彭文 許栩
摘要:本文圍繞歐式看漲期權(quán)定價模型的有限差分法展開研究討論。通過變量代換把Black-Scholes方程轉(zhuǎn)化為拋物型偏微分方程,選擇顯式和隱式兩種主要格式進(jìn)行討論。利用建立網(wǎng)格、離散化變量、從低時間層開始的逐次運算,不斷求出下一層的網(wǎng)格點數(shù)值。同時,得出在網(wǎng)格比滿足一定條件下,差分格式數(shù)值結(jié)果滿足穩(wěn)定性的結(jié)論。最后以行權(quán)時間分別在2020年4月、5月的華夏上證50ETF認(rèn)購期權(quán)開盤價作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù),進(jìn)行期權(quán)定價的有限差分方法數(shù)值算例,得到有限差分格式比經(jīng)典Black-Scholes模型的定價結(jié)果更準(zhǔn)確、更符合現(xiàn)實生活中金融市場價格的結(jié)論。
關(guān)鍵詞:歐式看漲期權(quán)定價 ?有限差分方法 ?Black-Scholes方程
一、引言
期權(quán)作為一種基礎(chǔ)金融工具,具有規(guī)避風(fēng)險、價格發(fā)現(xiàn)和風(fēng)險投資等功能,在金融市場及金融交易中扮演著重要角色。在期權(quán)市場中,期權(quán)定價是一切交易的基礎(chǔ),沒有合理的定價方法,便不能進(jìn)行高效快速地交易結(jié)算。1973年,經(jīng)典布萊克-斯科爾斯方程的提出打開了期權(quán)定價的大門,之后學(xué)者們圍繞其方程的缺陷對微分方程進(jìn)行創(chuàng)新,研究其穩(wěn)定性等性質(zhì),更積極地將理論模型應(yīng)用到實際金融產(chǎn)品的定價以及模型檢驗。2015年2月,證監(jiān)會準(zhǔn)許上證50ETF期權(quán)進(jìn)入場內(nèi)交易,其具有規(guī)模大、流動性好、跟蹤誤差相對較小等特點,是中國優(yōu)質(zhì)資產(chǎn)的代表。上證50ETF至今已穩(wěn)定運行了1800多天,解決了中國長期價值投資的難題。ETF期權(quán)是標(biāo)準(zhǔn)化的期權(quán)合約,標(biāo)的物是交易型開放式指數(shù)基金(ETF)。上證50ETF有認(rèn)購和認(rèn)沽兩種期權(quán),合約單位10000份,到期日分別是當(dāng)月、下月和之后的兩個季月。本文通過有限差分方法,對上證50ETF的定價進(jìn)行了研究。
二、Black-Scholes模型方程的轉(zhuǎn)化
期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)是股票,且假設(shè)股票價格的變動是離散的,標(biāo)的資產(chǎn)的價格(或標(biāo)的資產(chǎn)指數(shù))在真實市場中,若忽略開市之后的股票價格跳躍,其幾乎不太可能隨時間一起波動,甚至可以認(rèn)為它是連續(xù)的。20世紀(jì)70年代,布萊克(Fisher Black)、斯科爾斯(Myron Scholes)和默頓(Robert Merton)[1]推導(dǎo)出標(biāo)的物為連續(xù)變化情況下的期權(quán)定價模型,該公式為Black-Scholes模型,是金融經(jīng)濟學(xué)中的經(jīng)典模型之一。為了表彰他們在該領(lǐng)域做出的貢獻(xiàn),Scholes和Merton于1997年被授予諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。遺憾的是Black在在評獎的兩年前去世,否則他也理應(yīng)一起獲得此殊榮。Black-Scholes模型成立的前提有如下幾條:
(一)推導(dǎo)過程采用方法為連續(xù)復(fù)利;
(二)投資者可以隨意以無風(fēng)險利率借貸;
(三)不存在無風(fēng)險套利契機;
(四)可以任意買多和賣空無限制數(shù)額的標(biāo)的資產(chǎn);
(五)交易無摩擦成本;
(六)金融基礎(chǔ)資產(chǎn)價格變化遵守幾何布朗運動,其帶有固定漂移率和波動率都是固定的;
(七)股票不付息;
在靜態(tài)情況下,Black等人推導(dǎo)出了歐式期權(quán)的定價公式,分別為:
歐式看漲期權(quán)當(dāng)前價格:
歐式看跌期權(quán)當(dāng)前價格:
