基于梯度下降法的翼傘系統(tǒng)最優(yōu)分段航跡規(guī)劃

陳奇，趙敏，李宇輝，何紫陽

1. 淮陰工學(xué)院 電子信息工程學(xué)院，淮安 223003 2. 南京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，南京 210016

沖壓式翼傘是一種由紡織材料構(gòu)成的柔性飛行器，開傘后空氣由翼傘前緣切口進(jìn)入氣室，在氣室內(nèi)形成滯止壓力，使翼傘能保持較為穩(wěn)定的翼形并產(chǎn)生升力和阻力，因此翼傘具有較高升阻比、優(yōu)良的滑翔性能和可控性[1]。拉拽傘衣后緣可以調(diào)整翼傘飛行方向和速度，實(shí)現(xiàn)精確著陸，克服了傳統(tǒng)圓形降落傘飛行軌跡隨風(fēng)飄、落點(diǎn)散布大的缺點(diǎn)，同時(shí)翼傘在著陸時(shí)可以以雀降方式無損著陸，在戰(zhàn)場(chǎng)物資精確空投、自然災(zāi)害救災(zāi)物資精確空投、航天器回收等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用前景，得到了國(guó)內(nèi)外許多研究者的關(guān)注[2]。為翼傘系統(tǒng)規(guī)劃出合適歸航航跡是能否實(shí)現(xiàn)精確空投的前提之一，很大程度上決定了翼傘的著陸精度和歸航控制方式，只有在合適的規(guī)劃航跡的基礎(chǔ)上才能設(shè)計(jì)合適的航跡跟蹤控制器，因此航跡規(guī)劃對(duì)實(shí)現(xiàn)翼傘精確空投具有重要意義。

翼傘系統(tǒng)航跡規(guī)劃是指在翼傘動(dòng)力學(xué)約束基礎(chǔ)上，為翼傘系統(tǒng)規(guī)劃出從初始空投點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)的、滿足特定性能指標(biāo)的歸航航跡。早期歸航主要為徑向歸航和錐型歸航，由于其歸航精度較低，現(xiàn)已較少采用，目前主要的翼傘系統(tǒng)航跡規(guī)劃方法為最優(yōu)控制歸航法和分段歸航法。

最優(yōu)控制歸航法以準(zhǔn)確、安全、控制能量小等為優(yōu)化目標(biāo)，求解算法主要包括間接法和直接法，熊菁[3]采用間接法求解了翼傘系統(tǒng)的最優(yōu)航跡規(guī)劃問題，利用極小值原理將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)邊值問題再求解，但該方法需要先對(duì)狀態(tài)方程進(jìn)行正向積分，再對(duì)協(xié)態(tài)方程進(jìn)行反向積分，過程較為繁瑣復(fù)雜。高海濤[4]、羅淑貞[5]、Sun[6]等運(yùn)用直接法求解了翼傘最優(yōu)控制歸航航跡規(guī)劃問題，主要利用偽譜法將最優(yōu)控制航跡規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題，再利用序列二次規(guī)劃算法求解該問題。Zhang等[7]利用偽譜法求解了翼傘航跡規(guī)劃問題，并利用粒子群優(yōu)化(Particle Swarm Optimization，PSO)算法確定Pareto優(yōu)化點(diǎn)，進(jìn)一步改進(jìn)了航跡規(guī)劃效果。Weinstein等[8]直接利用PSO算法實(shí)現(xiàn)了翼傘魯棒制導(dǎo)，規(guī)劃的航跡可有效降低翼傘著陸誤差和著地沖擊速度。陶金等將最優(yōu)控制航跡規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為B樣條基函數(shù)控制頂點(diǎn)的參數(shù)優(yōu)化問題，然后采用遺傳算法[9]或量子遺傳算法[10]等智能算法進(jìn)行目標(biāo)函數(shù)尋優(yōu)。梁海燕[11]、蔣華晨[12]等基于敏感度分析方法，利用控制變量參數(shù)化與時(shí)間尺度相結(jié)合的優(yōu)化算法，將航跡規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為一系列參數(shù)優(yōu)化問題再進(jìn)行數(shù)值求解。需要指出的是，這類最優(yōu)控制航跡規(guī)劃方法獲得的最優(yōu)控制量往往都是連續(xù)的。

