圓錐曲線問題求解中的數(shù)學(xué)思想探究

劉波 陸萬順

【摘要】高中數(shù)學(xué)在圓錐曲線部分要求學(xué)生能夠建構(gòu)高中數(shù)學(xué)思想并對(duì)其理解.高考對(duì)于圓錐曲線考查的內(nèi)容和形式不斷地變化，而對(duì)其中數(shù)學(xué)思想的考查相對(duì)穩(wěn)定.從人教版教材例題和歷年高考真題可以看出，探究數(shù)形結(jié)合思想、方程與函數(shù)思想、數(shù)學(xué)建模思想在解決圓錐曲線問題時(shí)都起到重要作用.

【關(guān)鍵詞】探究 數(shù)學(xué)思想 圓錐曲線

【中圖分類號(hào)】O 343.7 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A

一、問題提出

高考數(shù)學(xué)總分為150分，數(shù)學(xué)成績(jī)的高低決定了學(xué)生角逐高考的成敗.數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，數(shù)學(xué)習(xí)題的訓(xùn)練是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種有效途徑.高考對(duì)于數(shù)學(xué)的考查形式千變?nèi)f化，對(duì)于高中數(shù)學(xué)蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想的考查相對(duì)穩(wěn)定.高中數(shù)學(xué)思想主要包括函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與討論思想、劃歸與轉(zhuǎn)化思想、有限與無限思想.學(xué)生在習(xí)題訓(xùn)練的過程中能夠加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念定義的理解，提高解題的思路技巧.

教師需要引導(dǎo)學(xué)生注重對(duì)習(xí)題蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想深度掌握.提高數(shù)學(xué)能力的本質(zhì)體現(xiàn)在對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的建構(gòu).

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)包括基礎(chǔ)性知識(shí)的掌握以及數(shù)學(xué)思維的建構(gòu)，習(xí)題訓(xùn)練是高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要過程.教師需要指導(dǎo)學(xué)生充分挖掘習(xí)題的內(nèi)在價(jià)值，對(duì)知識(shí)進(jìn)行再認(rèn)知，提高學(xué)生的解題效率，鍛煉學(xué)生良好的解題習(xí)慣.

要想提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力， 需要教師引導(dǎo)學(xué)生在解題時(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)思想的建構(gòu)，實(shí)現(xiàn)有效學(xué)習(xí)，學(xué)生通過對(duì)習(xí)題的再思考使得數(shù)學(xué)思維發(fā)生轉(zhuǎn)變.

二、圓錐曲線的考查分析

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，具有知識(shí)點(diǎn)多，抽象化程度高，綜合性強(qiáng)的特點(diǎn).考查的內(nèi)容涵蓋了圓錐曲線的定義、概念、離心率、曲線位置關(guān)系等.

圓錐曲線的考查的形式包括選擇題、填空題、解答題.圓錐曲線在教材上連接著必修與選修課程，要求學(xué)生能夠了解圓錐曲線的實(shí)際背景，熟悉圓錐曲線的數(shù)學(xué)模型，掌握?qǐng)A錐曲線的定義、方程、幾何圖形，能夠運(yùn)用圓錐曲線解決數(shù)學(xué)問題，領(lǐng)悟圓錐曲線中的數(shù)學(xué)思想.圓錐曲線問題要求學(xué)生具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)、技能，準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，一定的運(yùn)算技巧，能夠使用數(shù)學(xué)語言理解和刻畫客觀世界，能夠理會(huì)數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力，綜合提高自身數(shù)學(xué)能力.數(shù)學(xué)能力的提高需要一定的習(xí)題訓(xùn)練，針對(duì)圓錐曲線繁、雜、難的特點(diǎn)，教師講解圓錐曲線習(xí)題時(shí)應(yīng)當(dāng)側(cè)重于題目?jī)?nèi)在的數(shù)學(xué)思想方法，利用習(xí)題訓(xùn)練構(gòu)建學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維能力，從本質(zhì)上提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力.圓錐曲線問題的求解主要訓(xùn)練了高中數(shù)學(xué)六大數(shù)學(xué)思想中的：數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)與方程思想，數(shù)學(xué)建模思想.

