基于萬有引力算法的混沌圖像加密研究

張毅 王波

摘要：網(wǎng)絡(luò)科技的發(fā)展使得信息安全問題越來越尖銳，信息加密的研究已經(jīng)提上議程?；煦缑艽a學(xué)的新興使得信息加密的安全性得到了有力支撐。該文就此提出基于萬有引力算法的混沌圖像加密方案，該算法利用五維分?jǐn)?shù)階混沌動(dòng)系統(tǒng)生成的時(shí)間序列與像素置亂以及萬有引力算法擴(kuò)散后的圖像再次進(jìn)行擴(kuò)散，形成加密圖像，由于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)具有初值敏感性、記憶性等優(yōu)良特性以及萬有引力算法的像素聯(lián)合性，使得加密后的圖像具有良好的抗攻擊能力。

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng);萬有引力算法;記憶性

中圖分類號(hào)：TP309.7? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2020）30-0001-05

開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：

Abstract： The development of network technology makes the problem of information security more and more acute. The security of information encryption is strongly supported by the new development of chaos cryptography. In the image encryption scheme based on gravity algorithm is put forward， the algorithm using 5 d fractional order chaotic dynamic system to generate time series and pixel scrambling and diffusion： the image again after gravity algorithm， encryption image formation， because of the fractional order chaotic systems with initial value sensitivity， memory and other excellent properties， and the algorithm of gravity pixel combination， make the encrypted image has a good ability against the attack.

Key words： fractional-order hyperchaotic system; gravitation algorithm; memory

自20世紀(jì)混沌學(xué)發(fā)展以來，由于混沌系統(tǒng)的不可預(yù)測(cè)性、初值敏感性、時(shí)間序列的偽隨機(jī)性等多種優(yōu)異的特點(diǎn)，深受廣大學(xué)者的青睞，掀起了對(duì)混沌系統(tǒng)的研究，而混沌學(xué)與密碼學(xué)的結(jié)合，使得傳統(tǒng)密碼學(xué)的發(fā)展得到了質(zhì)的飛躍。混沌密碼學(xué)結(jié)合了混沌學(xué)以及密碼學(xué)各自的優(yōu)點(diǎn)，使得混沌密碼學(xué)擁有了高效的加密性能。近年來，基于混沌系統(tǒng)的各類加密算法應(yīng)運(yùn)而生，混沌密碼學(xué)得到了快速的發(fā)展?；诨煦缧蛄械膱D像加密研究是目前解決圖像信息泄露的有效途徑。

1 研究現(xiàn)狀

20世紀(jì)90年代的圖像加密是該領(lǐng)域的起步階段，當(dāng)時(shí)的圖像加密是建立在低維混沌系統(tǒng)和經(jīng)典的置亂算法的基礎(chǔ)之上，加密算法簡(jiǎn)單，隨著科技進(jìn)步很多過往的算法已經(jīng)不再適用，但前人的研究思想為后來的圖像加密領(lǐng)域提供了寶貴的經(jīng)驗(yàn)和指明了方向。廣大學(xué)者在對(duì)數(shù)字圖像安全問題的研究過程中根據(jù)其加密的不同原理提出了不計(jì)其數(shù)的方法[1-7]。文獻(xiàn)[8-10]中Yen最先提出一種CKBA的加密模式。該算法首先利用混沌映射產(chǎn)生序列，然后對(duì)該序列按一定方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其作為圖像加密序列，最后讓該二進(jìn)制序列與圖像像素進(jìn)行異或或者異或非操作，以此完成對(duì)圖像信息進(jìn)行加密。文獻(xiàn)[11]中Scharinger提出一種基于柯兒莫哥洛夫流的加密方案。在該方案中，他把整個(gè)完整圖像看成一個(gè)單獨(dú)的部分，利用柯兒莫哥洛夫流的鍵控混沌系統(tǒng)進(jìn)行排位。為了打亂原來數(shù)據(jù)，采用了移位寄存?zhèn)坞S機(jī)數(shù)生成器進(jìn)行像素位置的變換，從而打亂密文圖像的特性。文獻(xiàn)[12]中Fridrich提出在一個(gè)環(huán)面上或一個(gè)正方形上應(yīng)用可逆的二維混沌映射來創(chuàng)建新的對(duì)稱塊的加密方案。首先通過混沌映射引入?yún)?shù)進(jìn)行廣義化，然后離散到一個(gè)有限的正方形點(diǎn)陣中，這些點(diǎn)陣代表像素和其他一些數(shù)據(jù)項(xiàng)。最后利用離散映射和簡(jiǎn)單的擴(kuò)散機(jī)制進(jìn)行組合。文獻(xiàn)[13-16]Zhang等人給出了一種新的基于DNA序列和混沌序列的圖像加密方案。首先對(duì)初始圖像進(jìn)行編碼得到DNA序列矩陣，然后把矩陣分成若干相等的部分，利用DNA序列加法運(yùn)算將這些部分相加。接下來，使用兩個(gè)邏輯映射對(duì)添加矩陣的結(jié)果執(zhí)行DNA序列補(bǔ)體操作。之后通過第三步對(duì)DNA序列矩陣解碼，實(shí)現(xiàn)圖像加密。文獻(xiàn)[17]Chapaneri等人提出了一個(gè)改進(jìn)的CML （ICML）使用分段線性混沌映射代替邏輯映射，以實(shí)現(xiàn)更好的混沌特性。文獻(xiàn)[18，19]Sun等人給出了一種基于空間混沌系統(tǒng)的圖像加密新方法。該方案利用空間Cat映射來對(duì)像素進(jìn)行位置洗牌，并利用另一個(gè)空間混沌系統(tǒng)來混淆密文圖像與明文圖像之間的聯(lián)系。

