畫數(shù)學(xué)：讓思維看得見

王菊 王建文

摘 要：“畫圖”是一種基于兒童的可視化學(xué)習(xí)方式。在教學(xué)中，教師通過“畫圖”的形式刻畫數(shù)學(xué)問題，進(jìn)行表達(dá)、示范、解釋、構(gòu)建等教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)習(xí)方式得到優(yōu)化，提高學(xué)生畫圖能力，促進(jìn)問題解決能力和思維能力的提升。

關(guān)鍵詞：畫圖;可視化學(xué)習(xí);思維刻畫

“幾何直觀”作為十大數(shù)學(xué)核心概念之一，提倡利用圖形描述和分析問題，借助它可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。因此，加強(qiáng)示意圖教學(xué)成為貫徹幾何直觀新理念的重要抓手。畫圖，作為一種策略來教給學(xué)生，學(xué)生可以根據(jù)自己的需要畫圖，用圖表示自己理解的數(shù)量關(guān)系，以解決問題，它的導(dǎo)向是“能畫圖盡量畫”。學(xué)生在各種形式的圖形分析和解決問題的過程中提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、畫圖成為一種自發(fā)的需要——“畫一畫就明白了”

第二學(xué)段的數(shù)學(xué)問題開始抽象化，很多復(fù)雜的問題的理解和分析更需要圖的支撐和輔助。但是，這些圖往往是教師主動(dòng)提供的，是教師迫不及待畫給學(xué)生看的，不是源自學(xué)生內(nèi)心的需求，因此，當(dāng)遇到這樣的問題時(shí)，教師需要等一等，讓畫圖成為學(xué)生自己的需要。

例如在長方體、正方體解題練習(xí)中，“將長方體沿著高截去3厘米，就變成了一個(gè)正方體，表面積減少了60平方厘米，求原來長方體的體積”。這個(gè)問題對(duì)于一般學(xué)生來說很難，學(xué)生直接讀題后，發(fā)現(xiàn)有點(diǎn)說不清、道不明，他們能想到長方體去掉一節(jié)的畫面，但是找不到表面積之間的關(guān)系。“一下子想不到辦法怎么辦”，在坦然面對(duì)困難的情況下，就需要一種策略幫助自己理解題意，厘清思路，誘發(fā)學(xué)生產(chǎn)生心理需要。此時(shí)學(xué)生想起了畫圖，主動(dòng)采用畫圖的策略，為自己的思維提供拐杖。

二、積累畫圖的技巧——“圖，可以這么畫”

遇到困難時(shí)，學(xué)生有了畫圖的需要，但苦于平時(shí)沒有掌握基本的畫圖技巧，就會(huì)有心無力，想畫也畫不了。因此，在教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師要給予適切的畫圖指導(dǎo)，讓學(xué)生在經(jīng)歷圖式表征的過程中掌握畫圖技巧，積累畫圖經(jīng)驗(yàn)。

1.正確范畫指導(dǎo)，體驗(yàn)圖的形成過程

在剛學(xué)習(xí)畫示意圖時(shí)，尤其是學(xué)習(xí)能力弱的學(xué)生不知道從哪下手，如何去畫，因此教師的指導(dǎo)、示范就尤為重要。（1）指導(dǎo)學(xué)生跟教師一步一步來畫，找數(shù)量關(guān)系。要提高學(xué)生標(biāo)注信息和問題的能力，也要滲透圖形的比例大小和數(shù)字大小之間的關(guān)系把握。在教師示范畫出以后，讓學(xué)生仿照重畫一遍。（2）學(xué)生可邊畫邊講，或畫好后互相講解。教師在巡視過程中對(duì)有困難的學(xué)生一定要給予耐心的指導(dǎo)。（3）學(xué)生掌握了一定的技能后，可以放手讓學(xué)生自己去畫，教師給予適時(shí)的點(diǎn)撥。組織學(xué)生在分組交流或全班交流中講清這樣畫圖的道理。教師通過對(duì)比，一定要讓學(xué)生體會(huì)用圖解題的直觀、形象，體會(huì)簡潔、方便、易理解的特點(diǎn)。

2.建立輔助解題類畫圖標(biāo)準(zhǔn)

很多情況下，當(dāng)學(xué)生拿起鉛筆準(zhǔn)備畫圖的時(shí)候，他們總是左手配一把尺子，根據(jù)題目信息精準(zhǔn)畫圖。這樣往往需要大量的時(shí)間。當(dāng)老師準(zhǔn)備開始反饋時(shí)，他們的圖還沒有畫好，影響了教學(xué)的效率。對(duì)于輔助解題類的畫圖，不需要非常精準(zhǔn)，但也不能隨心所欲，教師需要給學(xué)生建立一個(gè)合適的標(biāo)準(zhǔn)。

練習(xí)題：一個(gè)長6厘米，寬4厘米，高5厘米的大長方體，鋸成棱長2厘米的小正方體，可以鋸多少塊？教師讓學(xué)生自主動(dòng)手畫圖驗(yàn)證。此時(shí)，有的學(xué)生拿出尺子開始精確畫圖;有的學(xué)生寥寥數(shù)筆畫個(gè)草圖;也有的學(xué)生不知從何入手，抓耳撓腮，東張西望……接下來，我們對(duì)學(xué)生畫的圖進(jìn)行了交流比較，建立了畫圖解題的標(biāo)準(zhǔn)：這樣畫圖的目的是幫助我們理解題意，所以不需要很精確，以免花費(fèi)較多的時(shí)間，但是大致要有：數(shù)字上要有一個(gè)大小的比例;圖形盡可能接近標(biāo)準(zhǔn);標(biāo)注信息很重要。