三、圓錐曲線思想考查分析

（一）數(shù)形結(jié)合思想的考查

數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，華羅庚教授概括到：“數(shù)無形，少直觀;形無數(shù)，難入微.” “數(shù)”與“形”是圓錐曲線問題主要的表現(xiàn)形式，“數(shù)”是使用代數(shù)語言精確地描述圓錐曲線，“形”是用幾何圖形刻畫圓錐曲線.通過“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化，能夠使圓錐曲線問題簡(jiǎn)單化、直觀化，拓寬解題思路，找到有效的求解方式.

1.由“數(shù)”到“形”

題干中使用代數(shù)語言刻畫圓錐曲線，分析圓錐曲線的幾何特征，將抽象的代數(shù)問題轉(zhuǎn)換為幾何問題，能夠給人帶來直觀的思考，將抽象的數(shù)量關(guān)系用具體的圖形特征表示能夠打開思維，找到解題途徑.

數(shù)學(xué)思想分析：題目使用代數(shù)語言描述圓錐曲線的數(shù)量關(guān)系，將數(shù)量關(guān)系用幾何圖形進(jìn)行描述，將代數(shù)關(guān)系的求解轉(zhuǎn)換為幾何圖形中幾何距離的求解.

2.由“形”到“數(shù)”

題干中使用幾何語言刻畫圓錐曲線，分析圓錐曲線的代數(shù)關(guān)系，將具體的幾何圖形轉(zhuǎn)換為代數(shù)式，通過代數(shù)計(jì)算找到圓錐曲線的數(shù)量關(guān)系.代數(shù)語言能夠深刻地體現(xiàn)幾何圖形中量與量?jī)?nèi)在的聯(lián)系.便于計(jì)算及進(jìn)行求解.

該題的求解中，通過對(duì)題干幾何圖形的觀察，用代數(shù)語言描述圓錐曲線，找到等量關(guān)系式，通過代數(shù)計(jì)算得到離心率.對(duì)學(xué)生關(guān)于離心率定義以及橢圓當(dāng)中的數(shù)量關(guān)系的掌握提出了要求，考查學(xué)生從“形”到“數(shù)”進(jìn)行轉(zhuǎn)換的能力.

（二）“函數(shù)與方程”思想的考查

數(shù)學(xué)思想分析：用函數(shù)與方程思想來求解圓錐曲線問題，可以設(shè)出圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，將題干當(dāng)中的數(shù)量關(guān)系用代數(shù)式進(jìn)行表達(dá)，得到等量關(guān)系，最終列出方程求解問題.

該題的求解中，將圓錐曲線轉(zhuǎn)化為方程問題，使用已知條件得到關(guān)于離心率的方程式.對(duì)學(xué)生用代數(shù)方程表示圓錐曲線等量關(guān)系提出了要求，考查了學(xué)生代數(shù)運(yùn)算的能力，能夠使得學(xué)生理解函數(shù)與方程思想在求解圓錐曲線問題中的應(yīng)用.

（三）數(shù)學(xué)模型法

數(shù)學(xué)模型是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行抽象概括，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的數(shù)學(xué)思維.因此，在解決特定數(shù)學(xué)問題時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，建立圓錐曲線模型求解問題，體會(huì)和理解數(shù)學(xué)是與外部世界聯(lián)系的基本途徑.

（2015陜西卷） 如圖3，橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導(dǎo)致水渠截面呈拋物線形（虛線），則原始最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為多少？

數(shù)學(xué)思想分析：對(duì)于題干描述的現(xiàn)實(shí)問題，結(jié)合圖像進(jìn)行分析后可以得到是關(guān)于圓錐曲線應(yīng)用的問題.原始最大流量和當(dāng)前最大流量可以理解為橫截面的面積大小.利用圓錐曲線模型可以發(fā)現(xiàn)求解時(shí)可以借助定積分這一有力的數(shù)學(xué)工具.

