一類帶參數(shù)積分中值公式的證明

吳定能

(貴州電子信息職業(yè)技術學院，貴州 凱里 556000)

積分中值定理是積分學的重要內容，也是一直以來研究的熱點課題。以前大多是集中于研究它的推廣與深化。目前，研究出不同類型的積分中值公式已成為中值定理研究的重點課題。本文在總結了微積分的理論之后，對帶參數(shù)積分建立了一類帶參數(shù)的積分中值定理，并且完成了證明。

1 帶參數(shù)積分中值公式一

(1)

證明：證明分三步完成。

1)當n=1時，我們直接計算

從而，若ρ≠0且ρ∈(-1，1)時，我們有

(2)

很顯然，當ρ=0時，恒等式(2)也成立。

2)當n=2時，利用分部積分公式直接計算，可得

(3)

于是

(4)

結合(4)及(3)可以得到

因此，若ρ≠0且ρ∈(-1，1)時，可得到

(5)

此外，很顯然，當ρ=0時，恒等式(5)也成立。

這意味著恒等式(1)適用于n=1或n=2的情況。

3)為了證明一般性結論，讓|ρ|<1，n≥3。一方面，利用分部積分公式，我們有

(6)

另一方面，將積分函數(shù)中分子sinnθ拆為sin2θsin2θ，可得到

從而，可得到

(7)

結合恒等式(6)及(7)可得到

移項整理后，得到

(8)

由于fn(ρ)在區(qū)間(-1，1)連續(xù)，那么對恒等式(8)，fn(ρ)滿足微分方程

ρfn′(ρ)+(n-1)fn(ρ)=0

(9)

在ρ∈(-1，1)，令Fn(ρ)=ρn-1fn(ρ)

那么Fn(0)=0，而且

Fn′(ρ)=(n-1)ρn-2fn(ρ)+ρn-1fn′(ρ)

=ρn-2[(n-1)fn(ρ)+ρfn′(ρ)]

進而，由微分方程(9)，可以得到Fn′(ρ)=0，ρ∈(-1，1)。

從而，結合Fn(0)=0，得到Fn(ρ)=0，ρ∈(-1，1)。

因此，當ρ≠0時，一方面，可以得到fn(ρ)=0，ρ∈(-1，1)。

另一方面，根據(jù)fn(ρ)的定義可得fn(0)=0。

因此，可得

(10)

(11)

結合恒等式(6)

因此，當ρ≠0時，我們可以得到

(12)

此外，當ρ=0時，恒等式(12)也成立。

若m≥2，|ρ|<1時，對恒等式(12)，可得到

當n為2m時，有

(13)

當n為2m-1時，有

(14)

結合恒等式(13)及(14)，當n≥3，|ρ|<1時，我們可以推出恒等式(1)成立。再結合恒等式(2)及(3)，可以得到，當n≥1，|ρ|<1，時，恒等式(1)恒成立。

2 帶參數(shù)積分中值公式二

(15)

證明：證明分為五步完成

1)當n=1時，我們直接計算

因此，如果ρ≠0時，可以得

(16)

當ρ=0時，恒等式(16)顯然成立。

2)當n=2時，我們直接計算

結合恒等式(4)，可得到

因此，若ρ≠0時，可得

(17)

同時，也很顯然，當ρ=0時，恒等式(17)也成立。這意味著恒等式(15)也適用于n=1或者n=2的情況。

3)當ρ=1時，利用二倍角公式，可以得到

(18)

4)當ρ=-1時，同理，根據(jù)二倍角公式，可以得到

(19)

由恒等式(18)及(19)，我們可以立即得到

這意味著恒等式(15)也適用于|ρ|=1的情況[2]。

5)為了證明一般性，假設|ρ|<1，n≥3時，根據(jù)fn(ρ)=0，可以得到

結合恒等式(1)，可以得到

(20)

因此，由恒等式(17)、(18)、(19)及(20)可以得出，對于n≥1且|ρ|≤1時，等式(15)恒成立。

3 帶參數(shù)積分中值公式三

(21)

證明：證明分為兩步完成。

1)當n=2時，等式(21)顯然成立。

2)為了證明一般性，當n≥3，|ρ|≤1時，利用恒等式(21)，替換n(n+2→n)，可直接得到

再結合恒等式(15)，可以得到

因此，可以得到

(22)

從而，當n≥3，|ρ|≤1時，恒等式(21)成立。

因此，由(1)和(2)，我們可以得到，當n≥2且|ρ|≤1時，恒等式(21)恒成立。