基于Hexapod平臺(tái)的地基大型光學(xué)望遠(yuǎn)鏡失調(diào)誤差主動(dòng)補(bǔ)償

曹玉巖，王建立，陳 濤，呂天宇，王洪浩，張 巖，王富國(guó)

(1. 中國(guó)科學(xué)院 長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林 長(zhǎng)春 130033；2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

1 引 言

隨著口徑的不斷增大，地基望遠(yuǎn)鏡的結(jié)構(gòu)尺度越來(lái)越復(fù)雜，結(jié)構(gòu)重力/熱變形會(huì)導(dǎo)致主次鏡失調(diào)誤差，從而造成成像質(zhì)量下降，因此失調(diào)誤差的主動(dòng)補(bǔ)償成為了研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)[1]。以?xún)社R面望遠(yuǎn)鏡為例，即望遠(yuǎn)鏡中只考慮主鏡和次鏡，光學(xué)系統(tǒng)的失調(diào)誤差主要包括離焦和彗差，其中離焦是由主次鏡間隔偏差所致，彗差是由主次鏡相對(duì)偏心和傾斜所致，且會(huì)伴隨有像散和球差出現(xiàn)。在望遠(yuǎn)鏡失調(diào)誤差校正方面，歐洲南方天文臺(tái)ESO在NTT望遠(yuǎn)鏡[2]上首先開(kāi)創(chuàng)了基于主動(dòng)光學(xué)的校正技術(shù)，利用波前傳感器來(lái)監(jiān)視圖像質(zhì)量，并分解為像差模式系數(shù)，以此作為反饋來(lái)調(diào)整次鏡的位置實(shí)現(xiàn)失調(diào)誤差校正。隨后這項(xiàng)技術(shù)被廣泛應(yīng)用到8～10 m級(jí)地基大型望遠(yuǎn)鏡上[3-10]，其中VLT望遠(yuǎn)鏡采用3個(gè)獨(dú)立的調(diào)整機(jī)構(gòu)來(lái)分別調(diào)整離焦、偏心和傾斜[2]，TNG[4]和VST[5-9]采用Hexapod平臺(tái)來(lái)補(bǔ)償失調(diào)誤差，MMT采用變形鏡來(lái)實(shí)現(xiàn)失調(diào)誤差補(bǔ)償[10]。

從原理上，離焦偏差可以通過(guò)在光軸方向上移動(dòng)次鏡來(lái)補(bǔ)償，而彗差則需要沿x和y方向移動(dòng)并結(jié)合x(chóng)/y方向轉(zhuǎn)動(dòng)次鏡來(lái)補(bǔ)償，伴隨出現(xiàn)的像散和球差也相應(yīng)的減小，這里假設(shè)z軸為光軸方向。因此，為了補(bǔ)償主次鏡的失調(diào)誤差，即離焦和彗差，次鏡需要在空間5個(gè)自由度上可調(diào)整。Hexapod平臺(tái)由于具有剛度大、調(diào)整自由度多、位置誤差不累計(jì)等優(yōu)點(diǎn)，已作為次鏡調(diào)整機(jī)構(gòu)用于地基大型望遠(yuǎn)鏡中[4-9， 11-12]。