分段歸航法由于操縱過程簡(jiǎn)單、魯棒性強(qiáng)，因此在X-38等系統(tǒng)中得到了實(shí)際應(yīng)用。熊菁等[13]基于遺傳算法，研究了翼傘系統(tǒng)的分段歸航航跡設(shè)計(jì)問題，規(guī)劃的航跡被分段為目標(biāo)接近段、能量控制段和逆風(fēng)著陸段，目標(biāo)接近段和逆風(fēng)著陸段主要實(shí)施滑翔運(yùn)動(dòng)、能量管理段主要為螺旋線下降的轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)。張興會(huì)和朱二琳[14]基于改進(jìn)粒子群算法設(shè)計(jì)了翼傘系統(tǒng)分段歸航航跡，仿真表明設(shè)計(jì)的歸航軌跡簡(jiǎn)單實(shí)用，滿足落點(diǎn)精度要求。鄭成等[15]基于改進(jìn)遺傳算法(Improved Adaptive Genetic Algorithm，IAGA)有效求解了分段歸航軌跡問題，提出的算法可有效防止早熟，收斂速度更快，規(guī)劃的航跡滿足定點(diǎn)和逆風(fēng)著陸的要求。陶金等[16]基于粒子群算法優(yōu)化了分段歸航軌跡，并采用線性自抗擾控制器(Linear Active Disturbance Rejection Controller，LADRC)對(duì)航跡進(jìn)行了修正，仿真結(jié)果表明該歸航控制可提高抗風(fēng)性能和歸航精度。趙志豪等[17]基于人工魚群算法對(duì)分段航跡目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行了參數(shù)尋優(yōu)，提出的算法可加快算法收斂速度，規(guī)劃航跡滿足精確落點(diǎn)和逆風(fēng)著陸的要求。上述分段歸航算法采用的目標(biāo)函數(shù)大同小異，都是將航跡規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為進(jìn)入點(diǎn)(Entry Point)參數(shù)的優(yōu)化問題，盡管采取的算法在收斂速度方面有差異，但得到的結(jié)果是大致相同的，都能滿足精確著陸和逆風(fēng)著陸要求。需要注意的是，分段歸航算法的優(yōu)化函數(shù)中一般不包含能耗指標(biāo)，因此分段歸航法在能量消耗方面不占優(yōu)勢(shì)，此外，獲得的航跡中包含多個(gè)半徑最小的過渡轉(zhuǎn)彎段，此時(shí)需要突然將控制繩下拉到最大量，然后短時(shí)間內(nèi)又將其恢復(fù)到較小控制量，這對(duì)翼傘的實(shí)際操控提出了更高的要求。

為進(jìn)一步改進(jìn)翼傘系統(tǒng)航跡規(guī)劃效果，本文提出了一種基于梯度下降法的最優(yōu)分段航跡規(guī)劃算法。在考慮翼傘初值約束、終點(diǎn)逆風(fēng)精確著陸約束、控制約束、障礙規(guī)避約束情況下，將控制變量參數(shù)化為一系列分段常值，在翼傘質(zhì)點(diǎn)模型狀態(tài)方程約束下，將航跡規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題，然后利用梯度下降法求解該優(yōu)化問題。通過和基于偽譜法求解的最優(yōu)控制規(guī)劃航跡、基于遺傳算法的分段歸航航跡對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)三者在相同條件下都能滿足精確、逆風(fēng)著陸要求，但本文算法得到的航跡能量消耗更低，且控制量由分段常值構(gòu)成，簡(jiǎn)化了翼傘歸航時(shí)的操控，同時(shí)控制量的值在一個(gè)較小范圍內(nèi)變化，為系統(tǒng)提供了更大的控制量冗余，有利于航跡跟蹤控制時(shí)的偏差修正。在進(jìn)一步考慮避障約束后，本文算法規(guī)劃的航跡可以實(shí)現(xiàn)對(duì)山峰障礙的繞行，獲得的航跡平滑合理，便于跟蹤。