本文提出基于萬有引力算法的混沌圖像加密方案，該算法利用分?jǐn)?shù)階混沌動(dòng)系統(tǒng)生成的時(shí)間序列與像素置亂以及萬有引力算法擴(kuò)散后的圖像再次進(jìn)行擴(kuò)散，形成加密圖像，由于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)具有初值敏感性、記憶性等優(yōu)良特性，以及萬有引力算法的像素聯(lián)合性，使得加密后的圖像具有良好的抗攻擊能力。

2 算法描述

2.1 小波變換

小波分析是當(dāng)今世界信息分析處理領(lǐng)域中一種重要的方式，目前已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于圖像處理、圖像加密上。將待處理圖像通過小波變化得到低頻、水平、垂直、對(duì)角系數(shù)圖。選取高能量的低頻子圖進(jìn)行后續(xù)處理。小波變換能提高圖像加密的效率。原圖Im如圖1（a）所示。灰度降噪后的圖像Im1如圖1（b）所示。圖1（c）給出的是Im1一次小波變換的過程。小波變化后低頻、水平、垂直、對(duì)角分量如圖1（d）～（g）所示。

2.2 分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)

作為混沌圖像加密中最重要的組成部分，混沌系統(tǒng)的復(fù)雜情況會(huì)影響到信息加密的可靠性能的優(yōu)劣。就此，本文介紹一種分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)秉持了傳統(tǒng)整數(shù)階混沌系統(tǒng)的優(yōu)秀特性，同時(shí)還擁有分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)特有的記憶特性，使得系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜。分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的動(dòng)力方程如下式（1）所示。

式（1）中a、b、c、d、e均為混沌系統(tǒng)參數(shù)，q是分?jǐn)?shù)階微分方程的階次。實(shí)驗(yàn)仿真中選取系統(tǒng)參數(shù)值為a=10、b=28、c=8/3、d=0.1、e=0.2，分?jǐn)?shù)階微分方程的階次q取值范圍為（0.93，1），分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的變化有非常大的影響，決定著超混沌系統(tǒng)是否處于混沌狀態(tài)還是其他狀態(tài)。輸入初值x0=0、y0=0.6、z0=0.3、w0=1、v0=1。根據(jù)選定的參數(shù)和初始值進(jìn)行matlab仿真，得到分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的相圖，如圖2所示。