在實(shí)際應(yīng)用中，采用Hexapod平臺(tái)調(diào)整次鏡來(lái)校正主次鏡失調(diào)誤差通常有兩種工作模式：一種是閉環(huán)模式，如VST[5]，以波前傳感器反饋的像差模式系數(shù)作為反饋，實(shí)時(shí)調(diào)整次鏡的位置；另一種是開(kāi)環(huán)模式，通過(guò)望遠(yuǎn)鏡在不同俯仰角度狀態(tài)下觀測(cè)恒星，標(biāo)定出對(duì)應(yīng)次鏡的調(diào)整位置，工作時(shí)采用查表方式來(lái)實(shí)現(xiàn)失調(diào)誤差補(bǔ)償。在觀測(cè)恒星標(biāo)定時(shí)，需要準(zhǔn)確給出Hexapod平臺(tái)每個(gè)支桿的控制輸入，在沒(méi)有波前傳感器的情況下往往很難從所觀測(cè)的圖像直接給出各個(gè)支桿的控制輸入，通常采用反復(fù)迭代嘗試的方式實(shí)現(xiàn)標(biāo)定。若能利用望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)力學(xué)模型，對(duì)不同姿態(tài)下的主次鏡失調(diào)誤差進(jìn)行估計(jì)，根據(jù)失調(diào)誤差的估計(jì)值進(jìn)行標(biāo)定，不但能提高標(biāo)定精度，而且能降低標(biāo)定迭代次數(shù)，提高效率?；谶@一目的，本文以長(zhǎng)春光機(jī)所研制的2 m口徑地基光學(xué)望遠(yuǎn)鏡為對(duì)象，研究基于Hexapod平臺(tái)的主次鏡失調(diào)誤差估計(jì)和主動(dòng)補(bǔ)償技術(shù)。首先，詳細(xì)介紹了望遠(yuǎn)鏡的結(jié)構(gòu)組成，并基于有限元方法建立結(jié)構(gòu)力學(xué)模型。然后，簡(jiǎn)要介紹了失調(diào)誤差的產(chǎn)生原因及失調(diào)誤差補(bǔ)償流程，以主次鏡鏡面節(jié)點(diǎn)當(dāng)前位置作為輸入，提出了基于非線性最小二乘擬合的主次鏡失調(diào)誤差計(jì)算方法，并在此基礎(chǔ)上提出了基于空間坐標(biāo)變換來(lái)確定Hexapod平臺(tái)控制輸入的方法。最后，分別給出了重力和熱載荷環(huán)境下的數(shù)值算例，來(lái)驗(yàn)證本文提出的模型及計(jì)算方法。

2 望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)力學(xué)建模

2 m級(jí)地基望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示，總體高度為6.4 m，寬度為3.7 m，總質(zhì)量接近30噸。從光機(jī)結(jié)構(gòu)角度，望遠(yuǎn)鏡主要包括機(jī)架、主鏡組件、次鏡組件以及多個(gè)成像終端等，這里為了簡(jiǎn)化分析流程，僅考慮前三部分。

圖1 2 m望遠(yuǎn)鏡簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)

機(jī)架是光學(xué)系統(tǒng)及其他觀測(cè)終端的載體，通過(guò)俯仰軸和方位軸的高精度回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)望遠(yuǎn)鏡對(duì)任一天區(qū)的精確指向和對(duì)目標(biāo)的跟蹤測(cè)量。機(jī)架中各部分以及相互連接關(guān)系如圖1所示，方位軸和俯仰軸均采用力矩電機(jī)直驅(qū)方式來(lái)實(shí)現(xiàn)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)控制。

望遠(yuǎn)鏡主鏡材料為SiC，具有比剛度大、質(zhì)量輕、熱穩(wěn)定性好等優(yōu)點(diǎn)。輕量化SiC主鏡的支撐結(jié)構(gòu)必須具有較好的熱解耦能力，以解決SiC材料與支撐結(jié)構(gòu)/鏡室材料熱膨脹系數(shù)差異大的問(wèn)題，進(jìn)而降低溫度變化對(duì)主鏡面形的影響。SiC主鏡采用了A-Frame型柔性側(cè)支撐方式，并結(jié)合18點(diǎn)機(jī)械式whiffletree軸向支撐方式，形成了鏡體與鏡室及支撐結(jié)構(gòu)具有較好熱匹配效果的被動(dòng)支撐系統(tǒng)。SiC主鏡支撐結(jié)構(gòu)原理如圖2所示[13-14]，6組柔性切向桿在主鏡軸向和徑向上均加工柔性切口，并通過(guò)A-Frame型結(jié)構(gòu)擴(kuò)展為12個(gè)側(cè)向支撐點(diǎn)；軸向支撐結(jié)構(gòu)為3個(gè)實(shí)際硬點(diǎn)通過(guò)逐級(jí)分散擴(kuò)展方式形成18個(gè)等力支撐點(diǎn)，在每個(gè)支撐點(diǎn)處采用柔性細(xì)長(zhǎng)桿與主鏡相連接，充分利用柔性細(xì)長(zhǎng)桿軸向剛度大橫向柔度大的優(yōu)勢(shì)，在克服SiC主鏡鏡體重力的同時(shí)，能夠?qū)崿F(xiàn)主鏡徑向自由膨脹，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)熱變形的解耦。

圖2 SiC主鏡支撐結(jié)構(gòu)原理

望遠(yuǎn)鏡次鏡同樣采用具有熱變形匹配的bipod型支撐結(jié)構(gòu)來(lái)消除熱脹系數(shù)差異性對(duì)次鏡面形精度的影響。此外，次鏡及其支撐結(jié)構(gòu)通過(guò)Hexapod平臺(tái)實(shí)現(xiàn)位姿調(diào)整，以補(bǔ)償因裝調(diào)或結(jié)構(gòu)變形造成的主次鏡失調(diào)誤差。