1 翼傘質(zhì)點(diǎn)模型

翼傘模型涉及到翼傘的動(dòng)力學(xué)方程和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，包括翼傘的升力、阻力、表觀質(zhì)量等多個(gè)因素，具有高非線性和強(qiáng)耦合性。常用翼傘模型有4自由度、6自由度、9自由度等不同自由度的模型[18]，模型自由度越高，可獲得的狀態(tài)參量就越多，但其計(jì)算復(fù)雜度也就越高，在不需要研究翼傘載荷相對(duì)于傘衣的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，僅需研究翼傘系統(tǒng)整體的期望航跡時(shí)，可將系統(tǒng)整體看作質(zhì)點(diǎn)，用翼傘質(zhì)點(diǎn)模型代替復(fù)雜的高自由度模型實(shí)現(xiàn)航跡規(guī)劃。對(duì)翼傘系統(tǒng)而言，最佳升阻比對(duì)應(yīng)某個(gè)對(duì)稱下偏量，該對(duì)稱下偏量記為基準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)下偏量，控制算法將在基準(zhǔn)量附近產(chǎn)生非對(duì)稱下偏指令：在降低翼傘一側(cè)后緣的同時(shí)，以相同角度提升另外一側(cè)后緣，此時(shí)滑翔比隨雙側(cè)非對(duì)稱下偏量的變化較小[19]，可做如下假設(shè)：

1) 在翼傘作基準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)飛行情況下，翼傘滑翔比和飛行速度可視為常數(shù)，在考慮翼傘的控制時(shí)，以非對(duì)稱后緣下拉的轉(zhuǎn)彎控制為主。

2) 考慮風(fēng)場(chǎng)為水平風(fēng)場(chǎng)，風(fēng)場(chǎng)可預(yù)知，風(fēng)的效果只引起位置的偏移，此時(shí)可將風(fēng)向和風(fēng)速的影響轉(zhuǎn)化為初始點(diǎn)的位置偏移。

3) 翼傘對(duì)控制輸入的影響無延遲。

在上述假設(shè)下，可得到翼傘在風(fēng)固定坐標(biāo)系下的降階質(zhì)點(diǎn)模型：

(1)

2 最優(yōu)控制航跡規(guī)劃問題描述

翼傘系統(tǒng)最優(yōu)控制航跡規(guī)劃問題的優(yōu)化目標(biāo)主要包括如下幾點(diǎn)：① 最終著陸點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)的著陸誤差最小；② 翼傘著陸時(shí)的方向?yàn)槟骘L(fēng)方向，以減小著陸速度，降低翼傘系統(tǒng)著陸沖擊；③ 歸航過程中的能量消耗最??；④ 翼傘在歸航過程中能躲避障礙。在滿足這幾個(gè)指標(biāo)的同時(shí)，規(guī)劃航跡的控制量還必須小于等于容許控制量。綜合考慮翼傘上述優(yōu)化目標(biāo)和控制約束，翼傘的最優(yōu)控制航跡規(guī)劃問題可用如下數(shù)學(xué)形式描述：

1) 翼傘空投初始條件

x(t0)=x0,y(t0)=y0,h(t0)=h0,ψ(t0)=ψ0

(2)

式中：t0為空投初始時(shí)刻；x0、y0、h0為初始時(shí)刻位置；ψ0為初始時(shí)刻航向角。

2) 翼傘著陸時(shí)刻終端約束條件

x(tf)=xf,y(tf)=yf,h(tf)=hf,ψ(tf)=ψf

(3)

式中：tf為著陸時(shí)刻；ψf為著陸目標(biāo)點(diǎn)風(fēng)向的反方向角度，不失一般性，可假定著陸點(diǎn)風(fēng)向與x軸正向一致，即ψ(tf)=180°，或ψ(tf)=-180°，則逆風(fēng)著陸條件可轉(zhuǎn)化為cos(ψ(tf))=-1，此時(shí)若快速下拉翼傘兩側(cè)操縱繩，可實(shí)現(xiàn)翼傘的逆風(fēng)雀降。

3) 避障約束

在戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境或復(fù)雜地形條件下，翼傘空投區(qū)域可能存在敵方火力或山峰障礙，因此規(guī)劃航跡需繞過這些障礙。不失一般性，本文將山峰障礙和敵方火力等威脅統(tǒng)一建模為山峰障礙，即

h(x,y)=

(4)

4) 控制約束條件

|u|≤umax

(5)

