高階shifted調(diào)和數(shù)的有限求和

閆慶倫 王照芬 米娟

摘要：在本文中，我們利用部分分式法等方法研究了一組關(guān)于Euler型求和的組合恒等式，計(jì)算了有關(guān)高階shifted調(diào)和數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的倒數(shù)的乘積的有限求和形式.通過(guò)對(duì)參數(shù)取特殊值，可以得到許多有意義的恒等式.

關(guān)鍵詞：調(diào)和數(shù);二項(xiàng)式系數(shù);部分分式法

中圖分類號(hào)：O157文獻(xiàn)標(biāo)志碼：ADOI：10.3969/j.issn.l000-5641.2021.06.003

Finite sums in higher order powers of shifted-harmonic numbers

YAN Qinglun，WANG Zhaofen，MI Juan

（College of Science^ Nanjing University of Posts and Telecommunications. Nanjing 210023. China）

Abstract：In this article，using methods such as the partial fraction method，we study a set of combined identities for an Euler-type summation. We calculate，furthermore，the finite summation form of the product of the high order shifted-harmonic number and the reciprocal of the binomial coefficient. By using special values for the parameters，interesting identities can be obtained.

Keywords：harmonic numbers;binomial coefficient;the partial fraction method

0引言

令、、分別表示實(shí)數(shù)集、復(fù)數(shù)集和正整數(shù)集.經(jīng)典調(diào)和級(jí)數(shù)定義如下：

或者，

其中γ是Euler-Mascheroni常數(shù)，ψ（z）是Psi（或者Digamma）函數(shù).

廣義調(diào)和級(jí)數(shù)的定義為：

在廣義調(diào)和級(jí)數(shù)的下標(biāo)為非整數(shù)值的情況下，例如，可以根據(jù)Polygamma函數(shù)[1]定義廣義調(diào)和級(jí)數(shù)，其中Polygamma函數(shù)的定義為：

其中ζ（z）是Riemann Zeta函數(shù).在上式中，當(dāng)m=0時(shí)，我們將定義為：

下面是一些關(guān)于此類調(diào)和級(jí)數(shù)的具體例子.

其中G=0.915965…是Catalan常數(shù).

本文將討論高階shifted調(diào)和數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)倒數(shù)乘積的有限項(xiàng)求和，其形式如下：

與這種Euler型無(wú)窮級(jí)數(shù)類似的級(jí)數(shù)許多學(xué)者已研究過(guò)，如Sofo[2]得到了下列恒等式：

Sofo[3]還得到了如下經(jīng)典的Euler求和：

有關(guān)高階調(diào)和數(shù)的有限求和形式也已經(jīng)被多次研究.如在2005年，Weideman[4]猜測(cè)了如下形式的調(diào)和數(shù)恒等式：

這個(gè)式子曾經(jīng)被認(rèn)為是最難證明的，后來(lái)由Driver等[6]利用計(jì)算機(jī)給出了證明.最近，Sofo[6-7]又得到了許多有關(guān)Euler型有限項(xiàng)求和的恒等式，如

關(guān)于調(diào)和數(shù)更多的計(jì)算與結(jié)論，請(qǐng)參考文獻(xiàn)[8-10].

下面給出的引理在文中主要定理的證明過(guò)程中起著非常重要的作用.

1引理

引理1[8]令r是一個(gè)正整數(shù)，p∈N，則下列等式成立：

注當(dāng)p=1時(shí)，，其中[x]是不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù).

下面，我們將用上述引理和部分分式法等來(lái)證明主要定理.

2主要定理及特例

定理1令m，k∈N，，則下列恒等式成立：

證明為了方便計(jì)算，我們引入如下變換：

那么

根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的定義，并利用部分分式法，不難得到

其中

則

注意到，對(duì)于任意雙序列{X}，有下列恒等關(guān)系成立：.于是，我們有

結(jié)合式（2.2），式（2.1）右邊的第二項(xiàng)求和式可進(jìn)行如下計(jì)算：

將上面兩部分計(jì)算結(jié)果代入式（2.1），整理后即得定理1.

在定理1的假設(shè)下，當(dāng)q=±1時(shí)，我們得到了如下兩個(gè)重要推論.

推論1令，則有

證明首先考慮q=1的情況.

其中

根據(jù)部分分式法：

有

將上面的式子以及式（2.4）代入式（2.3）中，整理得到推論1中的第一個(gè)恒等式.

接下來(lái)考慮q=-1的情況.

根據(jù)部分分式法，有

應(yīng)用上面的式（2.7）與式（2.8），得到

將式（2.4）和式（2.9）代入式（2.6），得到推論1中的第二個(gè)恒等式.

同理，參照定理1和推論1的證明，我們可以得到定理2和推論2.

定理2令，，理則下列恒等式成立：

注當(dāng)m=1或2時(shí)，Sofo[9-10]計(jì)算過(guò)類似的結(jié)果，不過(guò)等號(hào)右邊的表現(xiàn)形式略有不同.

推論2令，那么有

在上述定理和推論中將參數(shù)取特殊值，可以得到許多有意思的恒等式.

例1在定理1中令q=4，m=1，k=2，得到

例2在定理1中令q=±4，m=3，k=2，則有

例3在推論1中令m=2，k=3，得到

例4在定理2中，令m=3，q=-4，k=2，則有下列式子成立：

例5在推論2中，令m=2，k=2，則有

[參考文獻(xiàn)]

[1]SRIVASTAVA H M，CHOI J. Zeta and q-Zeta Functions and Associated Series and Integrals [M]. Amsterdam：Elsevier Science Publishers，2012.

[2]SOFO A. Quadratic alternating harmonic number sums [J]. Journal of Number Theory，2015，154：144-159.

[3]SOFO A. Harmonic sums and integral representations [J]. Journal of Applied Analysis，2010，16：265-277.

[4]WEIDEMAN JAC. Pade approximations to the logarithm I：Derivation via differential equations [J]. Quaestiones Mathematicae，2005，28（3）：375-390.

[5]DRIVER K，PRODINGER H，SCHNEIDER C，et al. Padéapproximations to the logarithm II：Identities，recurrences，and symbolic computation [J]. Ramanujan Journal，2006，11（2）：139-158.

[6]SOFO A. Identities for alternating inverse squared binomial and harmonic number sums [J]. Mediterranean Journal of Mathematics，2016，13（4）：1407-1418.

[7]SOFOA.Finite sums in higher order powers of harmonic numbers [J]. Bull Math Anal Appi，2013（5）：71-79.

[8]XU C.Explicit evaluation of harmonic sums [J]. Communications of the Korean Mathematical Society，2017，33（1）：13-36.

[9]SOFOA，SRIVASTAVA H A I. A family of shifted harmonic sums [J]. Ramanujan Journal，2015，37（1）：89-108.

[10]SOFOA.Shifted harmonic sums of order two [J]. Communications of the Korean Mathematical Society，2014，29（2）：239-255.

（責(zé)任編輯：林磊）