從光滑函數(shù)的極值點到奇點的識別

馬立華 劉文琰

【摘要】函數(shù)極值問題是一個常見的研究函數(shù)形態(tài)的問題，對于函數(shù)形態(tài)我們進(jìn)一步介紹奇點理論，從一元函數(shù)、二元函數(shù)、多元函數(shù)分類介紹，實現(xiàn)從微積分到專業(yè)方向的過渡，并舉例表示奇點理論對于研究更精細(xì)的函數(shù)形態(tài)的重要性.

【關(guān)鍵詞】函數(shù);極值;奇點

對于函數(shù)極值點的判斷，學(xué)生要有廣泛的幾何、代數(shù)、分析的基礎(chǔ).若要研究函數(shù)進(jìn)一步的形態(tài)，我們只判斷出函數(shù)的極值點顯然是不夠的，而奇點理論極大地推廣了函數(shù)在極大值點和極小值點的性質(zhì)研究.本文從函數(shù)極值點判斷到奇點類型識別做一初探.文中的函數(shù)均為無限次可微的，即光滑函數(shù).

一、一元函數(shù)y=f（x），x∈R的極值理論和奇點理論

一元函數(shù)y=f（x），x∈R的極值的定義、極值的必要條件、極值的第一充分條件和極值的第二充分條件見參考文獻(xiàn)[1].

定理1（極值的第三充分條件）設(shè)y=f（x）在x0的某一鄰域內(nèi)存在直到（n-1）階導(dǎo)函數(shù)，在x0處n階可導(dǎo)，且f（k）（x0）=0（k=1，2，…，n-1），但f（n）（x0）≠0，則：（1）當(dāng)n為偶數(shù)時，函數(shù)y=f（x）在點x0取得極值，且當(dāng)f（k）（x0）<0時，取極大值;f（k）（x0）>0時，取極小值.

（2）當(dāng)n為奇數(shù)時，函數(shù)y=f（x）在點x0不取得極值.

定義2（奇點）極值y′=f′（x）=0的點為奇點，否則稱為正則點.

在上述定理的（極值的第三充分條件）中，x0為y=f（x）的Ak型奇點.

定理3設(shè)f：（R，0）→R是一個光滑函數(shù)，若0是y=f（x）的Ak型奇點，則一定存在一個微分同胚映射φ：（R，0）→（R，0），使得f°φ=±xk+1+f（0）.該定理表明，具有Ak型起點的函數(shù)y=f（x）都與±xk+1+f（0）在0點鄰近奇異性相同.

例1y=x2，y′=2x，y″=2，y″|（0，0）≠0，（0，0）是極小值點，為非退化的臨界點，是穩(wěn)定的孤立的奇點，是折疊型A2奇點，如圖1.

例2y=x3，y′=3x2，y″=6x，y″|（0，0）=0，（0，0）不是極值點，為退化的臨界點，是非穩(wěn)定的孤立的奇點，是拐點，是尖點型A3奇點，如圖2.

二、二元函數(shù)z=f（x，y）的極值理論和奇點理論

二元函數(shù)z=f（x，y）的極值定義以及必要條件見參考文獻(xiàn)[1].

定理4（充分條件）二元函數(shù)z=f（x，y）在點（x0，y0）處具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0（即（x0，y0）是z=f（x，y）的臨界點），矩陣H為函數(shù)z=f（x，y）在（x0，y0）的二階偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成了Hessian矩陣H=2fx22fxy2fyx2fy2，

則：（1）當(dāng)H正定時，（x0，y0）是f（x，y）的極小值點;

（2）當(dāng)H負(fù)定時，（x0，y0）是f（x，y）的極大值點;

（3）當(dāng)H不定時，（x0，y0）不是f（x，y）的極值點.

該定理在應(yīng)用時，常將矩陣的正定性用霍爾維茨（Hurwitz）定理轉(zhuǎn)化為判斷矩陣對應(yīng)的順序主子式的符號，見參考文獻(xiàn)[1].

定義6（二元函數(shù)奇點）滿足fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0的點（x0，y0）稱為f（x，y）的奇點.

由于二元函數(shù)的圖像（x，y，f（x，y））為空間一曲面，因此奇點類型比較復(fù)雜.如果三維歐式空間R3中一曲面為波陣面的波前面，由V.I.Arnold和Zakaliuc給出通常的奇點有尖楞（cuspidaledges）和燕尾（swallowtail）兩種類型.

定義7A—等價又稱R—L等價，即是一種映射的等價類映射芽f：（R2，0）→（R2，0），存在微分同胚φ及ψ，使得φ°f=f°ψ成立.例如已有事實如下.

（1）（0，0）為f（x，y）尖楞奇點，如圖3，A—等價：（x，y）→（x，y2，y3）;

（2）（0，0）為f（x，y）燕尾奇點，如圖4，A—等價：（x，y）→（x，3y4+xy3，4y3+2xy）.