由于翼傘操縱繩的繩長(zhǎng)有上限，導(dǎo)致控制量有上限值，當(dāng)翼傘操縱繩的下拉量達(dá)到上限值時(shí)，翼傘轉(zhuǎn)彎半徑為最小值。

5) 優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

規(guī)劃航跡的優(yōu)劣需要采用目標(biāo)函數(shù)來衡量，前述距目標(biāo)點(diǎn)最近、逆風(fēng)著陸、控制能耗最小、避障等優(yōu)化目標(biāo)，可用如下目標(biāo)函數(shù)表示：

J1=min[(x(tf)-xf)2+(y(tf)-yf)2]

(6)

J2=min(cos(ψ(tf))+1)

(7)

(8)

為實(shí)現(xiàn)對(duì)山峰障礙的規(guī)避，需首先計(jì)算翼傘到山峰表面距離與設(shè)定安全距離的誤差：

(9)

(10)

該值越小說明翼傘碰撞到山峰的可能性越小。

上述目標(biāo)需要平衡兼顧，可采取加權(quán)的方式，將上述多目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)函數(shù)：

J=f1J1+f2J2+f3J3+J4

(11)

式中：f1、f2和f3為加權(quán)因子，可根據(jù)不同任務(wù)的不同側(cè)重點(diǎn)，選擇不同的取值。

3 基于梯度下降的最優(yōu)分段航跡規(guī)劃

根據(jù)翼傘歸航任務(wù)的要求，翼傘系統(tǒng)最優(yōu)控制航跡規(guī)劃問題可歸納為：在翼傘系統(tǒng)方程(1)的約束下，設(shè)計(jì)滿足控制約束條件(5)的最優(yōu)控制律u*，使系統(tǒng)狀態(tài)從初始條件(2)轉(zhuǎn)移到終端條件(3)，同時(shí)使得目標(biāo)函數(shù)(11)為最小值。用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述如下：

(12)

本節(jié)將控制變量分段常值化，以求解問題(12)，首先將時(shí)間段[t0,tf]分為n個(gè)相鄰區(qū)間序列，在每個(gè)子區(qū)間內(nèi)u取常數(shù)值以控制翼傘系統(tǒng)，如圖1所示。

圖1 分段常值控制Fig.1 Segment constant control

則翼傘的控制量可用分段常值序列函數(shù)近似表示：

(13)

其中:

(14)

控制變量離散化后，問題(12)即變成了經(jīng)典的控制參數(shù)優(yōu)化選擇問題，可以用隨機(jī)搜索，也可以用目標(biāo)函數(shù)對(duì)控制變量的梯度求最優(yōu)控制量，隨機(jī)搜索比較耗費(fèi)時(shí)間，而梯度下降法耗時(shí)較短，因此本文采用梯度下降法，快速獲得最優(yōu)控制序列。

梯度下降法又名最速下降法，函數(shù)J(u(t))在某u(t)取值處的梯度方向，是J下降最快的方向，梯度下降法理論簡(jiǎn)單，編程較容易實(shí)現(xiàn)。在求目標(biāo)函數(shù)的最小值時(shí)，從定義域內(nèi)任意初始點(diǎn)出發(fā)，沿著負(fù)梯度方向可以最快到達(dá)極小值點(diǎn)，定義J對(duì)u的負(fù)梯度方向?yàn)?/p>

(15)

式中：du是控制變量的變化量，也稱為控制量步長(zhǎng)。利用式(15)可得控制量序列的迭代公式為

ul+1(t)=ul(t)+λSl

(16)

式中：ul+1(t)和ul(t)分別為第l+1代和第l代控制量，λ為學(xué)習(xí)率，λ的取值較為關(guān)鍵，如果其值取的過大，梯度下降算法可能會(huì)發(fā)散，如果其值取的過小，則控制量的更新收斂速度慢，算法需要花費(fèi)更多的時(shí)間才能得到最優(yōu)值。下面為梯度法求解翼傘最優(yōu)歸航軌跡的具體算法：

1) 隨機(jī)給定控制量常值序列初始值u0(t)，學(xué)習(xí)率λ，分段值n，控制量步長(zhǎng)du(t)，分段常值的上界和下界，迭代次數(shù)最大值等，容許誤差e，同時(shí)令l=0。

