“直觀想象”核心素養(yǎng)的表現(xiàn)形式與培養(yǎng)途徑

朱鉉

摘 要：人們對(duì)“直觀想象”這一核心素養(yǎng)的含義理解不到位，存在片面或模糊.其實(shí)，直觀想象核心素養(yǎng)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的主要表現(xiàn)形式為圖形直觀、空間想象和數(shù)形結(jié)合，應(yīng)分別通過(guò)模型教學(xué)、找“高”訓(xùn)練和數(shù)形結(jié)合來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：直觀想象;數(shù)形結(jié)合;模型教學(xué);核心素養(yǎng)

中學(xué)數(shù)學(xué)的六大核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析，其實(shí)并不是什么新的東西，人們對(duì)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析這五大素養(yǎng)都能正確地理解它的含義，唯獨(dú)對(duì)“直觀想象”這一核心素養(yǎng)的含義理解不到位.實(shí)際上，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》給出了直觀想象的明確定義：直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng).其主要包括：借助空間形式認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問(wèn)題;建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型，探索解決問(wèn)題的思路[1].因而直觀想象核心素養(yǎng)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的主要表現(xiàn)形式為圖形直觀、空間想象和數(shù)形結(jié)合，那么我們應(yīng)當(dāng)如何培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力呢？

一、利用平面幾何中的“基本模型”培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀

平面幾何是立體幾何和解析幾何的基礎(chǔ)，在平面幾何的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生的識(shí)圖和作圖能力得到了培養(yǎng)，而對(duì)圖形的辨別、拆分與重組能力就是“直觀想象”核心素養(yǎng)的表現(xiàn)形式之一.在平面幾何的學(xué)習(xí)中，有許多基本圖形以及它們所得到的結(jié)論我們稱之為“基本模型”，許多看似復(fù)雜的圖形實(shí)際上都由這些基本模型組合而成的，記憶和熟練掌握這些基本模型，并能從復(fù)雜圖形中辨認(rèn)它屬于哪一類基本模型，或是由哪些基本模型復(fù)合而成，這就是直觀想象的核心素養(yǎng)水平達(dá)成的表現(xiàn).

例1 如圖1，⊙O是ΔABC的外接圓，BC是⊙O的直徑，∠ABC=30°，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線BD，與CA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，與半徑OA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線AF，與直線BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.

（1）求證：△ACF∽△DAE;

（2）若S△AOC=，求DE的長(zhǎng);

（3）連接EF，求證：EF是⊙O的切線.

這里著重說(shuō)明圖形的辨別與拆分，所以略去解答過(guò)程.本題的圖形看似復(fù)雜，實(shí)際上它是由以下四個(gè)基本模型復(fù)合而成的：圖2的弦切角模型，圖3的等腰梯形模型，圖4的直角三角形模型以及最常見(jiàn)的等腰三角形模型.這幾個(gè)基本模型是平時(shí)學(xué)習(xí)和練習(xí)過(guò)程中常見(jiàn)的，學(xué)生對(duì)它們可得出什么結(jié)論非常了解，只要將復(fù)雜圖形中的基本模型辨別出來(lái)并進(jìn)行拆分，學(xué)生就不難找到解題的思路和方法.而對(duì)復(fù)雜圖形的辨別和拆分能力就是“直觀想象”核心素養(yǎng)的一種表現(xiàn)，日常教學(xué)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生注重基本模型的研究，吃透基本模型，然后強(qiáng)化對(duì)復(fù)雜圖形的辨別和拆分能力的訓(xùn)練，不僅能提高學(xué)生的解題能力，還能提升學(xué)生“直觀想象”的核心素養(yǎng).

基本模型既包括定義、定理的代表圖形，又包括在生活中、練習(xí)中經(jīng)常遇到的圖形，還包括由實(shí)際問(wèn)題抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)善于引導(dǎo)學(xué)生整理歸納出基本類型和方法，并把類型、方法和范例合為一體形成“基本模型”來(lái)記憶和積累.當(dāng)遇到一個(gè)幾何問(wèn)題時(shí)，我們能辨認(rèn)和拆分它們并以此為索引，在記憶貯存中提取出相應(yīng)的方法來(lái)加以解決，這是培養(yǎng)學(xué)生“直觀想象”核心素養(yǎng)的一種方法.

二、利用找“高”訓(xùn)練培養(yǎng)學(xué)生的空間想象

在立體幾何中，“高”常扮演“關(guān)鍵先生”，從簡(jiǎn)單的三視圖到復(fù)雜的求二面角的平面角，都能見(jiàn)到“高”的身影，然而，我們的“關(guān)鍵先生”往往不容易找到，因此在立體幾何教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生找“高”能力是培養(yǎng)學(xué)生空間想象的重要途徑，而空間想象是“直觀想象”的另一種表現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力就是培養(yǎng)學(xué)生“直觀想象”的核心素養(yǎng).