二、多元函數(shù)z=fx1，x2，…，xn的極值理論和奇點理論

定義8設(shè)n元函數(shù)z=f（x1，x2，…，xn）在點（x01，x02，…，x0n）的某個鄰域內(nèi)有定義，如果對該鄰域內(nèi)任一異于（x01，x02，…，x0n）的點（x1，x2，…，xn）都有f（x1，x2，…，xn）f（x01，x02，…，x0n）），則稱函數(shù)f（x1，x2，…，xn）在點（x01，x02，…，x0n）有極大值（或極小值）.

定理9（必要條件）若f：ΩRm→R在Ω中為光滑函數(shù)，x0=（x01，x02，…，x0n）是Ω中的內(nèi)點，則f以x0為極小（極大）值點的必要條件是：

（1）gradf（x0）=fx1，fx2，…，fxn（x0）=0或者（df）（x0）=0;

（2）H（x0）=2fx21…2fx1xn……2fxnx1…2fx2n（x0）或（d2f）（x0）為正半定或負(fù)半定.

定理10（充分條件）若f：ΩRm→R在Ω中為光滑函數(shù)，x0是f之內(nèi)點，則f以x0為極小（極大）值點的充分條件是：

（1）（df）（x0）=0;

（2）（d2f）（x0）為正定（負(fù)定）.

定義11（多元函數(shù)奇點）梯度gradf（x0）=fx1，fx2，…，fxn（x0）=0或（df）（x0）=0的點x0為z=f（x1，x2，…，xn）的奇點或臨界點，否則稱點x0為f（x1，x2，…，xn）的正則點.

定義12如果（df）（x0）=0，（d2f）（x0）≠0，那么稱點x0是退化奇點，否則稱x0是非退化奇點，易知非退化奇點一定是函數(shù)的極值點，反之不一定.

定理13（莫爾斯引理）設(shè)f：ΩRm→R為一光滑函數(shù)，若0是f的非退化臨界點，則存在0的一個充分小鄰域存在一個局部坐標(biāo)變換y=（y1，y2，…，yn），滿足yi（0）=0（i=1，2，…，n），而且f有莫爾斯標(biāo)準(zhǔn)形式（或莫爾斯的n-λ級鞍），

f（x）=f[x（y）]=f（0）+∑λi=1y2i-∑n-λj=1y2j，其中式中負(fù)項個數(shù)n-λ稱為非退化奇點的指數(shù)，是拓?fù)洳蛔兞?

（1）λ=0，函數(shù)f在點0取極大值;

（2）λ=n，函數(shù)f在點0取極小值;

（3）0

例如，1955年，由H.Whitney給出（R2，0）→（R2，0）的點類型只有三種，穩(wěn)定奇點只有兩種，即y1=x1，y2=x2（正則點），y1=x21，y2=x2（折疊點fold），y1=x31+x1x2，y2=x2（尖點cusp）.

已有事實，對于映射芽f：（U，p）→（R2，0），其中UR2，f在P點A—等價于：

（1）fold奇點（標(biāo)準(zhǔn)型為f（x1，x2）→（x1，x22））充分必要條件為ηλ（P）=0;

（2）cusp奇點（標(biāo)準(zhǔn)型為f（x1，x2）→（x1，x32+x1x2））充分必要條件為P點是非退化奇點，且ηλ（P）=0，ηηλ（P）≠0;

（3）lips奇點，如圖5（標(biāo)準(zhǔn)型為f（x1，x2）→（x1，x32+x21x2））充分必要條件為P點是corankf=1，dλ（P）=0，det（Hessλ（P）>0）;

（4）beaks奇點，如圖6（標(biāo)準(zhǔn)型為f（x1，x2）→（x1，x32-x21x2））充分必要條件為P點是corankf=1，dλ（P）=0，det（Hessλ（P）<0），且ηηλ（P）≠0;

（5）swallowtail奇點（標(biāo)準(zhǔn)型為f（x1，x2）→（x1，x42+x1x2））充分必要條件為dλ（P）=0，ηλ（P）=ηηλ（P）=0，ηηηλ（P）≠0.

上面ηλ為方向?qū)?shù)Dηλ，函數(shù)λ：（u，u1，u2）→R，Hessλ（P）=2λuiuji，j=1，2，行列式的計算為det，余維數(shù)為corank.

定理14（本文結(jié)論）對于映射芽f：（U，p）→（R2，0），其中UR2，f在P點A—等價于115奇點（標(biāo)準(zhǔn)型為f（x1，x2）→（x1，x1x22+x42+x52））充分必要條件為corankf=1，Hessλ（P）<0，dλ（P）=0，ηλ（P）=ηηλ（P）=0，ηηηλ（P）≠0.

證明類似于文獻(xiàn)中定理2.3，略.

奇點的分類和識別一直是奇點理論重要而沒有解決的問題，文中的例子只是在某種等價意義下，在突變理論規(guī)范中，在經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理光學(xué)、生態(tài)學(xué)等領(lǐng)域中有一定應(yīng)用的情形.

【參考文獻(xiàn)】

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[2]梅向明，黃敬之.微分幾何[M]，北京：高等教育出版社，2008.

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[5]KentaroSaji，Criteriaforsingularitiesofsmoothmapsfromtheplaneintotheplaneandtheirapplications，[J]，2018.