“非有理真分式”情況下拉普拉斯逆變換方法探究*

曹麗娟 陳中政 張黎紅

(東莞理工學(xué)院城市學(xué)院,廣東東莞 523419)

0 引言

信號(hào)與系統(tǒng)是大學(xué)本科理工科專業(yè)的一門(mén)重要技術(shù)基礎(chǔ)理論課程,在各個(gè)高校的電子信息科學(xué)與技術(shù)、電子信息工程、自動(dòng)控制、機(jī)電一體化、電氣工程及其自動(dòng)化等專業(yè)中,該課程的應(yīng)用較為廣泛,每年有數(shù)以萬(wàn)計(jì)的學(xué)生學(xué)習(xí)該門(mén)課程。此課程主要講解傅里葉變換、拉普拉斯變換和Z變換這三大經(jīng)典變換的相關(guān)知識(shí),其中,拉普拉斯變換對(duì)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性起著非常重要的作用。筆者針對(duì)非有理真分式情況下,求解拉普拉斯逆變換的方法,查閱國(guó)內(nèi)外經(jīng)典教材和文獻(xiàn),發(fā)現(xiàn)基本都是提出先利用多項(xiàng)式長(zhǎng)除法,將非有理真分式化成有理真分式后,再進(jìn)行部分分式展開(kāi)法求解。而利用多項(xiàng)式長(zhǎng)除法將非有理真分式化成有理真分式的計(jì)算量不小,因此這種傳統(tǒng)的方法解題顯得比較繁瑣。本文介紹的方法可省略“多項(xiàng)式長(zhǎng)除法將非有理式真分式化成有理真分式”的環(huán)節(jié),直接進(jìn)行部分分式展開(kāi)法求解逆變換,該方法快捷有效,具有一定的推廣價(jià)值。

1 問(wèn)題提出

1.1 傳統(tǒng)解法

吳大正[1]主編的“信號(hào)與線性系統(tǒng)分析(第四版)”的232頁(yè),和鄭君里[2]主編的“信號(hào)與系統(tǒng)(第三版)”上冊(cè)的203頁(yè)中,都有這樣的描述:如果象函數(shù)F(s)是s的實(shí)系數(shù)有理分式,可寫(xiě)為:

若m≥n(非有理真分式),可用多項(xiàng)式長(zhǎng)除法將象函數(shù)F(s)分解為有理多項(xiàng)式P(s)與有理真分式之和,即F(s)

其中,吳大正主編的“信號(hào)與線性系統(tǒng)分析(第四版)”的232頁(yè)中,還舉了一個(gè)例子:

同時(shí),教材也以n≥m(有理真分式)為例,詳細(xì)講解了如何根據(jù)極點(diǎn)的不同情況,利用部分分式展開(kāi)法,來(lái)求解其拉普拉斯逆變換的過(guò)程。

接下來(lái)筆者將以上面所列的教材中的非有理真分式“式1”為例,根據(jù)教材給出的傳統(tǒng)方法進(jìn)行求解:

顯然,可以看出屬于單一極點(diǎn)情況,故可利用部分分式展開(kāi)法變形為:

其中,常數(shù)K1、K2、K3分別為:

最后利用常見(jiàn)拉普拉斯變換對(duì)公式,即可求出象函數(shù)F(s)對(duì)應(yīng)的原函數(shù)f(t)的表達(dá)式。

以上是非有理真分式情況下,傳統(tǒng)方法的分析過(guò)程,即:先利用多項(xiàng)式長(zhǎng)除法將非有理真分式化成有理真分式,然后再進(jìn)行部分分式展開(kāi)法求解。

1.2 本文解法

接下來(lái)用本文推薦的方法同樣求解該題,分析過(guò)程如下[3-4]:

非有理真分式“式1”中的:

注意,這里根本不涉及“傳統(tǒng)的長(zhǎng)除法”,也更不需要利用“傳統(tǒng)的長(zhǎng)除法”去得到B(s)是具體的多少,所以,此處便可以節(jié)約長(zhǎng)除法計(jì)算B(s)的大量時(shí)間,避免“因計(jì)算量大,而造成的出錯(cuò)概率上升”的問(wèn)題。

當(dāng)然,為看出其極點(diǎn)分布情況,可將上式5變形為下式(6):

顯然,可以看出屬于單一極點(diǎn)情況,故可利用部分分式展開(kāi)法變形為:

其中,這里的待定系數(shù)T1、T2、T3,可用下面公式求出:

最終也可得到:

顯然,與傳統(tǒng)方法得到結(jié)果相同。但是,對(duì)比兩種方法,可以明顯發(fā)現(xiàn),區(qū)別主要表現(xiàn)在兩個(gè)地方:(1)將非有理真分式“式1”變成“式5”,不用利用長(zhǎng)除法去運(yùn)算,僅通過(guò)比較“分母中高于分子的s最高次項(xiàng)”的次數(shù)和系數(shù)即可,從而降低因長(zhǎng)除法計(jì)算量大造成的出錯(cuò)可能。(2)同樣用“待定系數(shù)法”求解時(shí),“式4”中求K1、K2、K3,依賴于“式2”的長(zhǎng)除法結(jié)果;而在“式7”中用待定系數(shù)法求T1、T2、T3,直接代入的是已知的F(s),完全避開(kāi)了“長(zhǎng)除法”。

2 原理證明

本文所提出的方法和傳統(tǒng)教材上介紹的方法的本質(zhì)區(qū)別在于:本文所提出的新方法可省掉“利用多項(xiàng)式長(zhǎng)除法將非有理真分式化成有理真分式”的環(huán)節(jié),直接利用部分分式展開(kāi)法。該方法能成立的原理證明如下:

因?yàn)?當(dāng)m≥n(非有理真分式),用多項(xiàng)式長(zhǎng)除法將象函數(shù)F(s)分解為有理多項(xiàng)式P(s)與有理真分式之和,即

當(dāng)用“待定系數(shù)法”求解時(shí),無(wú)論“式4”中求K1、K2、K3,還是“式7”中用待定系數(shù)法求T1、T2、T3,代入的值都是極點(diǎn),即令A(yù)(s)=0的s值。

3 總結(jié)

本文通過(guò)分析“非有理真分式情況下,求解拉普拉斯逆變換的方法”,查閱國(guó)內(nèi)外經(jīng)典教材及文獻(xiàn),發(fā)現(xiàn)基本都是提出先利用多項(xiàng)式長(zhǎng)除法,將非有理真分式化成有理真分式后,再進(jìn)行部分分式展開(kāi)法求解。而利用多項(xiàng)式長(zhǎng)除法將非有理真分式化成有理真分式的計(jì)算量不小,考慮到該傳統(tǒng)方法解題比較繁瑣,本文提出一種的新方法可省略“多項(xiàng)式長(zhǎng)除法將非有理式真分化成有理真分式”的環(huán)節(jié),直接進(jìn)行部分分式展開(kāi)法求解逆變換,事實(shí)證明該新方法快捷有效,具有很好的推廣價(jià)值。特別說(shuō)明,本文對(duì)比新舊兩種方法時(shí),選用的是教材中的實(shí)例,極點(diǎn)屬于單根情況,對(duì)于“共軛復(fù)根、重根”的情形也適用,本文不在羅列,有興趣者,可自行驗(yàn)證,本質(zhì)原理都是一樣的。