隨著數(shù)學(xué)新課程改革的推進(jìn)，數(shù)學(xué)建模思想的考查力度得到加強(qiáng)，在課堂教學(xué)和習(xí)題練習(xí)中，教師要培養(yǎng)學(xué)生將現(xiàn)實(shí)問題用數(shù)學(xué)相關(guān)模型進(jìn)行理解，將所學(xué)知識(shí)點(diǎn)與生活實(shí)際相結(jié)合，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想的構(gòu)建和成熟.在本題當(dāng)中，將泥沙沉積問題理解為圓錐曲線的面積問題，最后借助定積分得到答案，體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)建模思想的重視.

四、結(jié)論與建議

習(xí)題訓(xùn)練是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種途徑，如果學(xué)生只是盲目地做題而不去深入體會(huì)題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，這樣的訓(xùn)練往往事倍功半.高考中關(guān)于圓錐曲線不僅考查學(xué)生對(duì)于基本知識(shí)概念的掌握程度，更側(cè)重于考查學(xué)生在圓錐曲線問題求解中反映出來的數(shù)學(xué)思維能力.包括：數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)學(xué)建模思想.教師在指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)習(xí)題的訓(xùn)練過程中，不僅要注重知識(shí)方面上“量”的積累，更要啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生思維能力上“質(zhì)”的飛躍.教師要通過數(shù)學(xué)習(xí)題引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)思維能力，達(dá)到事半功倍的效果.

數(shù)形結(jié)合思想要求學(xué)生能夠?qū)缀握Z言與代數(shù)語言相互轉(zhuǎn)化.教師對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想的建構(gòu)建立在數(shù)學(xué)習(xí)題的訓(xùn)練上，通過具體的圓錐曲線圖形，在幾何直觀的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生如何使用代數(shù)語言進(jìn)行表征，使得學(xué)生領(lǐng)悟圓錐曲線中“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)變.在知識(shí)的總結(jié)與回顧中，從抽象的代數(shù)式入手，提高學(xué)生從代數(shù)語言到幾何語言的轉(zhuǎn)換能力，培養(yǎng)學(xué)生從“數(shù)”到“形”的能力.函數(shù)與方程思想的建構(gòu)體現(xiàn)了學(xué)生將所學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)相互聯(lián)系的能力.教師應(yīng)該將必修、選修部分的知識(shí)框架進(jìn)行整理，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到圓錐曲線問題本質(zhì)上屬于一類曲線方程問題，對(duì)圓錐曲線問題的處理等價(jià)于對(duì)特殊方程的求解問題，培養(yǎng)學(xué)生使用函數(shù)與方程思想去思考問題的能力.

不同數(shù)學(xué)思維能力在求解圓錐曲線問題當(dāng)中的難易程度有所區(qū)別，函數(shù)與方程思想更加側(cè)重于對(duì)于一般情況的問題分析，要求學(xué)生具備較高代數(shù)運(yùn)算的能力與技巧，以及對(duì)代數(shù)語言的熟練使用.相比較數(shù)形結(jié)合思想在圓錐曲線求解中的應(yīng)用，函數(shù)與方程思想應(yīng)該放在第二位.數(shù)形結(jié)合思想是溝通幾何與代數(shù)，抽象與具體之間的橋梁，降低題目的復(fù)雜程度與抽象程度，因此在教學(xué)當(dāng)中教師要著重對(duì)圓錐曲線的幾何意義，以及幾何概念的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生通過幾何圖形揭示圓錐曲線數(shù)量關(guān)系的能力，以及將抽象數(shù)量關(guān)系通過幾何直觀表示的能力.

數(shù)學(xué)建模思想考查學(xué)生能否從具體的現(xiàn)實(shí)問題當(dāng)中抽象概況出數(shù)學(xué)問題的能力，能否使用數(shù)學(xué)去解決現(xiàn)實(shí)世界當(dāng)中的實(shí)際問題.在日常教學(xué)當(dāng)中，教師應(yīng)該側(cè)重?cái)?shù)學(xué)建模思維能力的培養(yǎng)，總結(jié)客觀世界當(dāng)中的經(jīng)典數(shù)學(xué)問題，提高學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用到具體生活當(dāng)中的數(shù)學(xué)思維能力.

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