2.3 Arnold置亂算法

Arnold算法是利用對(duì)圖像的像素點(diǎn)的位置按照一定位運(yùn)算來達(dá)到像素點(diǎn)位置打亂效果，實(shí)現(xiàn)圖像像素點(diǎn)位置置亂加密。對(duì)于一個(gè)大小為N*N的方形圖像，選取圖像像素的起始點(diǎn)為（x，y），按照式（2）來獲取新的像素位（x，y），經(jīng)過多次重復(fù)，來達(dá)到加密效果。

2.4 萬有引力算法

2.4.1 萬有引力算法介紹

十七世紀(jì)后半葉，英國著名物理學(xué)家牛頓首次在公開發(fā)表的期刊上提出萬有引力定律。他認(rèn)為在自然界中的任意兩個(gè)有質(zhì)量的物體都是彼此吸引的，小到塵埃，大到星體，而兩者之間的引力作用的大小與該兩個(gè)物體本身的質(zhì)量以及兩者之間的距離有關(guān)。萬有引力定律的提出為了人類探索未知指明了一個(gè)方向。被認(rèn)為是17世紀(jì)最偉大的發(fā)現(xiàn)之一。萬有引力算法是根據(jù)牛頓萬有引力定律改進(jìn)而來，將物與物之間的引力作用映射到了圖像像素點(diǎn)之間，通過圖像像素點(diǎn)之間的引力作用計(jì)算引力大小，得到引力矩陣進(jìn)行圖像加密。

2.4.2 算法參數(shù)定義

將RGB圖像放入X、Y、Z三維直角坐標(biāo)中，對(duì)像素點(diǎn)之間的萬有引力計(jì)算給出如下定義，使我們?cè)诳臻g中對(duì)RGB圖像的像素點(diǎn)之間的萬有引力計(jì)算提供便利，空間中的RGB圖像像素點(diǎn)間的萬有引力作用如圖3所示。

定義1：像素點(diǎn)質(zhì)量

引入像素點(diǎn)間的引力作用這個(gè)概念的前提是像素點(diǎn)是有質(zhì)量的，文獻(xiàn)[20]中通過像素點(diǎn)在空間中的位置關(guān)系引入像素點(diǎn)位置與質(zhì)量關(guān)系式。同理，我們將該文獻(xiàn)中空間中的一點(diǎn)擴(kuò)展到圖像的R、G、B三個(gè)面。將R、G、B三個(gè)通道的圖像放在三維直角坐標(biāo)系中，那么圖像中的每個(gè)像素點(diǎn)都有自己對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，每個(gè)像素點(diǎn)的位置以x、y、z的坐標(biāo)形式來表示，其中R通道的z1為0，G通道的z2為1，B通道的z3為2.像素點(diǎn)質(zhì)量如公式（3）所示。

引力作用具有大小，同時(shí)也具有方向。根據(jù)圖3中R、G、B三個(gè)通道的位置關(guān)系，R通道中的像素點(diǎn)受到的引力FG->R和FB->R方向都是向上的，G通道中的像素點(diǎn)受到的引力FB->G方向向上，F(xiàn)R->G方向向下，B通道中的像素點(diǎn)受到的引力FR->B和FG->B方向都是向下的。定義引力方向向上為正方向，考慮到像素間引力作用的方向都不盡相同。因此，將像素點(diǎn)間的引力都轉(zhuǎn)化為豎直方向（即z方向）進(jìn)行代數(shù)計(jì)算，水平方向上的引力作用不考慮。引力大小關(guān)系和像素點(diǎn)受到的合力如公式（5）和（6）所示。

公式（7）中[G]為改進(jìn)萬有引力的引力系數(shù)，其大小為R、G、B三通道所有像素點(diǎn)質(zhì)量的累加和的倒數(shù)，M和m分別為兩個(gè)存在引力作用關(guān)系的像素點(diǎn)質(zhì)量，α為引力方向與水平面（即xoy平面）的夾角，d為豎直方向（即沿z方向）兩點(diǎn)的距離。根據(jù)定義3中，考慮所有像素點(diǎn)間的引力作用方向都不相同，進(jìn)行矢量疊加比較困難，因此都轉(zhuǎn)化為豎直方向上的引力作用按照公式（5）和公式（6）進(jìn)行代數(shù)和計(jì)算，只考慮外力作用，內(nèi)力忽略不計(jì)。

