水聲環(huán)境UWA信道散射模型參數(shù)仿真分析

周文軒，周 杰，2，劉少云，英 文

1.南京信息工程大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，南京210044

2.日本國(guó)立新瀉大學(xué) 工學(xué)部 電氣電子工學(xué)科，新瀉950-2181

1 引言

水聲（Underwater Acoustic，UWA）通信系統(tǒng)在20世紀(jì)主要被應(yīng)用于軍事領(lǐng)域[1]，而目前UWA通信技術(shù)在海洋信息數(shù)據(jù)采集、環(huán)境監(jiān)測(cè)[2]、沿海石油勘探以及水下機(jī)器人控制等諸多領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用。然而，由于激光和電磁波水下傳播具有高損耗率，因而一般采用聲波來(lái)傳遞信息。根據(jù)射線理論，假設(shè)聲波在水中的傳播方式與光線的能量相似，沿著直線傳播，聲波傳播速度為一常量。在UWA通信系統(tǒng)中，Rx處的接收信號(hào)可以通過(guò)多徑分量（Multipath Components，MPC）的總和來(lái)建模，其中每個(gè)MPC 以不同的時(shí)間延遲從不同的方向到達(dá)。由于UWA 信道是一種復(fù)雜的時(shí)空頻變信道[3]，每個(gè)MPC都有獨(dú)特的時(shí)空差異，這不僅直接影響信道特性，還影響接收機(jī)的決策。例如，由接收端Rx 的移動(dòng)性引起的多普勒效應(yīng)取決于AOA。類似地，在寬帶UWA通信系統(tǒng)中，TOA 的分布在整個(gè)系統(tǒng)的時(shí)延分析中起著至關(guān)重要的作用。因此，缺乏TOA、AOA 和AOD 的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)會(huì)導(dǎo)致UWA 信道模型的不準(zhǔn)確，與實(shí)際系統(tǒng)性能研究的目標(biāo)相矛盾。

TOA、AOA 和AOD 的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)主要取決于兩個(gè)因素。一個(gè)是傳播區(qū)域的幾何形狀;另一個(gè)是傳播區(qū)域內(nèi)局部散射體的分布。設(shè)計(jì)合適的UWA 通信系統(tǒng)，信道模型不可或缺。已有研究人員針對(duì)UWA通信系統(tǒng)提出了建立幾何散射模型的假設(shè)。幾何假設(shè)包括Tx、Rx 的位置以及散射區(qū)域的形狀。其中，典型的散射區(qū)域主要由環(huán)形、圓盤和橢圓形建模。在文獻(xiàn)[4-5]中，研究了一種環(huán)形模型，其中局部散射體分布在以Rx 為中心的薄環(huán)上。文獻(xiàn)[6]對(duì)空心圓盤模型的TOA 和AOA 的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了研究，其中散射體位于空心圓盤內(nèi)。在文獻(xiàn)[7-8]中提出了另一種幾何模型，其中散射體分布在以Rx 為中心的整個(gè)圓盤內(nèi)。文獻(xiàn)[8-10]研究了橢圓模型中的散射體情況。最后，在文獻(xiàn)[11]中引入了豎直矩形散射區(qū)域，并對(duì)其信道的各項(xiàng)理論參數(shù)進(jìn)行了分析。

另一方面，需要考慮所選水底幾何模型內(nèi)局部散射體的分布。由于均勻分布的簡(jiǎn)單性，以前的大多數(shù)研究都假設(shè)局部散射體均勻分布在散射區(qū)域[6，8，11-12]。然而，對(duì)于更現(xiàn)實(shí)的情況，局部散射體通常以高斯分布的方式分布在以Rx 為中心的圓盤中，在文獻(xiàn)[12-14]中可以找到TOA和AOA統(tǒng)計(jì)的一些研究。然而，由于高斯分布的復(fù)雜性，所獲得的結(jié)果主要以積分表達(dá)式或近似解的形式呈現(xiàn)。