在交流比較的過程中，建立畫圖幫助解題的標(biāo)準(zhǔn)，有了這樣的標(biāo)準(zhǔn)，既可以加快畫圖的速度，又能幫助我們分析題意，得到自己想要的信息，提高教學(xué)效率。

3.用自己能夠表達(dá)的方式畫圖

小學(xué)階段，我們對(duì)學(xué)生的畫圖要求不可過高，對(duì)于輔助解題的畫圖，只要基本符合問題的數(shù)量關(guān)系即可。由于每個(gè)學(xué)生理解水平的不同，在面對(duì)具體的數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們要因材施教，鼓勵(lì)學(xué)生用便于自己理解、能夠表達(dá)的方式來畫圖表征題意。

例如“一杯純牛奶，樂樂喝了半杯后覺得有些涼，就兌滿了熱水。又喝了半杯，就出去玩了。他一共喝了多少杯純牛奶？多少杯水？”

生1喝了半杯，加滿水，畫了圈;生2把水和牛奶分開畫了，而且第一次橫著平均分2份，第二次豎著平均分了;生3覺得喝了兩次，只要把這兩次喝的畫出來就行了，這樣比他們簡潔，也省時(shí)間;生4是畫線段圖。

畫圖能洞察學(xué)生思路，使思維外顯，將他們的想象畫出來，展現(xiàn)他們的思考力。沒有畫圖，哪來的上述精彩，通過畫圖，展現(xiàn)思維路徑，在比較交流的過程中催生更簡潔的方法，尤其是第2、3兩位學(xué)生，先橫著平均分畫出，再豎著平均分畫出，其實(shí)就是分?jǐn)?shù)乘法算式意義的圖示了。

4.尋找畫圖斷層，開設(shè)畫圖拓展課程

在課堂上，教師往往是在習(xí)題分析時(shí)，為了讓更多的學(xué)生聽懂，才開始畫圖，比如解決長方體、正方體的一些表面積和體積問題，如果沒有正兒八經(jīng)教過學(xué)生長方體的三視草圖怎么畫，標(biāo)注數(shù)據(jù)有什么講究，那么又怎能期望學(xué)生畫出“切切分分”“增增減減”？這就是畫圖技能的“斷層”。要讓學(xué)生真正感受到“我要學(xué)會(huì)畫”，就需要給學(xué)生時(shí)間，需要一節(jié)課一節(jié)課地去指導(dǎo)交流診斷練習(xí)?；诨A(chǔ)教育對(duì)拓展性課程的要求，可以開設(shè)“畫數(shù)學(xué)”的拓展課程。課程設(shè)計(jì)主要分兩類：一是作圖基礎(chǔ)類，以圖形與幾何內(nèi)容為載體;二是輔助探究類，以線段圖、幾何草圖為常用，輔以條子圖、點(diǎn)子圖、方格圖、展開圖、面積模型圖等。

例如五年級(jí)下冊(cè)“長方體正方體”畫圖課程設(shè)計(jì)：

第一次活動(dòng)：畫長方體的三視圖?；谛W(xué)生的能力水平，以畫俯視圖為主，畫出長方體上面、正面、右面的三視圖。按無數(shù)據(jù)、提供長寬高數(shù)據(jù)、給出一個(gè)頂點(diǎn)的三條邊補(bǔ)充畫長方體三個(gè)層次進(jìn)行教學(xué)。

第二次活動(dòng)：畫長方體展開圖。（一四一型、二二二型、三三型）

第三次活動(dòng)：畫長方體切割圖、拼組圖（從數(shù)量：兩個(gè)到三個(gè)再到多個(gè);從方向：左右到上下到前后再到多方向）

第四次活動(dòng)：畫長方體挖洞圖（挖在頂點(diǎn)、挖在棱上、挖在面上;挖通和不挖通，多方向挖通）

“畫數(shù)學(xué)”不論內(nèi)容和形式都是一個(gè)不斷提升的過程，學(xué)生從一年級(jí)跟著老師畫一一對(duì)應(yīng)的草圖，到三年級(jí)跟著老師畫簡單的線段圖，再到高年級(jí)自己嘗試畫示意圖，后續(xù)的畫圖能力需要前面的動(dòng)手探究能力和思維分析能力作基礎(chǔ)，并且需要掌握一些正確的畫圖方法。教學(xué)分析的過程中，可讓學(xué)生運(yùn)用集體的智慧和力量進(jìn)行畫圖過程和結(jié)果的評(píng)析。在方法的對(duì)比中，要提高學(xué)生標(biāo)注信息的能力，也要滲透圖形的比例大小和數(shù)字大小之間的關(guān)系把握。簡單地畫圖，充分發(fā)掘“圖形”的教學(xué)功能，可以從各方面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

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[2]劉善娜.提升“畫”力，構(gòu)建“畫數(shù)學(xué)”學(xué)科內(nèi)部整合課程[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（3）.

[3]王慧英.只是畫個(gè)草圖而已：六年級(jí)上冊(cè)“圓環(huán)面積”錯(cuò)例的教學(xué)啟示[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2018（5）.

編輯 段麗君