對(duì)于如此復(fù)雜的望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)，即使不考慮其他成像終端，各組成部分的詳細(xì)建模依然非常困難。因此做如下簡(jiǎn)化：望遠(yuǎn)鏡的方位軸承和俯仰軸承承載裕度非常高，在力學(xué)分析時(shí)，將它視為理想體，即忽略鋼球的摩擦及間隙對(duì)分析結(jié)果的影響；機(jī)械WIFFLETREE浮動(dòng)支撐中的各個(gè)運(yùn)動(dòng)副，如球鉸等，視為理想運(yùn)動(dòng)副，忽略摩擦及間隙的影響；連接次鏡的Hexapod平臺(tái)的6個(gè)支桿視為理想線性促動(dòng)器，即不考慮Hexapod平臺(tái)本身的控制誤差。

針對(duì)上述2 m望遠(yuǎn)鏡的簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)，采用有限元方法建立望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型如圖3所示，結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程可以表達(dá)為：

(1)

其中：[M]，[C]，[K]分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，{x}為位移向量，{F}為載荷向量。

圖3 2 m望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)的有限元模型

望遠(yuǎn)鏡工作狀態(tài)下，方位軸和俯仰軸的轉(zhuǎn)動(dòng)速度非常慢，可視為準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程，由此結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)化為：

[K]{x}={F}.

(2)

望遠(yuǎn)鏡觀測(cè)過(guò)程中，主鏡和次鏡的鏡面位置和面形精度起決定性作用，因此在望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)力學(xué)仿真模擬時(shí)往往更關(guān)心主次鏡鏡面節(jié)點(diǎn)位置的變化情況。主次鏡鏡面節(jié)點(diǎn)位移可以表達(dá)為：

(3)

其中：{qp}，{qs}分別為主鏡和次鏡鏡面節(jié)點(diǎn)位移向量；[Φp]，[Φs]分別為與主鏡和次鏡相關(guān)的選擇矩陣，在鏡面節(jié)點(diǎn)位置處元素為1，其余元素為0。

利用由式(2)和式(3)所得到的鏡面節(jié)點(diǎn)位移，并結(jié)合鏡面節(jié)點(diǎn)的當(dāng)前位置，可以將主次鏡鏡面的當(dāng)前位置表達(dá)為：

(4)

式(4)給出了主次鏡鏡面上各個(gè)節(jié)點(diǎn)的當(dāng)前位置，據(jù)此可以進(jìn)行后續(xù)光學(xué)性能分析并通過(guò)控制Hexapod平臺(tái)調(diào)整次鏡進(jìn)行失調(diào)誤差主動(dòng)補(bǔ)償。

3 光學(xué)失調(diào)誤差計(jì)算及主動(dòng)補(bǔ)償

3.1 失調(diào)誤差產(chǎn)生的原因

在光學(xué)系統(tǒng)中，主次鏡失調(diào)誤差所引入的像差包括離焦和彗差，以及少量的像散和球差，可以通過(guò)主動(dòng)控制主次鏡的相對(duì)位置來(lái)補(bǔ)償。如圖2所示，望遠(yuǎn)鏡主鏡采用被動(dòng)支撐方式，僅能通過(guò)控制次鏡的位置實(shí)現(xiàn)對(duì)主次鏡失調(diào)引入的像差進(jìn)行補(bǔ)償。

3.1.1 主鏡支撐組件變形所導(dǎo)致的主鏡偏差

由于主鏡支撐結(jié)構(gòu)中采用了柔性切口或細(xì)桿來(lái)適應(yīng)光學(xué)材料與結(jié)構(gòu)材料熱脹系數(shù)的差異性，主鏡支撐結(jié)構(gòu)剛度有限，自身重力作用造成了主鏡相對(duì)于主鏡室的偏差，包括位置偏差和角度偏差，且偏差隨著望遠(yuǎn)鏡俯仰角度的變化而改變。

3.1.2 主鏡鏡面變形所導(dǎo)致的曲率半徑偏差

主鏡鏡面曲率半徑的變化會(huì)使光學(xué)系統(tǒng)產(chǎn)生離焦，需要根據(jù)當(dāng)前鏡面的曲率半徑來(lái)調(diào)整主次鏡間距來(lái)予以補(bǔ)償。從分析結(jié)果上看，主鏡鏡面的曲率半徑變化在0.01 mm量級(jí)。