考慮到上述兩個(gè)關(guān)鍵因素，本文對(duì)基于水底幾何圓盤UWA 信道散射模型的TOA、AOA 和AOD 統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了研究，其中局部散射體隨機(jī)分布在以Rx 為中心的圓盤上。所提出的圓盤UWA信道模型的新穎性在于假設(shè)散射體均勻分布在極坐標(biāo)中而不是在笛卡爾坐標(biāo)中。根據(jù)所提出圓盤模型，其中局部散射體在極坐標(biāo)中聯(lián)合均勻分布，可以觀察到圓盤中心周圍的散射體密度較高，而遠(yuǎn)離中心點(diǎn)的散射體密度較低。事實(shí)上，通過(guò)在極坐標(biāo)中采用聯(lián)合均勻分布，可以避免高斯PDF所帶來(lái)的高度數(shù)學(xué)復(fù)雜性，但卻沒(méi)有忽略文獻(xiàn)[14]中強(qiáng)調(diào)的高斯分布的有利特性。此外，假設(shè)從Tx發(fā)射的UWA波經(jīng)過(guò)圓盤內(nèi)部的局部散射體發(fā)生單次反射之后到達(dá)Rx。基于上述因素，本文推導(dǎo)了圓盤UWA信道散射模型的傳播統(tǒng)計(jì)特征，并解決了此前文獻(xiàn)中關(guān)于類似模型由于高斯復(fù)雜性而僅僅獲得積分形式解或近似解的情況，取得了更簡(jiǎn)單但精確的表達(dá)式。

2 系統(tǒng)模型

水底幾何圓盤UWA信道散射模型如圖1所示。假設(shè)Tx 與Rx 位于同一二維（2D）水底平面環(huán)境上，其中Tx處于非散射區(qū)域，旨在將UWA波發(fā)送到處于富散射區(qū)域的Rx。假設(shè)Tx和Rx之間的距離為L(zhǎng),θT、θR分別表示AOD和AOA。此外，假設(shè)局部散射體隨機(jī)且獨(dú)立地分布在以Rx 為中心，以R為半徑的圓盤內(nèi)，且距離Rx越遠(yuǎn)越稀疏。每個(gè)散射體的位置可以用極坐標(biāo)(r,θR)表示，其中r表示散射體與Rx 的距離。假設(shè)圓盤內(nèi)的每個(gè)散射體均全向散射，其反射系數(shù)都相同且散射體間互不影響。由于具有較高的路徑損耗，因此忽略了來(lái)自圓盤以外散射體的影響，并假設(shè)從Tx發(fā)射的UWA波經(jīng)過(guò)位于圓盤內(nèi)隨機(jī)分布的散射體單次反射之后到達(dá)Rx。最后，假設(shè)Tx 和Rx 都配備了全向天線，這樣在計(jì)算UWA 波的空時(shí)信道參數(shù)時(shí)，就可以避免由于天線方向圖變化而導(dǎo)致的散射體區(qū)域的變化。

圖1 水底單反射幾何圓盤UWA信道散射模型

如上所述，假設(shè)局部散射體隨機(jī)且獨(dú)立地分布在以Rx 為中心，以為R半徑的圓盤內(nèi)。該隨機(jī)性通過(guò)聯(lián)合均勻PDF建模，并可以用以下極坐標(biāo)表示：