定義5：引力矩陣

當(dāng)r≤R時(shí)（R為極限距離），在這個(gè)范圍內(nèi)的所有像素點(diǎn)都存在對(duì)目標(biāo)點(diǎn)的引力作用，按照定義1～4和公式（7）、（10）計(jì)算目標(biāo)點(diǎn)受到的豎直方向上引力作用的代數(shù)和Fi，j，l。

Fi，j，l為目標(biāo)點(diǎn)M受到的豎直方向上的引力代數(shù)和，MR（xi，yj，z1），i=1，2，...，N;j=1，2，...，N;l=1，2，3，N為N*N圖像的水平、豎直方向上的像素個(gè)數(shù)。F、G、H為在極限距離R范圍內(nèi)存在著若干個(gè)點(diǎn)對(duì)目標(biāo)點(diǎn)M的引力作用，其最大x坐標(biāo)、y坐標(biāo)、z坐標(biāo)分別為F、G、H。

定義6：極限距離R的選取

根據(jù)公式（4）即可計(jì)算出兩個(gè)像素點(diǎn)之間的距離。當(dāng)距離過小，兩者之間的引力作用會(huì)很大，距離過大，引力作用又會(huì)很弱。依照這一特點(diǎn)，規(guī)定當(dāng)r足夠大，即r≥R時(shí)（R為極限距離），像素間的引力作用可以忽略不計(jì)。本節(jié)選取r=71～100這個(gè)范圍進(jìn)行了30組改進(jìn)萬有引力算法的圖像加密實(shí)驗(yàn)，選取30組實(shí)驗(yàn)中l(wèi)ena的R通道圖像加密效果最佳（信息熵最大）的一組實(shí)驗(yàn)的距離作為極限距離，選定的極限距離為87。測(cè)試數(shù)據(jù)如表1所示。

3 圖像加密步驟

步驟1：輸入待加密的N*N*3初始圖像Im，如圖1（a）所示，將圖像Im進(jìn)行R、G、B三通道分層，得到IR、IG、IB三通道像素值圖像，如圖4所示。

步驟2：將三個(gè)通道圖像IR、IG、IB按照?qǐng)D1（c）所示各自進(jìn)行一次小波變換，得到低頻、水平、垂直、對(duì)角四個(gè)子圖。

步驟3：選取三個(gè)通道大小為N1*N1的低頻子圖LL1R、LL1G、LL1B，按照公式（2）進(jìn)行158次Arnold置亂，其中選取參數(shù)a和b分別為3和5，得到LL1R、LL1G、LL1B的Arnold置亂圖IR1、IG1、IB1。

步驟4：將步驟3得到的三個(gè)通道像素置亂圖IR1、IG1、IB1進(jìn)行一次小波逆變換得到N*N的置亂重構(gòu)圖IR2、IG2、IB2。

步驟5：根據(jù)上述定義1～6，計(jì)算IR2、IG2、IB2各自的引力矩陣Q1、Q2、Q3，在根據(jù)公式（11）對(duì)引力矩陣Q1、Q2、Q3進(jìn)行變換，得到變換后的引力矩陣Q1、Q2、Q3。

步驟6：根據(jù)公式（12），將變換后的引力矩陣Q1、Q2、Q3與置亂重構(gòu)圖IR2、IG2、IB2進(jìn)行異或擴(kuò)散加密，得到一次異或擴(kuò)散加密圖IR3、IG3、IB3，如圖5所示。

步驟7：根據(jù)公式（1）和（13）提取并處理混沌時(shí)間序列的N*N序列矩陣Pi，j。

步驟8：將步驟7中的序列矩陣Pi，j按公式（14）進(jìn)行處理后再按照公式（15）與引力矩陣異或擴(kuò)散加密圖IR3、IG3、IB3再次進(jìn)行異或擴(kuò)散，得到加密圖IR4、IG4、IB4，如圖6所示。

