基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下單元整體設(shè)計(jì)研究性學(xué)習(xí)課例

摘 要：《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中明確提出了高中數(shù)學(xué)教學(xué)要提升和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。將以“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”為例，以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí)為出發(fā)點(diǎn)設(shè)計(jì)教學(xué)過程，使數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)在課堂教學(xué)中得以落實(shí)。

關(guān)鍵詞：橢圓的定義;橢圓的方程;數(shù)學(xué)學(xué)科;核心素養(yǎng);研究性學(xué)習(xí)

一、教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生學(xué)情分析

本節(jié)課的主要內(nèi)容是抽象橢圓的定義、推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，本節(jié)課不僅是圓錐曲線的起始課，還是解析幾何知識(shí)體系的構(gòu)建中具有承上啟下作用的一節(jié)課。本課時(shí)通過實(shí)際例子感受研究橢圓的必要性，對(duì)實(shí)際例子的分析，直觀感知出橢圓的幾何特征，進(jìn)而抽象出幾何形式下的定義。讓學(xué)生動(dòng)手畫橢圓，充分運(yùn)用幾何畫板動(dòng)態(tài)展示等環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，有助于提升學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)。

本節(jié)課將通過讓學(xué)生動(dòng)手畫橢圓的小實(shí)驗(yàn)，再直接操作來感知橢圓上的點(diǎn)滿足的幾何條件，然后在此基礎(chǔ)上抽象定義、推導(dǎo)方程，符合學(xué)生的知識(shí)體系構(gòu)建的發(fā)展規(guī)律。此外，推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過程中，將出現(xiàn)含兩個(gè)根號(hào)的方程化簡，學(xué)生之前很少接觸這類化簡，對(duì)學(xué)生而言具有一點(diǎn)的難度，這是本節(jié)課的難點(diǎn)。

二、教學(xué)目標(biāo)

（1）簡單了解圓錐曲線的發(fā)展過程，體驗(yàn)其文化價(jià)值，提升學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng)。

（2）通過小實(shí)驗(yàn)動(dòng)手畫橢圓，直接感知橢圓的幾何特征，進(jìn)而抽象橢圓的定義，提升數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理等核心素養(yǎng)。

（3）依據(jù)橢圓定義推導(dǎo)其標(biāo)準(zhǔn)方程，提升數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。

重點(diǎn)：（1）橢圓的定義;（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

難點(diǎn)：橢圓定義的抽象及其標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。

三、教學(xué)過程展示

1.了解橢圓的實(shí)際應(yīng)用及發(fā)展歷史

學(xué)生活動(dòng)1：觀看嫦娥1號(hào)優(yōu)美的橢圓運(yùn)行軌道以及生活中常見的橢圓圖例。

【設(shè)計(jì)意圖】通過精彩的視頻展示，讓學(xué)生了解橢圓在我國航天領(lǐng)域的應(yīng)用并導(dǎo)入新課題，指出學(xué)生在日常生活體驗(yàn)中對(duì)橢圓的感性認(rèn)識(shí)是錯(cuò)誤的，引起認(rèn)知沖突，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，并引出本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容。

教師活動(dòng)1：介紹橢圓的起源與發(fā)展

（1）圓錐曲線的雛形：梅內(nèi)克繆斯從計(jì)時(shí)沙漏中發(fā)現(xiàn)圓錐曲線。

（2）阿波羅尼奧斯提出“用平面從不同的角度截同一個(gè)圓錐可以得到三種圓錐曲線”。

【設(shè)計(jì)意圖】了解橢圓的發(fā)現(xiàn)過程，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生體驗(yàn)橢圓發(fā)展歷程，在這一過程中也可以提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。

2.引導(dǎo)學(xué)生嘗試實(shí)驗(yàn)，形成概念

提出問題：橢圓在科技、生產(chǎn)等方面應(yīng)用廣泛，我們能否用手畫出橢圓呢？

學(xué)生活動(dòng)2：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

取一條長度為30 cm的細(xì)繩，把它的兩端固定在紙板上的兩個(gè)定點(diǎn)（兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離小于30 cm），用筆尖M把細(xì)繩拉緊，在紙板上移動(dòng)筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？若將兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離調(diào)整到30 cm，畫出的軌跡又是什么圖形？距離調(diào)整到35 cm呢？思考：