由上所述，公式（1）中的聯(lián)合均勻PDF 也可以用以下笛卡爾坐標(biāo)表示：

需要注意的是，公式（2）與下面公式（3）的笛卡爾坐標(biāo)中的均勻分布完全不同：

其中假設(shè)局部散射體在圓盤內(nèi)均勻分布，由此給出的水底圓盤UWA信道散射模型可由以下極坐標(biāo)表示：

在文獻(xiàn)[6，8，12]中，由公式（3）或（4）描述的圓盤散射模型的統(tǒng)計(jì)特征已被廣泛研究。然而，本文旨在分析水底環(huán)境的UWA 信道，且通過(guò)極坐標(biāo)中的聯(lián)合均勻PDF來(lái)描述局部散射體的分布，其已在公式（1）和（2）中給出。圖2 給出了本文所提出的隨機(jī)分布的局部散射體，其中半徑R=50 m 其通過(guò)使用公式（1）中的PDF 生成?？梢栽谠c(diǎn)附近即Rx位置處觀察到更高密度的局部散射體，且散射體的密度隨著與Rx 的距離也即r值的增加而減小，這更接近作為高斯分布的局部散射體的物理現(xiàn)實(shí)。這一現(xiàn)象得到以下事實(shí)的支持：在許多海底環(huán)境中，由海底植物和沙石等構(gòu)成的局部散射體在Rx周圍具有高密度，在較遠(yuǎn)距離處具有較低密度，或者也可以理解為近端散射體作用大于遠(yuǎn)端散射體。通過(guò)在極坐標(biāo)系中建立如公式（1）所示的聯(lián)合均勻分布PDF，對(duì)比在笛卡爾坐標(biāo)系中建立如公式（3）所示的聯(lián)合PDF，或是在文獻(xiàn)[13-15]中研究過(guò)的聯(lián)合高斯PDF，可以在生成的隨機(jī)UWA 信道模型的統(tǒng)計(jì)特征方面，顯著地降低問(wèn)題的復(fù)雜度。因?yàn)槿舨捎玫芽栕鴺?biāo)系對(duì)散射體建模，則散射體位置需要以坐標(biāo)( )x,y表示，對(duì)比在極坐標(biāo)系只需中引入一個(gè)變量r，在后續(xù)的統(tǒng)計(jì)特征推導(dǎo)過(guò)程中，會(huì)增加額外的計(jì)算復(fù)雜度。

圖2 水底圓盤內(nèi)局部散射體分布圖

3 水底圓盤UWA信道模型的統(tǒng)計(jì)特性

根據(jù)上述的水底UWA 信道參考模型，本章推導(dǎo)出其TOA 和AOA 的 聯(lián) 合PDF 以 及AOD 和AOA 的 聯(lián) 合PDF 的閉式表達(dá)式。此外，還計(jì)算了其TOA、AOA 和AOD的邊緣PDF。

3.1 TOA和AOA的聯(lián)合PDF

通過(guò)參考圖1 的UWA 信道模型，并且只考慮單次反射，UWA 波經(jīng)過(guò)散射體從Tx 傳播到Rx 的總路徑長(zhǎng)度為：

為了得到TOA 和AOA 的聯(lián)合PDF，引入函數(shù)τ'(r,θR)=Ls(r,θR)/cs及輔助函數(shù)S(r,θR)=θR[15]，其中τ'表示TOA，cs=1 500 m/s（等速環(huán)境）表示聲波在海水中的傳播速度[1]?？梢钥闯觯@些函數(shù)的根可由下式給出：

通過(guò)應(yīng)用隨機(jī)變量轉(zhuǎn)換的概念[16]，TOA 和AOA 的聯(lián)合PDF可以表示為：

將此表達(dá)式代入到公式（7）的聯(lián)合均勻PDF 中，可以得出TOA和AOA的聯(lián)合PDF，表示如下：

其中，[],θR∈[-π,π] 。符號(hào)和分別表示最小和最大TOA。根據(jù)圖1，當(dāng)散射體與Rx 具有最小距離時(shí)，TOA 為,即當(dāng)r→0,則。類似地，當(dāng)散射體與Tx相距最大距離時(shí)，即當(dāng)r→R且θR→0 時(shí)(L+2R)，取得最大TOA為。

3.2 AOD和AOA的聯(lián)合PDF

采用圖1中的幾何圓盤UWA信道散射模型并根據(jù)正弦定律，θT可以表示為：

通過(guò)再次使用隨機(jī)變量轉(zhuǎn)換的概念，可以得到以下AOD和AOA聯(lián)合PDF的表達(dá)式：

注意到 |J|-1可以很容易地被簡(jiǎn)化為| ?r/?θT|的形式，通過(guò)結(jié)合公式（1）中的聯(lián)合均勻PDF，θT和θR的聯(lián)合PDFpθT,θR(θT,θR)可以用以下的閉式表示：