例2 某四棱錐的三視圖如圖5所示，試畫(huà)出些四棱錐的直觀圖.若三視圖如圖6所示呢？

設(shè)計(jì)意圖：給出實(shí)物畫(huà)三視圖，給出三視圖畫(huà)直觀圖是培養(yǎng)學(xué)生空間想象非常有效的途徑，學(xué)生在不斷地構(gòu)建的過(guò)程中，空間想象能力逐步培養(yǎng)和增強(qiáng)，而給出三視圖畫(huà)直觀圖的關(guān)鍵是找到幾何體的“高”所在的位置.本例通過(guò)改變側(cè)視圖和俯視圖的形狀達(dá)到訓(xùn)練學(xué)生找”高”能力的目的（作畫(huà)略）.

例3 在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，AP=AB=■BC，Q為BC的中點(diǎn)，求二面角A-PD-Q的余弦值.

本例是求二面角的常見(jiàn)例題，但在教授本例時(shí)，我們不應(yīng)滿足于用空間向量來(lái)求二面角，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在這一基礎(chǔ)上，探索采用邏輯法（演繹法）來(lái)求二面角，從而使學(xué)生的空間想象和邏輯推理能力都得到培養(yǎng).

采用邏輯法（演繹法）來(lái)求二面角的關(guān)鍵是要找到一個(gè)平面到另一個(gè)平面的垂線，也就是“高”.要想找到這一條“高”我們就要找到面面垂直，利用面面垂直的性質(zhì)定理來(lái)找“高”，面面垂直的性質(zhì)定理告訴我們，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，必與另一個(gè)平面垂直.所以我們只要找到面面垂直，再在一個(gè)平面內(nèi)向另一個(gè)平面作交線的垂線即可，通過(guò)這種訓(xùn)練，學(xué)生逐步構(gòu)建起線線關(guān)系、線面關(guān)系和面面關(guān)系，并逐漸明晰它們之間的關(guān)系，從而構(gòu)建起自己的空間體系，符合了構(gòu)建主義的學(xué)習(xí)和教育觀.

三、注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的滲透，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問(wèn)題;建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型，探索解決問(wèn)題的思路.腦科學(xué)告訴我們，人類處理圖形的能力先于且強(qiáng)于文字能力，所以說(shuō)數(shù)形結(jié)合思想是人類將復(fù)雜、抽象問(wèn)題簡(jiǎn)單化的一種重要思想.實(shí)際上，數(shù)形結(jié)合的思想貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)，從初一的數(shù)軸到高中的函數(shù)，從初中的解方程應(yīng)用題到高中的解析幾何等，數(shù)形結(jié)合的身影無(wú)處不在.

雖然大家都知道數(shù)形結(jié)合思想的重要性，但很多教師在教學(xué)過(guò)程中仍然熱衷于無(wú)圖推理，美其名曰培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，殊不知數(shù)學(xué)有六大核心素養(yǎng)，邏輯推理只是其中的1/6，我們應(yīng)當(dāng)大力推行數(shù)形結(jié)合，提出“不作圖就不做數(shù)學(xué)題”的口號(hào).比如說(shuō)，在解一元二次不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的教學(xué)中，當(dāng)Δ>0時(shí)，學(xué)生在解出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根后不會(huì)得出不等式的解集，這時(shí)教會(huì)并要求學(xué)生一定要畫(huà)圖，利用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解一元二次不等式，不僅能使學(xué)生理解解不等式的原理，還能減少學(xué)生的錯(cuò)誤.同時(shí)，當(dāng)Δ=0或Δ<0時(shí)，不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集如何取得，是學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合思想能輕松突破這一難點(diǎn).

四、結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)家笛卡爾早就說(shuō)過(guò)：“沒(méi)有圖形就沒(méi)有思考”.美國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂恩斯也說(shuō)：“如果一個(gè)特定的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖像，那么就整體地把握了問(wèn)題，并且能創(chuàng)造性地思索問(wèn)題的解法”.通過(guò)圖形，人們能夠更直觀地理解事物的本質(zhì)，這就是人們常說(shuō)的“用圖形說(shuō)話”.所以培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng)就是要讓學(xué)生學(xué)會(huì)用圖形思考，用圖形說(shuō)話，能從圖形中洞察解決問(wèn)題的線索.我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)當(dāng)關(guān)注培養(yǎng)學(xué)生的圖形直觀、空間想象和數(shù)形結(jié)合，并堅(jiān)定不移地貫徹在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中.

編輯 李建軍