（1）在畫圖過程中，細(xì)繩兩頭的位置是固定的還是運(yùn)動(dòng)的？

（2）在畫圖過程中，細(xì)繩的長度是否改變？說明了什么？

（3）在畫圖過程中，細(xì)繩長度與兩定點(diǎn)距離有什么關(guān)系？

（4）改變兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離，橢圓的形狀是否發(fā)生變化？當(dāng)兩個(gè)定點(diǎn)的距離與繩長相等及大于繩長時(shí)，畫出的圖形還是橢圓嗎？還能畫出圖形嗎？

發(fā)現(xiàn)：細(xì)繩長度大于兩個(gè)定點(diǎn)的距離時(shí)，軌跡為橢圓;細(xì)繩長度等于兩個(gè)定點(diǎn)的距離時(shí)，軌跡為線段;細(xì)繩長度小于兩個(gè)定點(diǎn)的距離時(shí)，軌跡不存在。

教師：在筆尖M運(yùn)動(dòng)過程中，什么是不變的？

學(xué)生1：無論筆尖M運(yùn)動(dòng)到何處，繩長是不變的。

教師：若把兩個(gè)定點(diǎn)分別記為F1、F2，那么橢圓上的點(diǎn)M滿足什么特征？

學(xué)生：MF1+MF2為定值。

教師：讓學(xué)生通過觀察幾何畫板軟件，驗(yàn)證當(dāng)橢圓上的點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，MF1+MF2為定值。

教師：請(qǐng)同學(xué)們回憶一下圓的定義，類比圓的定義，根據(jù)上面的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，如何定義橢圓？

生1：我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓。

生2：不夠嚴(yán)謹(jǐn)，還需補(bǔ)充一個(gè)限制條件：這個(gè)常數(shù)大于F1F2，否則點(diǎn)的軌跡是線段或不存在。

教師：生2補(bǔ)充得特別完整！

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)也可以進(jìn)一步提升。此外，學(xué)生在動(dòng)手畫橢圓的過程中，對(duì)橢圓的幾何性質(zhì)產(chǎn)生初步的直觀感受，比如橢圓是一個(gè)封閉的對(duì)稱圖形，細(xì)繩長度不變時(shí)兩個(gè)定點(diǎn)的改變對(duì)橢圓扁平程度的影響等，為后續(xù)學(xué)習(xí)橢圓的幾何性質(zhì)埋下直觀鋪墊。

3.根據(jù)定義，推導(dǎo)方程

（1）回顧方法

教師：觀察所畫的橢圓，感知它有什么樣的特征？

生：橢圓是具有對(duì)稱性，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形。

教師：事實(shí)上，通過觀察能“感知”橢圓的某些性質(zhì)，觀察所獲得的這些結(jié)論是否正確？這些性質(zhì)是所有橢圓的共同特征嗎？我們?cè)鯓痈陀^地認(rèn)識(shí)橢圓的性質(zhì)？

生：我們之前學(xué)習(xí)了圓的方程，通過方程的代數(shù)特征研究了圓的幾何性質(zhì)，我們可以類比圓的學(xué)習(xí)，用方程的形式刻畫橢圓，通過橢圓的方程代數(shù)特征來研究橢圓的幾何性質(zhì)。

教師：回答得特別好！

（2）推導(dǎo)過程

教師：請(qǐng)同學(xué)們寫出橢圓上的點(diǎn)滿足的關(guān)系式。

教師：這個(gè)方程含有兩個(gè)根號(hào)，形式比較復(fù)雜，數(shù)學(xué)追求簡潔美，我們?nèi)绾伟阉喴恍?？也就是說是否可以把根號(hào)去掉。