3.3 TOA的邊緣PDF

根據(jù)公式（9）中的聯(lián)合PDFpτ',θR(τ',θR)，并對(duì)AOAθR進(jìn)行積分，可以得到TOAτ'的邊緣PDFpτ'(τ')，表示如下：

其中，DθR是在給定TOA情況下AOAθR的變化域。由于，并根據(jù)公式（5），可得：

顯然，公式（16）是關(guān)于r的單調(diào)遞增函數(shù)。這意味著對(duì)于給定的AOAθR的值，如果散射體位于圓盤模型的圓周上，則TOAτ'取得其最大值，用τ'R(θR) 表示，即：

實(shí)際上，對(duì)于給定的TOAτ'，和之間的區(qū)間給定了AOAθR的變化域DθR。該變化域也確定了公式（15）中的積分限制。

現(xiàn)在，通過(guò)公式（18）中給出的積分極限來(lái)求解公式（15）中給出的積分之后，TOAτ'的PDFpτ'( )τ'可以通過(guò)以下閉式表示：

3.4 AOA的邊緣PDF

根據(jù)公式（9）中的聯(lián)合PDFpτ',φR()，并對(duì)TOAτ'進(jìn)行積分，得到AOAθR的邊緣PDFpθR(θR)表示如下：

其中，Dτ'是在給定AOAθR情況下TOAτ'的變化域。對(duì)于給定的AOAθR的值，由公式（17）看出，TOAτ'從其最小值τ'min變化到τ'R( )θR。因此，通過(guò)求解公式（21）中的積分并考慮變化域Dτ'，可以得出均勻分布的AOAθR的PDFpθR(θR)，表示如下：

事實(shí)上，也可以直觀地期望由于Rx 周圍的局部散射體的圓對(duì)稱分布，AOA應(yīng)該在水底圓盤UWA信道散射模型中均勻地分布。

此外，為了得到邊緣PDFpθR(θR)，可以對(duì)公式（1）中的pr,θR(r,θR)的半徑r進(jìn)行積分。這樣可以直接得到公式（22）中的結(jié)果。

3.5 AOD的邊緣PDF

AODθT的邊緣PDFpθT(θT)可以通過(guò)對(duì)公式（13）給出的聯(lián)合PDFpθT,θR(θT,θR)中的AOAθR進(jìn)行積分得到。AODθT的邊緣PD) 表示如下：

其中，為了上述使表達(dá)式簡(jiǎn)單且僅與θT有關(guān)而引入的輔助函數(shù)G(θT)的表達(dá)式如下：

對(duì)于給定的AODθT值，DθR是AOAθR的變化域，通過(guò)求解公式（10）中的θR，可以方便地求出該變化域。此外，由于公式（10）中的θT(r,θR)是關(guān)于r的單調(diào)遞增函數(shù)，可以將r設(shè)為其最大值R。根據(jù)上述過(guò)程，公式（24）中積分的極限范圍從arcsin(ηsinθT)+θT到π-arcsin(ηsinθT)+θT，這也就是變化范圍LθR。

3.6 平均時(shí)延

通過(guò)考慮3.3 節(jié)TOA 的PDF 先驗(yàn)結(jié)果，可以推導(dǎo)出水底圓盤UWA 信道散射模型的平均時(shí)延及其時(shí)延擴(kuò)展。

其中，平均時(shí)延由TOAτ'的第一時(shí)刻定義，即：

根據(jù)公式（19）中的pτ'(τ')，對(duì)于所提出的水底圓盤UWA信道散射模型的平均時(shí)延，不存在閉式解。因此，可以利用數(shù)值積分技術(shù)來(lái)顯示平均時(shí)延的特征。