4 安全性分析

4.1 灰度級(jí)直方圖分析

圖像的灰度級(jí)直方圖是反映一幅圖片各個(gè)灰度級(jí)像素點(diǎn)的個(gè)數(shù)，能有效地分析出圖像是否抗統(tǒng)計(jì)攻擊。若圖像像素值比較集中，則容易通過統(tǒng)計(jì)的方法進(jìn)行破解，反之，攻擊者難以利用像素灰度級(jí)的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行破解。圖7為lena圖像R、G、B三個(gè)通道明文圖像和密文圖像灰度級(jí)直方圖。圖7（a）、（b）、（c）中灰度級(jí)比較集中，（d）、（e）、（f）中灰度級(jí)比較分散且均勻。由此可見，基于萬有引力算法的混沌加密具有較強(qiáng)的抵御統(tǒng)計(jì)分析的能力。

4.2 圖像相鄰像素相關(guān)性分析

相關(guān)性指的是一幅圖片相鄰像素之間的關(guān)系程度。一幅圖片若要表現(xiàn)出其意義，那么他的相鄰像素通常會(huì)比較接近。有效的加密方式會(huì)使得加密后的圖像的相鄰像素之間關(guān)系不會(huì)那么密切。相關(guān)性分析能有效判別加密算法的優(yōu)劣，本實(shí)驗(yàn)抽取lena的明文圖像和密文圖像的水平、垂直和對(duì)角三個(gè)方向各10000對(duì)像素進(jìn)行測(cè)試比較。圖像相鄰像素相關(guān)性的計(jì)算方式如公式（16）～（19）所示。

結(jié)合表2和表3的數(shù)據(jù)可以看出lena的R、G、B三個(gè)通道的密文圖像的相關(guān)性系數(shù)明顯小于明文圖像的相關(guān)性系數(shù)。因此，本文使用的算法更具有優(yōu)良的保密性，并且具有現(xiàn)實(shí)可行性。表4為文獻(xiàn)[21-23]的lena灰度密文圖像的相關(guān)性系數(shù)表，通過與本文算法對(duì)比，本文算法具有一定的優(yōu)越性。lena圖像的R、G、B三個(gè)通道的明文圖像和密文圖像的相關(guān)系數(shù)圖如圖8、9、10所示。

4.3 密鑰靈敏度分析

密鑰是破解整個(gè)加密圖像最關(guān)鍵的部分，密鑰的靈敏度關(guān)系著加密圖像的安全性。為了測(cè)試密鑰是否靈敏，以下用幾組差異較小的密鑰對(duì)密文圖像進(jìn)行破解。用分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的其中一個(gè)初始值x0作為密鑰進(jìn)行試驗(yàn)，密鑰值為0，實(shí)驗(yàn)取值x0=0.01，x0=0.001，x0=0.0001得到的R通道解密圖如圖11所示。只要密鑰存在細(xì)微差別，密文圖像就不能夠被正常破解，被破解的圖像也不能正常反映明文圖像中的任何內(nèi)容。因此，可以得到該算法對(duì)初值具有敏感性，能夠有效抵御暴力攻擊。

4.4 信息熵分析

信息熵是衡量系統(tǒng)的不確定程度，表現(xiàn)為直接獲取信息的可能性和隨機(jī)性。信息熵的大小與圖像混亂程度有關(guān)，混亂程度越大，信息熵越大。本文使用的是單通道256*256的圖像，圖像最大的信息熵值為8。信息熵的計(jì)算公式如公式（20）所示。

通過計(jì)算lena圖像R、G、B三個(gè)通道的明文圖像的信息熵分別為7.2875、7.5439、7.0390，密文圖像的信息熵分別為7.9891、7.9893、7.9890。密文圖像的信息熵明顯大于明文圖像的信息熵，且更接近于8。說明該算法具有一定的有效性。

5 小結(jié)

本章提出基于萬有引力算法的混沌圖像加密方案，該算法利用五維分?jǐn)?shù)階超混沌動(dòng)力學(xué)方程生成的時(shí)間序列與經(jīng)過Arnold算法置亂以及萬有引力算法擴(kuò)散后的圖像再次進(jìn)行異或擴(kuò)散，形成加密圖像，由于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)具有初值敏感性、記憶性等優(yōu)良特性，以及萬有引力算法的像素聯(lián)合性，使得加密后的圖像具有良好的抵御攻擊優(yōu)點(diǎn)。

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