教師：同學(xué)們有不同的建系方法嗎？

生：以F1，F(xiàn)2所在直線為y軸，以線段F1F2的垂直平分線為x軸，建立直角坐標(biāo)系。

教師：此時(shí)橢圓的方程是什么？如何獲得？

生1：類似于方案一的推導(dǎo)過程整理可得，此時(shí)橢圓的方程是+=1（a>b>0）

教師：能否類比焦點(diǎn)在x軸的標(biāo)準(zhǔn)方程，直接寫出焦點(diǎn)在y軸的標(biāo)準(zhǔn)方程？

生2：利用式子的對(duì)稱性直接調(diào)換x，y的位置，即可獲得焦點(diǎn)在y軸的標(biāo)準(zhǔn)方程。

教師：我們把中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓的方程叫作橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種不同的形式。

【設(shè)計(jì)意圖】橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)是本節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn)，也是提升學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的良機(jī)，不能照本宣科地按照教材簡單帶過，當(dāng)學(xué)生都意識(shí)到在定義條件下列出的橢圓的方程有化簡的必要時(shí)，如何實(shí)現(xiàn)化簡顯得尤其關(guān)鍵。在化簡方程的具體過程中，學(xué)生并沒有單一地遵循教科書的化簡方法，而是提供了不同的化簡方式，尤其是推導(dǎo)焦點(diǎn)在y軸的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，在老師的啟發(fā)下，學(xué)生能夠類比焦點(diǎn)在x軸的標(biāo)準(zhǔn)方程，直接獲得焦點(diǎn)在y軸的標(biāo)準(zhǔn)方程，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到類比不僅是一種溫故知新的學(xué)習(xí)方法，更是解決數(shù)學(xué)問題的有效途徑。在這一環(huán)節(jié)中，學(xué)生的計(jì)算思維得到發(fā)散，運(yùn)算素養(yǎng)得以提升，難點(diǎn)逐步突破。通過兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程的對(duì)比，加深了學(xué)生對(duì)橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程內(nèi)在聯(lián)系的理解，突出本節(jié)課的重點(diǎn)。

4.經(jīng)歷回顧，課堂小結(jié)

教師：本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想與方法？

生：（1）本節(jié)課學(xué)習(xí)了橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程：

①焦點(diǎn)在x軸時(shí)

②焦點(diǎn)在y軸時(shí)

（2）研究方法：坐標(biāo)法;數(shù)學(xué)思想：數(shù)學(xué)結(jié)合思想、類比思想。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生進(jìn)行課堂小結(jié)，回顧本節(jié)課所學(xué)知識(shí)及數(shù)學(xué)方法，可以幫助學(xué)生梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)，掌握知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生的知識(shí)體系構(gòu)建，有助于培養(yǎng)學(xué)生自我獲取知識(shí)的能力。

5.作業(yè)布置（略）

四、教學(xué)反思

六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是絕對(duì)的分割，而是相對(duì)統(tǒng)一的，每一個(gè)核心素養(yǎng)之間既是對(duì)立的，又相互交融，它們形成一個(gè)密不可分的有機(jī)整體。解析幾何的學(xué)習(xí)關(guān)鍵是提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。本節(jié)課通過橢圓在科技、生產(chǎn)等方面的應(yīng)用，對(duì)橢圓發(fā)展歷史的初步了解，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情;接著通過學(xué)生動(dòng)手畫橢圓，觀看幾何畫板的動(dòng)態(tài)展示，得到橢圓上的點(diǎn)滿足的幾何條件，類比圓的定義，抽象歸納橢圓的定義;再根據(jù)橢圓的定義，利用坐標(biāo)法推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。在這個(gè)過程中，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)源于生活，用于生活，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值。對(duì)橢圓概念的歸納，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模能力，用坐標(biāo)法推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，滲透數(shù)形結(jié)合思想、類比思想，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理能力，使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂教學(xué)過程中落地生根。

作者簡介：翁小柳（1980.6—），女，籍貫：海南萬寧，學(xué)歷：大學(xué)本科，職稱：中學(xué)一級(jí)，主要研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué)。

編輯 李建軍