3.7 時(shí)延擴(kuò)展

由上述平均時(shí)延以及3.4 節(jié)的先驗(yàn)結(jié)果，則時(shí)延擴(kuò)展可由TOAτ'的第二中心矩的平方根定義，即：

表1 圓盤UWA信道參數(shù)定義及取值

其次，根據(jù)公式（19）中的pτ'(τ')，對(duì)于所提出的圓盤UWA信道散射模型的時(shí)延擴(kuò)展，不存在閉式的解。因此，再次利用數(shù)值積分技術(shù)來(lái)分析。

3.8 多普勒頻率PDF

通過(guò)使用在3.4節(jié)中求出的AOA的邊緣PDF，可以推導(dǎo)出多普勒頻率f的PDF。

在3.4 節(jié)中，通過(guò)兩種不同的方法證明了AOAθR遵循公式（22）中的均勻分布。在這種情況下，多普勒頻率f的PDFpf(f)可由Jakes分布給出[17]：

4 數(shù)值仿真結(jié)果與分析

本章是對(duì)前面所提出的統(tǒng)計(jì)特征的仿真分析。表1給出了該模型在水下傳輸場(chǎng)景中的信道參數(shù)定義及取值，若無(wú)特殊說(shuō)明，則默認(rèn)為表中的取值。

圖3 是根據(jù)公式（9），由MATLAB 軟件仿真得到參考模型UWA 信號(hào)的TOAτ'和AOAθR的聯(lián)合PDF 圖。可以看出，時(shí)延基本都分布在較短時(shí)間內(nèi)。此外，還可發(fā)現(xiàn)當(dāng)TOAτ'最小且AOAθR=±π 時(shí)，pτ',θR(τ',θR)取得最大值，這是因?yàn)閁WA沿著視距直達(dá)（Line of Sight，LoS）方向從Tx 傳播到Rx，且距離圓盤中心越近，散射體密度越大，這與預(yù)期結(jié)果相符合。

圖3 水底圓盤UWA信道模型TOA τ'和AOA θR的聯(lián)合PDF pτ',θR(τ',θR)

圖4 根據(jù)公式（13）仿真得到，它給出了θT和的θR的聯(lián)合PDF圖。由圖4可知，pθT,θR(θT,θR)在θT=0 且θR也處于零值附近時(shí)取得最大值。此外，只有在θT?θR≥0時(shí)，pθT,θR(θT,θR)才大于零。這是顯而易見(jiàn)的，因?yàn)橥ㄟ^(guò)選擇θT和θR的值使得θT?θR＜0 時(shí)，則不可能在如圖1所示的區(qū)域中找到散射體。

圖4 水底圓盤UWA信道模型AOD θT 和AOA θR的聯(lián)合PDF pθT,θR(θT,θR)

圖5 水底圓盤UWA信道模型的最大TOA τ'R(θR)與AOA θR 的關(guān)系

圖6給出了TOAτ'在不同的圓盤半徑R下對(duì)應(yīng)的邊緣PDFpτ'(τ')，其中假設(shè)Tx與Rx的距離L依然設(shè)為500 m，圓盤半徑R分別取25 m、50 m和75 m?？梢钥闯觯诮o定L值時(shí)，圓盤半徑R越小，TOAτ'的邊緣PDF 越大。對(duì)于所有給定的圓盤半徑R，TOAτ'的邊緣PDFpτ'(τ')在最小傳播時(shí)延τ'min附近具有高密度，在最大傳播時(shí)延τ'max( )L+2R附近具有低密度[6]，這符合期望。此外，從圖6 可以看出，TOAτ'遵循指數(shù)式分布，此分布通常被用在特定的信道模型中[18]，許多測(cè)量結(jié)果也證實(shí)了傳播時(shí)延的負(fù)指數(shù)特征[19]。然而，從文獻(xiàn)[6]中的圖5可以看出，通過(guò)使用公式（3）中的聯(lián)合PDF，TOA 的PDF 不能很好地遵循負(fù)指數(shù)函數(shù)。由此可知，通過(guò)極坐標(biāo)中的聯(lián)合均勻PDF對(duì)局部散射體的分布建模比笛卡爾坐標(biāo)中的聯(lián)合均勻PDF更好。