其中,,S0是標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)前價格,K為期權(quán)行權(quán)價格,r為年無風(fēng)險利率,σ是標(biāo)的資產(chǎn)價格年波動率,T為到期時間,N(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積概率分布函數(shù)。通常帶入x的數(shù)值后通過查表或在Excel中運用NORMSDIST命令計算獲得,C0和P0則分別是經(jīng)Black-Scholes模型計算得到的歐式看漲和歐式看跌期權(quán)的當(dāng)前理論價格。
Black-Scholes微分方程是一個較為復(fù)雜的變系數(shù)微分方程,我們難以直接求解,需要通過巧妙的變量代換把它轉(zhuǎn)化為較簡單的拋物型方程。
(二)差分格式穩(wěn)定性討論
筆者將對差分格式的穩(wěn)定性問題展開討論。使用有限差分格式進(jìn)行運算時,計算步驟是依據(jù)時間層漸次推展的。比如,利用第m層上計算出來的數(shù)值vmn,我們可以進(jìn)而對第m+1層上的vnm+1進(jìn)行計算。所以,在求出vmn時的舍入誤差(m=0的時也有這種情況,但這時的誤差是由于初始數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確導(dǎo)致的),勢必對vnm+1的計算結(jié)果有所影響。故此,需要剖析誤差擴散的情形。我們嘗試控制誤差的影響不至于逐漸變大,甚至改變了有限差分格式精確解的準(zhǔn)確性,以此為目的展開穩(wěn)定性問題的討論。假如誤差的影響逐漸變大,甚至差分格式的精確解完全被覆蓋,筆者稱這種差分格式是不穩(wěn)定的;反之亦然,假如我們可以人為消除誤差的影響,差分格式的解大體上都能計算得出,便可以稱這種差分格式是穩(wěn)定的差分格式。簡而言之,討論差分格式的穩(wěn)定性即指在實際運算當(dāng)中,是否可以使近似解逼近差分方程的精確解。
討論差分格式的穩(wěn)定性即指在實際運算當(dāng)中,是否可以使近似解逼近差分方程的精確解。
借助MATLAB統(tǒng)計軟件中的blsprice函數(shù)求得Black-Scholes模型歐式看漲期權(quán)理論價格,使用自編腳本程序通過有限差分方法對歐式看漲期權(quán)進(jìn)行定價。由wind金融資訊終端獲得4月20日上證50ETF期權(quán)的真實市場價格。
五、結(jié) ?論
本文主要對有限差分格式的穩(wěn)定性和收斂性展開了研究和討論,同時也使用有限差分格式和Black-Scholes期權(quán)定價模型,對上證50ETF期權(quán)進(jìn)行了定價對比,總結(jié)出以下結(jié)論:
通過對經(jīng)典Black-Scholes期權(quán)定價方程的求解區(qū)間進(jìn)行離散化的網(wǎng)格劃分,推導(dǎo)出對應(yīng)的有限差分方程和計算方式。對穩(wěn)定性和收斂性展開討論,得出在網(wǎng)格比α滿足一定情況下,數(shù)值結(jié)果滿足穩(wěn)定性的結(jié)論。本文通過實證研究進(jìn)行數(shù)值實驗,比較了兩種不同定價方法的數(shù)值解,即有限差分格式和Black-Scholes期權(quán)定價方程,并與實際市場價格進(jìn)行了比較,證實了有限差分方法具有穩(wěn)定性和收斂性且比經(jīng)典B-S模型定價結(jié)果更準(zhǔn)確。
參考文獻(xiàn):
[1]Black,F(xiàn).and Scholes,M.(1973)The Pricing of Options and Corporate Liabilities.The Journal of Political Economy,81,637-654.
[2]李倩,鄭潔.歐式看漲期權(quán)定價中差分格式的穩(wěn)定性分析[J].哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報,2013,29(03):21-25.
[3]康穎.歐氏看漲期權(quán)定價的有限差分?jǐn)?shù)值解法[D].上海大學(xué),2015.
基金項目:由中央高?;究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金資助(項目批準(zhǔn)號:2652018054)。
作者單位:中國地質(zhì)大學(xué)(北京)