2) 將控制量ul+1(t)和ul(t)分別代入式(1)，利用初始條件(2)、終端條件(3)，計(jì)算性能指標(biāo)J(ul+1(t))和J(ul(t))，再通過控制量步長(zhǎng)du，計(jì)算負(fù)梯度

3) 檢查迭代次數(shù)是不是達(dá)到最大，若是則跳轉(zhuǎn)到步驟6)，否則繼續(xù)。

4) 更新控制量ul+1(t)：ul+1(t)=ul(t)+λSl，如果ul+1(t)≥umax，則取ul+1(t)=umax；如果ul+1(t)≤-umax，則取ul+1(t)=-umax。

5)l=l+1，轉(zhuǎn)步驟2)。

6) 若迭代次數(shù)達(dá)到最大值，或性能指標(biāo)函數(shù)變化量小于e，輸出最優(yōu)控制序列u*(t)。

4 算法仿真分析

為驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)航跡規(guī)劃算法的有效性，本文分別在無障礙和存在山峰障礙情況下對(duì)提出的航跡規(guī)劃算法進(jìn)行了仿真。

1) 無障礙情況下的航跡規(guī)劃

本文為了分析所提出的航跡規(guī)劃算法特點(diǎn)，在無障礙情形下對(duì)比了本文算法、基于高斯偽譜法的最優(yōu)控制歸航算法和基于遺傳算法的分段歸航算法，其中偽譜最優(yōu)航跡算法參考了文獻(xiàn)[4-5]等，分段航跡算法參考了文獻(xiàn)[13, 15-16, 20]等。圖2為三者的對(duì)比曲線，其中藍(lán)色點(diǎn)劃線為基于遺傳算法的分段航跡規(guī)劃算法相關(guān)曲線，黑色虛線為基于高斯偽譜法的最優(yōu)控制航跡規(guī)劃算法相關(guān)曲線，紅色實(shí)線為本文提出的最優(yōu)分段航跡規(guī)劃算法相關(guān)曲線。

翼傘空投初始點(diǎn)位置設(shè)為(1 500，1 000，2 000)m，翼傘的速度設(shè)為v=10 m/s，初始航向角設(shè)為45°，水平速度vs=9.5 m/s，vz=3.1 m/s，滑翔比約為3.1，umax=0.18。本文將常值風(fēng)的影響視為空投初始位置偏移，u(t)的分段值n設(shè)為6，du(t)=0.002，學(xué)習(xí)率λ設(shè)為0.01，迭代最大次數(shù)設(shè)為6 000次，目標(biāo)函數(shù)系數(shù)f1、f2和f3分別設(shè)為0.01、16、4，此時(shí)不考慮避障指標(biāo)J4，得到的航跡規(guī)劃結(jié)果如圖2所示。

圖2 無障礙情況下的規(guī)劃航跡對(duì)比Fig.2 Comparison of planned trajectories without obstacles

從圖2的歸航軌跡可以看到，基于遺傳算法的分段航跡算法、基于高斯偽譜法的最優(yōu)控制航跡算法，以及本文基于梯度下降法的最優(yōu)分段常值航跡算法，都可以有效地為翼傘系統(tǒng)規(guī)劃出可行航跡，三者從同一初始點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過不同航跡都能到達(dá)同一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)，同時(shí)還滿足逆風(fēng)精確著陸的要求。在分段歸航航跡中，翼傘經(jīng)過目標(biāo)接近段、能量控制段和逆風(fēng)著陸段到達(dá)了目標(biāo)點(diǎn)；在高斯偽譜法最優(yōu)航跡中，翼傘先向遠(yuǎn)端飛行，消耗掉一定高度后再轉(zhuǎn)向目標(biāo)點(diǎn)飛行；而在本文設(shè)計(jì)航跡中，翼傘通過一個(gè)較大半徑的迂回轉(zhuǎn)彎消耗高度再著陸到目標(biāo)點(diǎn)，規(guī)劃的目標(biāo)點(diǎn)位置為(0.099 0，0.254 2) m，實(shí)現(xiàn)了精確歸航。

圖3 無障礙情況下規(guī)劃航跡的航向角對(duì)比Fig.3 Comparison of heading angles of planned trajectories without obstacles