圖6 水底圓盤UWA信道模型TOA τ'的邊緣PDF pτ'(τ')

圖7 給出了不同的η=L/R對(duì)應(yīng)的AODθT的邊緣PDF)?？梢钥闯觯谠c(diǎn)即θT=0處取得高密度的AOD，而在靠近散射體圓盤的圓周處，即arcsinη-1時(shí)取得較低值?？紤]到笛卡爾坐標(biāo)系中局部散射體的非均勻分布，圖7所示的數(shù)值結(jié)果達(dá)到了預(yù)期結(jié)果。此外，還可以觀察到AODθT分布在-0.2 rad 到0.2 rad 之間，這是因?yàn)樵谠搱A盤模型中，圓盤的半徑R以及Tx與Rx之間的距離L是影響AODθT范圍的唯一因素，這一獨(dú)立性仿真結(jié)果也與預(yù)期結(jié)果相符合。

圖7 水底圓盤UWA信道模型AOD θT 的邊緣PDF pθT(θT)

圖8 給出了水底圓盤UWA 信道模型中，對(duì)于不同的從Tx 到Rx 的距離L與散射區(qū)域的半徑R對(duì)應(yīng)的平均時(shí)延。可以看出，平均時(shí)延隨著R和L值的增加而增加。此外，在圖8中，通過(guò)將從Tx到Rx距離L從400 m增加到500 m然后增加到600 m，平均時(shí)延增加恒定的偏移，這是因?yàn)榫嚯xL增加的從Tx到Rx的傳播時(shí)延恒定。

圖8 圓盤半徑R 對(duì)應(yīng)的平均時(shí)延

圖9 給出了對(duì)于不同的從Tx 到Rx 距離L，散射區(qū)域的半徑R對(duì)應(yīng)的平均時(shí)延?？梢钥闯觯S著R和L值的增加而增加。需要注意的是，正如圖9中標(biāo)記的三角形所示，受R值的影響比L更大。這一現(xiàn)象是由于R增加25 m與L增加100 m對(duì)該模型的影響相同，導(dǎo)致在這兩種情況下都增加了0.07 s。

圖9 圓盤半徑R 對(duì)應(yīng)的延遲擴(kuò)展

5 結(jié)論

本文研究了水下環(huán)境中水底平面上幾何圓盤UWA信道散射模型中的TOA、AOA和AOD的統(tǒng)計(jì)特征。假設(shè)水底局部散射體隨機(jī)分布在以Rx 為中心的圓盤中。本文新穎性在于為了表示局部散射體的分布，本文提出了極坐標(biāo)中的聯(lián)合均勻PDF，局部散射體以靠近Rx 的散射體密度更高，遠(yuǎn)離Rx的密度更低的方式分布，更符合實(shí)際的海底散射環(huán)境，且簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程。推導(dǎo)了TOA和AOA以及AOD和AOA的聯(lián)合PDF的閉式表達(dá)式。然后，計(jì)算了TOA、AOA 和AOD 的邊緣PDF。由仿真結(jié)果可知，TOA的PDF遵循負(fù)指數(shù)式函數(shù)分布，與文獻(xiàn)中的測(cè)量數(shù)據(jù)相符。此外，根據(jù)TOA的PDF，推導(dǎo)了水底幾何圓盤UWA信道散射模型的平均時(shí)延和時(shí)延擴(kuò)展。數(shù)值結(jié)果表明，增加恒定的從Tx 到Rx 的距離，平均時(shí)延經(jīng)歷恒定的偏移。此外，結(jié)果還表明，時(shí)延擴(kuò)展受到Rx周圍的散射區(qū)域半徑的影響比從Tx到Rx距離的影響更大，這都符合預(yù)期結(jié)果。最后，證實(shí)了AOA遵循均勻PDF，這也表示多普勒頻率遵循Jakes 分布。本文的分析結(jié)論對(duì)水下聲通信環(huán)境的性能評(píng)估具有重要意義，拓寬了高效水聲信道的研究，為水聲通信設(shè)計(jì)提供了幫助。