3.1.3 桁架變形所導(dǎo)致的次鏡偏差

如圖1所示，在高度方向上，桁架的跨度非常大，接近2.5 m，盡管桁架結(jié)構(gòu)中采用了直徑很大的桿件，但由于環(huán)梁以及四翼梁等結(jié)構(gòu)載荷非常大，接近500 kg，這間接造成了次鏡的偏差。

3.1.4 熱變形導(dǎo)致的失調(diào)誤差

環(huán)境溫度變化會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)熱變形，使主次鏡偏離理論位置，主要造成了主次鏡間隔出現(xiàn)偏差，即離焦，其余偏差相對(duì)較小。

3.2 失調(diào)誤差補(bǔ)償?shù)幕玖鞒?/h3>

在望遠(yuǎn)鏡的工作過(guò)程中，結(jié)構(gòu)變形導(dǎo)致主次鏡失調(diào)誤差，引入離焦和彗差，最終影響望遠(yuǎn)鏡的觀測(cè)性能。結(jié)構(gòu)變形所引入的像差隨著望遠(yuǎn)鏡俯仰角度的變化而實(shí)時(shí)改變，通過(guò)控制次鏡后端的Hexapod平臺(tái)實(shí)時(shí)調(diào)整次鏡的位置和姿態(tài)，從而對(duì)失調(diào)誤差予以補(bǔ)償，具體流程如圖4所示。首先，利用望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)力學(xué)模型，根據(jù)當(dāng)前載荷條件，由式(4)計(jì)算主次鏡鏡面節(jié)點(diǎn)的當(dāng)前位置。然后，根據(jù)主次鏡鏡面當(dāng)前的節(jié)點(diǎn)位置，利用非線性擬合方法計(jì)算主次鏡的最佳擬合曲面，這里將主次鏡鏡面均簡(jiǎn)化為球面，得到最佳擬合球面球心、曲率半徑以及光軸方向。以主鏡光軸及最佳擬合球面為基準(zhǔn)，計(jì)算主次鏡的位置和姿態(tài)偏差，并以補(bǔ)償這部分偏差為目標(biāo)，計(jì)算Hexapod平臺(tái)支桿長(zhǎng)度的變化量，即為Hexapod平臺(tái)的控制輸入，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)光學(xué)像差的補(bǔ)償。最后，對(duì)補(bǔ)償后的主次鏡進(jìn)行光學(xué)性能分析及評(píng)價(jià)。

圖4 失調(diào)誤差補(bǔ)償流程

3.3 主次鏡鏡面位置的非線性最小二乘擬合

在失調(diào)誤差補(bǔ)償流程中，一個(gè)重要環(huán)節(jié)是確定主次鏡的當(dāng)前位置。在結(jié)構(gòu)力學(xué)模型中，主次鏡的當(dāng)前位置是由若干離散節(jié)點(diǎn)來(lái)表示的，采用非線性擬合方法來(lái)獲得這些離散節(jié)點(diǎn)的最佳擬合曲面，并以此來(lái)表示主次鏡鏡面的當(dāng)前位置是合理有效的方法。擬合誤差定義為給定點(diǎn)與最佳擬合面曲率中心之間的正交或最短距離，這是一個(gè)非線性問(wèn)題，必須采用迭代法來(lái)求解。本文以主鏡為例，簡(jiǎn)要介紹鏡面最佳球面的非線性最小二乘擬合過(guò)程，次鏡的計(jì)算過(guò)程類(lèi)似，不再贅述。

假設(shè)在幾何模型中，q個(gè)參數(shù)向量a與p個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)X相關(guān)聯(lián)，其關(guān)系由以下公式表示：

X=F(a)+e，

(5)

其中：F為關(guān)于參數(shù)向量a的非線性連續(xù)可微分函數(shù)，e為誤差向量。

對(duì)于一組給定的測(cè)量數(shù)據(jù)X，參數(shù)向量a的非線性最小二乘估計(jì)的通用表達(dá)式為：

(6)

為了便于表達(dá)，這里以單位矩陣作為加權(quán)矩陣。對(duì)于以上非線性估計(jì)問(wèn)題的求解，這里采用Gauss-Newton迭代法，其迭代格式為：

(7)

ak+1=ak+λΔa.

