一類混雜系統(tǒng)的必要最優(yōu)性條件

李麗花

(上海電力大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 上海 200090)

混雜系統(tǒng)是指包含離散事件動(dòng)態(tài)系統(tǒng)和連續(xù)變量動(dòng)態(tài)系統(tǒng)且兩者相互作用的系統(tǒng)。這類系統(tǒng)在化學(xué)過(guò)程、自動(dòng)化系統(tǒng)和電力系統(tǒng)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。

近年來(lái),混雜系統(tǒng)的最優(yōu)控制引起了人們的廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)[1]利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃和粘性解理論得到了最優(yōu)切換的必要條件和充分條件。文獻(xiàn)[2-3]研究了混雜最優(yōu)控制問(wèn)題的數(shù)值算法。對(duì)于含有兩個(gè)切換子系統(tǒng)的混雜系統(tǒng),文獻(xiàn)[4]利用嵌入法,得到了原混雜控制問(wèn)題的必要最優(yōu)性條件和充分最優(yōu)性條件。其他有關(guān)混雜系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題,可參考文獻(xiàn)[5-10]。

文獻(xiàn)[5]利用變分原理得到了一類混雜系統(tǒng)的必要最優(yōu)性條件,但其證明過(guò)程相對(duì)繁瑣。本文通過(guò)引進(jìn)一個(gè)新的參數(shù),將可變區(qū)間上的混雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為固定時(shí)間區(qū)間上的最優(yōu)控制問(wèn)題,再利用古典的最優(yōu)控制理論,得到了原混雜系統(tǒng)的必要最優(yōu)性條件。

1 問(wèn)題描述

設(shè)時(shí)間變量t0

(1)

式中:x(t)∈Rn;

u(t)∈Rm;

fk∈Rn,關(guān)于其變量連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo);

r∈Rl;

Mk∈Rn,關(guān)于其變量二次連續(xù)可微。

記θ=(t1,t2,t3,…,tN-1),則目標(biāo)為確定滿足式(1)的向量組(θ,x(t),u(t)),使得以下函數(shù)的值最小。

(2)

式中:Lk∈R;

φk∈R(k=1,2,3,…,N),關(guān)于其變量二次連續(xù)可微。

為方便起見(jiàn),記上述問(wèn)題為(P)。

2 主要結(jié)論及其證明

對(duì)于k=1,2,3,…,N,令

xk(s)=x[tk-1+s(tk-tk-1)],s∈[0,1)

uk(s)=u[tk-1+s(tk-tk-1)],s∈[0,1)

則問(wèn)題(P)可轉(zhuǎn)化為如下古典問(wèn)題(Q):

(3)

本文的目標(biāo)為確定(t1(s),t2(s),t3(s),…,tN-1(s),x1(s),x2(s),x3(s),…,xN(s),u1(s),u2(s),u3(s),…,uN(s)),使得以下函數(shù)值最小。

(4)

定理1設(shè) (θ0,x0,u0) 為問(wèn)題(P)的弱極小值,雅可比行列式D(x(t0),x(tN))r(x0(t0),x0(tN))的秩為l,l為正整數(shù),則存在分段連續(xù)的變量(λ1(t),λ2(t),λ3(t),…,λN(t))T,μ=(μ1,μ2,μ3,…μl)T,使得對(duì)

Hk(x(t),u(t),λk(t))=

以下結(jié)論成立。

(1) 協(xié)態(tài)方程

(2) 邊界條件

λ1(t0)=-Dx(t0)[μTr(x0(t0),x0(tN))]

λN(tN)=Dx(tN)[φ(x0(tN))+μTr(x0(t0),x0(tN))]

(3) 極小值原理

u0(t)=arg min{Hk(x0(t),uk,λk(t))|uk∈Rm}

(4) 連續(xù)條件

k=1,2,3,…,N-1

S (5) 跳躍條件

k=1,2,3,…,N-1

λk(tk(s)-tk-1(s))fk(xk(s),uk(s))]=

以下條件成立。

(5)

k=1,2,3,…,N-1

(6)

(7)

(8)

k=1,2,3,…,N-1

(9)

k=1,2,3,…,N-1

(10)

k=1,2,3,…,N-1

(11)

k=1,2,3,…,N-1

(12)

u0(s)=

(13)

利用

(14)

則由式(5)可得(1)協(xié)態(tài)方程,由式(13)可得到(3)極小值原理。

定理證畢。

定理1中(4)連續(xù)條件體現(xiàn)了哈密爾頓函數(shù)在切換瞬間的連續(xù)性,這是文獻(xiàn)[5]所沒(méi)有的結(jié)論,而該性質(zhì)有助于得到混雜系統(tǒng)的最優(yōu)解。因此,本文的結(jié)論改進(jìn)了已有的結(jié)果。

3 例 子

考慮混雜最優(yōu)控制問(wèn)題:

minJ(x,u,t1)=

(15)

使得

(16)

其中,u是一維向量,0≤u≤2,t1是可變的。

根據(jù)最優(yōu)控制理論,在[0,t1)階段,該最優(yōu)控制問(wèn)題的哈密爾頓函數(shù)為

H(t)=u(t)+2x(t)+λ(t)(u(t)-x(t))

(17)

利用定理1中的(4)協(xié)態(tài)方程,經(jīng)計(jì)算可得協(xié)態(tài)變量為

λ(t)=c1et+2

(18)

利用(3)極小值原理,可得

(19)

設(shè)轉(zhuǎn)換函數(shù)為c1etm+3=0。利用狀態(tài)方程和初始條件可得

(20)

同理,可以求出在[t1,2]上的控制變量、狀態(tài)變量和協(xié)態(tài)變量。利用轉(zhuǎn)換函數(shù)所滿足的方程、狀態(tài)函數(shù)在t1時(shí)刻產(chǎn)生的跳躍、(4)連續(xù)條件和(5)跳躍條件,可得出一個(gè)非線性方程組。利用MATLAB編程求解該非線性方程組,得該混雜系統(tǒng)的最優(yōu)跳躍時(shí)刻為t1=1.640 0。

控制變量、狀態(tài)變量和協(xié)態(tài)變量的曲線如圖1所示。

圖1 控制變量、狀態(tài)變量和協(xié)態(tài)變量曲線

4 結(jié) 語(yǔ)

本文考慮了一類同時(shí)含有脈沖和切換等離散特性的混雜最優(yōu)控制問(wèn)題。與傳統(tǒng)的變分法不同,通過(guò)引進(jìn)一個(gè)新的時(shí)間變量,將切換時(shí)間轉(zhuǎn)化為新的待確定函數(shù)。再利用古典的最優(yōu)控制理論,得到原混雜系統(tǒng)的必要最優(yōu)性條件,改進(jìn)了已有文獻(xiàn)的結(jié)果。