函數(shù)，則對于任意的正整數(shù)k，Df也是上的超越整函數(shù)，且除去一個Lebesgue測度有限集外的所有的r，都有

注4若f是上的一個多項式，顯然D^kf也是上的多項式，從而是上的有理函數(shù)，因此，即引理1對于非常數(shù)的整函數(shù)均成立.

引理2設f是上的一個d次多項式，若Df是常函數(shù)，則f是常函數(shù)，且.

證明因f是上的一個d次多項式，則f可以寫成下列形式：

其中P（z）或者恒為0，或者是一個v次齊次多項式（v=0，1，…，d）.經(jīng)計算可得

因為Df是常數(shù)，所以，即.故f是常函數(shù)，且.

2定理1的證明

下面的引理在我們證明定理1中起到關鍵作用.

引理3如果f是上的超越整函數(shù)，a，b（b≠0）是兩個判別復數(shù)，是由式（1）所定義的微分多項式，則

對除去一個Lebesgue測度有限集外的所有的r成立.

證明分別令集合

顯然，I∪I=S（r），I∩I=?，且

注意到對任意的1≤i≤p，有，所以在I上有

由恒等式

并根據(jù)式（3）、式（4），有

由式（2）、式（5）得

對式（6）中項利用臨近函數(shù)的性質(zhì)和引理1，得

下面考慮項.由恒等式

其中b≠0，可得

由引理1，有

由引理1，Df（z）也是超越整函數(shù)，所以

根據(jù)的定義，由式（9）和式（10）得

因為是整函數(shù)，由第一基本定理和Jensen公式得

將式（11）、式（12）代入式（8）得

在不等式（7）的左右兩端同時加上，得

聯(lián)立式（13）和式（14）得

而由第一基本定理和式（15）得

引理3得證.

定理1的證明如果f是上的一個超越整函數(shù)，則由引理3得

因為由已知條件f≠a，，所以T（r，f）=O（log（rT（r，f）））.這與f是超越整函數(shù)矛盾，因此f是一個多項式.又由f≠a，所以f是一個常函數(shù).

3定理2的證明

為了證明定理2，我們先引入下列引理.

引理4如果f是上的超越整函數(shù)，b是一個非零復數(shù)，是由式（1）所定義的微分多項式，則

對除去一個Lebesgue測度有限集外的所有的r都成立.

證明首先，由引理3有

然后，處理式（16）中的項.為此，設為f的τ級零點，則在z的鄰域內(nèi)，f可以展成關于z-z的齊次多項式的冪級數(shù)形式：

又由P（z-z）的齊次性可得

因此

其中Q（z-z），或者恒為0，或者是關于z-z的。階齊次多項式.所以z為Df的零點重數(shù)至少是τ-1.歸納可知，z為Df（z）的零點重數(shù)至少是τ-j.故x為的零點重數(shù)大于或等于

z為的零點重數(shù)大于或等于

記m為z點在的計數(shù)，注意到

于是，

故

將式（17）代入式（16）得

引理4得證.

定理2的證明若f是一個超越整函數(shù).取微分多項式為，由數(shù)學歸納法容易證明，D（f）可以表示成若干個形如微分多項式的和，其中是常數(shù)，.經(jīng)過簡單計算得

由引理4和式（18）得

由于，則在式（19）中，

即

結(jié)合條件，可得T（r，f）=O（log（rT（r，f））），這與f是超越整函數(shù)矛盾.即f是上的一個多項式，故也是多項式，又由多項式，得為常數(shù).由于多項式的次數(shù)不超過多項式的次數(shù)，從而是一個常數(shù).由引理2，是常函數(shù)，故f也是一個常函數(shù).

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（責任編輯：林磊）