(8)

式(7)左端的偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)為雅克比矩陣J，其表達(dá)式為：

(9)

為了計(jì)算求解上述問(wèn)題，在每個(gè)迭代步都需要計(jì)算各個(gè)離散測(cè)量點(diǎn)距離該幾何特征上最近的點(diǎn)處的函數(shù)向量F的值，以及雅克比矩陣J的值，這是最小二乘擬合問(wèn)題的一個(gè)必要條件。

n維空間中圓/球的示意如圖5所示。球心位置為O，半徑為R，可以由以下公式來(lái)描述：

‖X-Xc‖2=R2.

(10)

(11)

圖5 圓/球擬合示意圖

(12)

(13)

(14)

參數(shù)向量a的初始值可按如下公式來(lái)計(jì)算：

(15)

(16)

3.4 Hexapod平臺(tái)支桿長(zhǎng)度計(jì)算

望遠(yuǎn)鏡主次鏡鏡面節(jié)點(diǎn)的當(dāng)前位置經(jīng)過(guò)球面非線性最小二乘擬合，可以得到最佳擬合面的曲率中心坐標(biāo)、曲率半徑及光軸方向，由此可以計(jì)算得到主次鏡的相對(duì)偏差。以主鏡當(dāng)前光軸作為基準(zhǔn)，通過(guò)實(shí)時(shí)控制Hexapod平臺(tái)支桿長(zhǎng)度來(lái)調(diào)整次鏡的位置和姿態(tài)，可以補(bǔ)償由主次鏡失調(diào)誤差引入的像差，其中確定Hexapod平臺(tái)支桿長(zhǎng)度，即控制輸入，是關(guān)鍵。

Hexapod平臺(tái)結(jié)構(gòu)及簡(jiǎn)化示意如圖6所示，6根支桿兩端分別連接上下兩個(gè)臺(tái)面構(gòu)成了并聯(lián)結(jié)構(gòu)，通過(guò)支桿長(zhǎng)度的協(xié)調(diào)控制可以實(shí)現(xiàn)兩個(gè)臺(tái)面相對(duì)位姿的調(diào)整。在望遠(yuǎn)鏡俯仰姿態(tài)變化時(shí)，Hexapod平臺(tái)各支桿以及相關(guān)結(jié)構(gòu)均會(huì)發(fā)生變形。因此，利用Hexapod平臺(tái)剛體假設(shè)條件計(jì)算所得到的支桿桿長(zhǎng)來(lái)控制次鏡的位姿與預(yù)期理想位姿之間會(huì)存在一定的偏差。為了彌補(bǔ)平臺(tái)以及支桿自身彈性變形所引入的偏差，這里以各支桿兩端支點(diǎn)的當(dāng)前位置來(lái)計(jì)算桿長(zhǎng)，以當(dāng)前支桿上以及次鏡處于理想位置時(shí)的支桿長(zhǎng)之間的差值作為控制輸入。

(a)結(jié)構(gòu)圖

(b)簡(jiǎn)化示意圖

如圖7所示，假設(shè)O-xyz為全局坐標(biāo)系，是望遠(yuǎn)鏡的參考坐標(biāo)系；O1-x1y1z1為次鏡當(dāng)前位置的局部坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)O1為次鏡的曲率中心，z1軸為次鏡光軸；O2-x2y2z2為次鏡期望位置的局部坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)O2為次鏡期望的曲率中心，z2軸為次鏡期望光軸，期望光軸應(yīng)與主鏡當(dāng)前光軸重合。

圖7 基于Hexapod平臺(tái)的次鏡位姿控制

首先，根據(jù)當(dāng)前姿態(tài)下望遠(yuǎn)鏡主鏡和次鏡的曲率半徑，通過(guò)光學(xué)分析計(jì)算得到主鏡和次鏡的理想間距，并根據(jù)主鏡當(dāng)前的曲率中心位置及光軸方向，確定次鏡的期望曲率中心位置，次鏡光軸的期望方向與主鏡的光軸方向重合，因?yàn)橹麋R無(wú)法補(bǔ)償自身姿態(tài)的變化。然后，采用逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方法，將固連在次鏡曲率中心處的局部坐標(biāo)系通過(guò)平移和旋轉(zhuǎn)，使次鏡達(dá)到期望的位置和姿態(tài)，相應(yīng)地，Hexapod平臺(tái)各支桿的支點(diǎn)位置也做同樣的變換。最后，根據(jù)次鏡在當(dāng)前位置和最終期望位置時(shí)，Hexapod平臺(tái)各個(gè)支桿的支點(diǎn)位置，計(jì)算出各個(gè)支桿桿長(zhǎng)的變化量，以桿長(zhǎng)變化量作為Hexapod平臺(tái)的控制輸入條件。