從圖3航向角對(duì)比圖可以看到，從相同45°初始航向角出發(fā)，分段歸航、最優(yōu)歸航和本文歸航算法在著陸時(shí)的航向角基本上都在180°左右，實(shí)現(xiàn)了以180°角逆風(fēng)著陸的目標(biāo)。

圖4 無障礙情況下控制量的對(duì)比Fig.4 Comparison of control quantities without obstacles

從圖4控制量的變化曲線可以看到，3種航跡規(guī)劃算法下翼傘的控制量都小于允許的最大值，規(guī)劃的航跡滿足翼傘控制特性，是可飛的。其中最優(yōu)控制歸航著陸精度高、控制量小，但控制過程是連續(xù)變化的曲線，控制電機(jī)需要連續(xù)不斷調(diào)整才可以實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)，控制難度較大；而分段歸航的控制量為分段常值，主要涉及轉(zhuǎn)彎、滑翔、雀降等幾個(gè)簡(jiǎn)單操作，其控制操作比最優(yōu)歸航要簡(jiǎn)單，從工程實(shí)用性角度出發(fā)，分段歸航方式比最優(yōu)控制歸航方式更容易實(shí)現(xiàn)，但可以發(fā)現(xiàn)分段歸航控制量較大，此外在初始方向調(diào)整段、目標(biāo)接近段到能量管理段之間的過渡段、從能量管理段到逆風(fēng)著陸段之間的過渡段，翼傘都需要從一個(gè)較小控制量突然增大到最大控制量，然后又從最大控制量降低到較小控制量，這增加了操縱的難度，同時(shí)由于翼傘控制存在較大的滯后，當(dāng)控制還沒有完全起作用時(shí)，很快又將控制量從最大控制量降低到較小控制量，這種操作將會(huì)帶來較大的跟蹤誤差。跟前兩種航跡規(guī)劃算法相比，本文設(shè)計(jì)的航跡規(guī)劃算法結(jié)合了最優(yōu)控制航跡規(guī)劃和分段航跡規(guī)劃算法的優(yōu)點(diǎn)，首先，跟前兩者一樣，規(guī)劃的航跡著陸精度高，實(shí)現(xiàn)了精確著陸；其次，控制能量消耗較小；再次，控制是分段常值，操縱容易；最后，從圖4中可以看到，本文算法設(shè)計(jì)的控制量主要在基準(zhǔn)值附近變化，且其變化不大，這為后續(xù)的航跡跟蹤提供了更大的控制量冗余。

2) 存在山峰障礙情況下的航跡規(guī)劃

考慮存在3座山峰，其中心分別坐落于坐標(biāo)(2 000,1 000) m、(1 000,3 000) m、(400,1 500) m處，山峰高度分別為2 500、2 000、1 800 m，坡度相關(guān)量xsi分別為550、480、380 m，設(shè)定的安全間距Rsafe為50 m，其余空投條件跟無障礙情形完全相同。考慮到分段歸航法沒有避障能力，但偽譜法有避障規(guī)劃能力，因此本文還對(duì)基于偽譜法的最優(yōu)避障和本文提出的最優(yōu)分段常值避障規(guī)劃效果進(jìn)行了對(duì)比，如圖5所示，其中黑色曲線為偽譜法避障規(guī)劃航跡，紅色曲線為不考慮避障時(shí)的最優(yōu)分段歸航航跡，藍(lán)色曲線為考慮避障時(shí)的最優(yōu)分段歸航航跡。

圖5 有障礙情況下規(guī)劃航跡對(duì)比Fig.5 Comparison of planned trajectories with obstacles

從圖5中可以看到，在不考慮避障指標(biāo)J4時(shí)，本文提出的最優(yōu)分段常值規(guī)劃航跡將穿山而過，若翼傘系統(tǒng)跟蹤該航跡，則勢(shì)必會(huì)撞上山峰障礙，但在引入避障指標(biāo)后，本文提出的最優(yōu)分段常值避障規(guī)劃航跡繞過了山峰障礙，逆風(fēng)精確著陸到目標(biāo)點(diǎn)。此外還可以看到偽譜法也能實(shí)現(xiàn)對(duì)山峰的避障規(guī)劃，并逆風(fēng)精確著陸到目標(biāo)點(diǎn)，說明偽譜法同樣是一種優(yōu)秀的航跡規(guī)劃算法。