用0F1表示坐標(biāo)系O1-x1y1z1相對(duì)于全局坐標(biāo)系O-xyz的位姿矩陣，0F2表示坐標(biāo)系O2-x2y2z2相對(duì)于全局坐標(biāo)系O-xyz的位姿矩陣。在主鏡和次鏡位置確定的情況下，根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換規(guī)律，坐標(biāo)系O2-x2y2z2相對(duì)于全局坐標(biāo)系O1-x1y1z1的位姿矩陣可以表達(dá)為：

(17)

假設(shè)坐標(biāo)系O1-x1y1z1按滾動(dòng)(R)、俯仰(P)和偏航(Y)的順序旋轉(zhuǎn)至與O2-x2y2z2一致的姿態(tài)，即依次繞z1軸旋轉(zhuǎn)φa，繞y1軸旋轉(zhuǎn)φo，繞x1軸旋轉(zhuǎn)φn。按RPY順序旋轉(zhuǎn)后，姿態(tài)變化可以用矩陣表達(dá)為：

(18)

RPY姿態(tài)變化矩陣中的3個(gè)旋轉(zhuǎn)角度相互耦合，需要求解3個(gè)角度各自的余弦和正弦值才能確定這3個(gè)角度值。采用解耦的方式進(jìn)行求解，利用Rot(z1，φa)-1左乘式(18)，即：

Rot(z1，φa)-1RPY(φa，φo，φn)=
Rot(y1，φo)Rot(x1，φn).

(19)

式(19)表示經(jīng)過(guò)RPY順序旋轉(zhuǎn)后，坐標(biāo)系O1-x1y1z1的姿態(tài)與坐標(biāo)O2-x2y2z2一致，展開(kāi)可以表示為：

(20)

根據(jù)對(duì)應(yīng)元素相等，可得到如下結(jié)果：

(21)

(22)

(23)

坐標(biāo)系O1-x1y1z1經(jīng)過(guò)RPY旋轉(zhuǎn)后沿x1y1z1坐標(biāo)軸方向平移至與O2-x2y2z2重合，可以通過(guò)左乘平移矩陣得到，即：

1T2=Tcart(px，py，pz)×RPY(φa，φo，φn)，

(24)

其中1T2表示坐標(biāo)系O2-x2y2z2相對(duì)于坐標(biāo)系O1-x1y1z1的變換矩陣。

圖8 Hexapod平臺(tái)矢量示意圖

如圖8所示，以0pi，1pi(i=1，2，…，6)分別表示Hexapod平臺(tái)支桿下端的6個(gè)支點(diǎn)相對(duì)于全局坐標(biāo)系O-xyz，坐標(biāo)系O1-x1y1z1的坐標(biāo)向量，其相互之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可以表示為：

1pi=1F00pi.

(26)

(27)

0Bi(i=1，2，…，6)表示Hexapod平臺(tái)支桿上端支點(diǎn)在全局坐標(biāo)系O-xyz下的坐標(biāo)向量，則Hexapod平臺(tái)支桿的當(dāng)前桿長(zhǎng)以及期望位置處的桿長(zhǎng)分別表示為：

li=‖0pi-0Bi‖2，

(28)

(29)

Hexapod平臺(tái)支桿長(zhǎng)度變化量可以表示為：

(30)

4 數(shù)值計(jì)算

為了驗(yàn)證所提出的基于Hexapod平臺(tái)的望遠(yuǎn)鏡失調(diào)誤差及主動(dòng)補(bǔ)償過(guò)程，以圖1所示的2 m口徑地基望遠(yuǎn)鏡為例，分別對(duì)重力變形和溫度變化所引入的光學(xué)像差進(jìn)行詳細(xì)的分析和計(jì)算，并通過(guò)對(duì)次鏡位置和姿態(tài)的調(diào)整實(shí)現(xiàn)對(duì)失調(diào)誤差的主動(dòng)補(bǔ)償。望遠(yuǎn)鏡坐標(biāo)系定義及Hexapod平臺(tái)支桿編號(hào)如圖9所示，其中z軸為理想光軸方向，yz平面為與望遠(yuǎn)鏡俯仰垂直的結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)面，光軸豎直向上時(shí)俯仰角度為0°，光軸水平時(shí)俯仰角度為90°。

圖9 坐標(biāo)系定義及Hexapod平臺(tái)支桿編號(hào)

4.1 補(bǔ)償重力變形所引入的失調(diào)誤差

對(duì)望遠(yuǎn)鏡在不同俯仰角度下的重力變形進(jìn)行分析，根據(jù)主次鏡鏡面節(jié)點(diǎn)的變形結(jié)果按前幾節(jié)所述方法計(jì)算主次鏡的最佳擬合曲面，以及主次鏡的位置和角度偏差，進(jìn)而計(jì)算由Hexapod平臺(tái)來(lái)補(bǔ)償當(dāng)前位置處主次鏡位置和角度偏差所需的支桿桿長(zhǎng)變化量，即補(bǔ)償控制輸入。補(bǔ)償前后，望遠(yuǎn)鏡主次鏡角度偏差隨俯仰角度的變化如圖10所示，位置偏差隨俯仰角度的變化如圖11所示，間隔偏差隨俯仰角度的變化如圖12所示。Hexapod平臺(tái)支桿桿長(zhǎng)隨望遠(yuǎn)鏡俯仰角度的變化情況如圖13所示。

(a)補(bǔ)償前

(b)補(bǔ)償后

(a)補(bǔ)償前

(b)補(bǔ)償后

(a)補(bǔ)償前

(b)補(bǔ)償后

圖13 Hexapod平臺(tái)支桿桿長(zhǎng)隨望遠(yuǎn)鏡俯仰角度的變化

理想情況下，即主次鏡無(wú)相對(duì)偏差的情況下，光學(xué)系統(tǒng)的點(diǎn)列圖如圖14所示，0°視場(chǎng)、0.013°視場(chǎng)和0.025°視場(chǎng)的彌散斑半徑分別為14.664，5.56和19.107 μm。光軸豎直、45°以及水平狀態(tài)下，補(bǔ)償前后光學(xué)系統(tǒng)的點(diǎn)列圖如圖15～圖17所示。

圖14 理想光學(xué)系統(tǒng)點(diǎn)列圖

(a)補(bǔ)償前

(b)補(bǔ)償后

(a)補(bǔ)償前

(b)補(bǔ)償后

(a)補(bǔ)償前

(b)補(bǔ)償后

由圖10～圖13可知，補(bǔ)償前主次鏡的最大位置和最大角度偏差均出現(xiàn)在光軸水平位置，最大角度偏差接近25″，最大位置偏差接近0.2 mm；最大間隔偏差出現(xiàn)在光軸豎直位置，最大間隔偏差接近0.1 mm，隨著俯仰角度增大，間隔偏差逐漸減小至零；經(jīng)過(guò)Hexapod平臺(tái)的補(bǔ)償控制，最大角度偏差下降到0.006″，最大間隔偏差下降到7×10-5mm，最大位置偏差下降到0.015 mm；補(bǔ)償前，在結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)面Ry以及dx方向上存在著偏差，與Rx和dy相比非常小，這是由于有限元模型上網(wǎng)格對(duì)稱(chēng)性存在誤差所致，這與實(shí)際結(jié)構(gòu)加工裝配等原因很難保證結(jié)構(gòu)嚴(yán)格對(duì)稱(chēng)的情況是相符的；與角度偏差和間隔偏差相比，補(bǔ)償后位置偏差下降較少，僅由0.2下降到0.015，這是由于在有限元模型中主次鏡均采用球面近似，對(duì)主次鏡節(jié)點(diǎn)的當(dāng)前位置進(jìn)行非線性球面擬合，以擬合后的球心位置與球面節(jié)點(diǎn)的幾何中心連線作為光軸，這個(gè)光軸與實(shí)際會(huì)存在一定的偏差，導(dǎo)致主次鏡位置存在一定的初始偏差；隨著俯仰角度的增大，角度偏差、位置偏差及間隔偏差均表現(xiàn)出非線性特征，而且Hexapod平臺(tái)的控制輸入也存在一定的非線性特征。從這可以看出，在實(shí)際望遠(yuǎn)鏡使用中，若采用事先標(biāo)定的方式來(lái)補(bǔ)償主次鏡的位置偏差，Hexapod平臺(tái)的控制輸入也應(yīng)是非線性的，需要盡量減小標(biāo)定角度間隔以提高補(bǔ)償精度。

由圖15～圖17可知，重力變形導(dǎo)致主次鏡偏離理想位置，造成光學(xué)系統(tǒng)性能顯著下降，光學(xué)系統(tǒng)彌散斑最大發(fā)生在光軸水平位置，彌散斑半徑分別為1 474.27，1 473.68和1 473.34 μm；經(jīng)過(guò)Hexapod平臺(tái)的控制補(bǔ)償，光學(xué)系統(tǒng)性能顯著改善，彌散斑半徑分別下降為30.57，27.08和32.80 μm。