從圖6可以看到，在考慮避障后，本文提出的最優(yōu)分段避障航跡規(guī)劃算法可以實(shí)現(xiàn)逆風(fēng)著陸，不過其最終著陸角度為-180°，但-180°和180°在方向上是重合的，同屬于逆風(fēng)方向。

圖7為本文提出算法和偽譜法算法控制量的對(duì)比，可以看到在有障礙的情況下，本文提出算法獲得的控制量為分段常值，變化依然較小。

表1進(jìn)一步給出了幾種航跡規(guī)劃算法的規(guī)劃指標(biāo)結(jié)果對(duì)比，從表中數(shù)據(jù)可以看到，分段歸航只要求控制量在約束范圍內(nèi)即可，因此分段歸航航跡跟最優(yōu)歸航航跡相比，分段歸航能量消耗較大；最優(yōu)控制航跡規(guī)劃算法在著陸距離偏差和逆風(fēng)著陸方面的表現(xiàn)最好，且最優(yōu)歸航控制的能量消耗總值要比分段歸航小一個(gè)數(shù)量級(jí)，這是由于最優(yōu)控制歸航將控制量能量最小作為目標(biāo)函數(shù)設(shè)計(jì)指標(biāo)之一；而本文提出的最優(yōu)分段常值歸航算法在距離偏差和逆風(fēng)著陸方面有所折衷，但能量消耗最小，從目標(biāo)總值看，本文提出的算法目標(biāo)函數(shù)總值是最低的。

此外可以看到，在存在障礙的情況下，本文提出算法和偽譜法兩者的能量消耗都比無障礙情況下要高，同時(shí)還可以看到偽譜法的著陸精度誤差和逆風(fēng)角度誤差都為0，精度極高，但付出的代價(jià)就是翼傘需要連續(xù)不斷的調(diào)整控制量。

圖8為本文提出算法的目標(biāo)函數(shù)隨迭代次數(shù)的變化情況，在CPU配置為i5-5250、內(nèi)存配置為8 G 的2015版Macbook Air筆記本電腦上，當(dāng)不考慮避障時(shí)，本文航跡規(guī)劃算法在迭代次數(shù)為1 200 左右時(shí)就已完全收斂，算法運(yùn)行時(shí)間為4.79 s；當(dāng)考慮避障時(shí)，迭代次數(shù)為2 200時(shí)算法收斂，算法運(yùn)行時(shí)間為45.18 s，此時(shí)運(yùn)行時(shí)間稍長(zhǎng)，但也不足一分鐘。此外，兩種情形下梯度下降法的目標(biāo)函數(shù)最小值分別為0.309 2和0.452 8。

圖6 有障礙情況下規(guī)劃航跡航向角的對(duì)比Fig.6 Comparison of heading angles of planned trajectories with obstacles

圖7 有障礙情況下控制量的對(duì)比Fig.7 Comparison of control quantities with obstacles

表1 航跡規(guī)劃算法指標(biāo)結(jié)果對(duì)比Table 1 Trajectory planning algorithm indexes

圖8 目標(biāo)函數(shù)值隨迭代次數(shù)的變化曲線Fig.8 Curves of objective function with number of iterations

5 結(jié) 論

本文提出了一種基于梯度下降法的航跡規(guī)劃算法，提出的算法綜合了傳統(tǒng)分段法和最優(yōu)控制法的優(yōu)點(diǎn)，規(guī)劃的航跡綜合考慮了著陸精度高、控制能量小、逆風(fēng)著陸、避障等最優(yōu)目標(biāo)；同時(shí)規(guī)劃航跡由簡(jiǎn)單的分段航跡組成，使得控制操作較為簡(jiǎn)單；此外，在整個(gè)飛行過程中翼傘控制量的值都比較小，控制量不需要像分段歸航法那樣忽大忽小的變化，也不需要像最優(yōu)控制偽譜法那樣連續(xù)變化，因此在提供較大控制量冗余的同時(shí)，簡(jiǎn)化了控制操作。本文算法為翼傘系統(tǒng)航跡規(guī)劃研究提供了新的思路。