此外，在光軸豎直的情況下，點(diǎn)列圖為非對(duì)稱(chēng)的圓，其原因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)有限元望遠(yuǎn)鏡并非完全對(duì)稱(chēng)，這造成了即使僅受豎直向下的重力載荷，主次鏡也會(huì)出現(xiàn)傾斜變形，即主次鏡出現(xiàn)了相對(duì)傾斜偏差導(dǎo)致的非對(duì)稱(chēng)圓形點(diǎn)列圖。

4.2 補(bǔ)償溫度變形所引入的失調(diào)誤差

對(duì)望遠(yuǎn)鏡在不同環(huán)境溫度(-30～50 ℃)下的熱變形進(jìn)行分析，采用同樣的方法計(jì)算主次鏡的位置和角度偏差，并計(jì)算Hexapod平臺(tái)支桿桿長(zhǎng)變化量來(lái)補(bǔ)償主次鏡的偏差。補(bǔ)償前后，望遠(yuǎn)鏡主次鏡角度偏差隨溫度的變化如圖18所示，位置偏差隨溫度變化如圖19所示。Hexapod平臺(tái)支桿桿長(zhǎng)隨溫度的變化情況如圖20所示。

(a)補(bǔ)償前

(b)補(bǔ)償后

(a)補(bǔ)償前

(b)補(bǔ)償后

圖20 Hexapod平臺(tái)支桿桿長(zhǎng)隨溫度的變化

環(huán)境溫度為-30 ℃，0 ℃和50 ℃情況下，補(bǔ)償前后光學(xué)系統(tǒng)點(diǎn)列圖分別如圖21～圖23所示。

(a)補(bǔ)償前

(a)補(bǔ)償前

(b)補(bǔ)償后

由圖18和圖19可知，溫度變化主要引起望遠(yuǎn)鏡主次鏡間隔的變化，引入離焦，最大變化量達(dá)到1 mm以上，角度偏差以及位置偏差相對(duì)較小；經(jīng)過(guò)Hexapod平臺(tái)的補(bǔ)償控制，主次鏡間隔偏差及角度偏差接近零，而由于模型計(jì)算誤差的原因，仍存在位置誤差。

由圖20可知，隨著環(huán)境溫度的增大，Hexapod平臺(tái)的控制輸入基本按線性變化。從這可以看出，在實(shí)際望遠(yuǎn)鏡使用中，對(duì)環(huán)境溫度的補(bǔ)償可以按線性考慮。

(a)補(bǔ)償前

(b)補(bǔ)償后

從圖21～圖23可以看出，受環(huán)境溫度的影響，結(jié)構(gòu)熱變形造成主次鏡偏差，導(dǎo)致光學(xué)系統(tǒng)性能下降。環(huán)境溫度為-30 ℃時(shí)，彌散斑半徑最大接近557 μm，經(jīng)過(guò)Hexapod平臺(tái)的控制補(bǔ)償，-30 ℃，0 ℃，50 ℃下系統(tǒng)彌散斑半徑分別下降為32.217，28.491和32.832 μm。

5 結(jié) 論

本文針對(duì)地基大型光學(xué)望遠(yuǎn)鏡中結(jié)構(gòu)及熱變形所導(dǎo)致的光學(xué)系統(tǒng)失調(diào)問(wèn)題，研究了失調(diào)誤差的估計(jì)方法及基于Hexapod平臺(tái)的主動(dòng)補(bǔ)償過(guò)程。利用有限元方法建立了望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)力學(xué)模型，然后研究了基于非線性最小二乘擬合的望遠(yuǎn)鏡主次鏡失調(diào)誤差計(jì)算方法，以及基于空間坐標(biāo)變換來(lái)確定Hexapod平臺(tái)支撐桿長(zhǎng)的方法。數(shù)值仿真結(jié)果表明：重力變形和熱變形均使光學(xué)系統(tǒng)出現(xiàn)明顯的失調(diào)誤差，彌散斑最大達(dá)到了1 473 μm和557 μm，經(jīng)過(guò)次鏡位置補(bǔ)償，光學(xué)系統(tǒng)性能明顯得到改善，彌散半徑下降到32 μm以下，從而驗(yàn)證了本文提出的失調(diào)誤差以及Hexapod平臺(tái)支桿長(zhǎng)度計(jì)算方法。