基于彗差和像點(diǎn)偏移的大口徑望遠(yuǎn)鏡次鏡姿態(tài)校正

朱 熠，王建立，陳 濤，吳小霞，李宏壯

（中國科學(xué)院 長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林 長春 130033）

1 引 言

為了克服重力、環(huán)境溫度和鏡體加速度等因素對大口徑主鏡面形精度的影響，在望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)運(yùn)行中校正和維持主鏡鏡面的面形精度，保證后端成像系統(tǒng)的成像質(zhì)量，3 m 級以上的大口徑望遠(yuǎn)鏡均基本采用主動(dòng)光學(xué)技術(shù)［1-3］。主動(dòng)光學(xué)由R.N. Wilson，F(xiàn). Franza 和L. Noethe 于1987 年 提出，并應(yīng)用于ESO New Technology Telescope（NTT）3.58 m 大口徑望遠(yuǎn)鏡的主鏡支撐［4］。主動(dòng)光學(xué)系統(tǒng)不僅要協(xié)同波前檢測系統(tǒng)和力促動(dòng)器，主動(dòng)檢測和校正主鏡鏡面面形，實(shí)現(xiàn)主鏡主動(dòng)支撐；還需要維持主鏡和次鏡的相對位置，保證后端成像質(zhì)量。

針對同軸雙反射鏡系統(tǒng)，可通過焦點(diǎn)偏心、軸上彗差、軸外三葉像差等參數(shù)獲得主次鏡之間的光軸偏離量，進(jìn)行光路裝調(diào)修正［5-9］。該方法同樣適用于主動(dòng)光學(xué)系統(tǒng)的次鏡姿態(tài)控制。當(dāng)主鏡位置閉環(huán)穩(wěn)定控制后，通過上述參數(shù)的測量和解算，能夠得到次鏡當(dāng)前的姿態(tài)誤差量，從而進(jìn)行反饋修正。本文針對大口徑望遠(yuǎn)鏡主動(dòng)光學(xué)系統(tǒng)次鏡的姿態(tài)控制需求，結(jié)合前述的同軸雙鏡系統(tǒng)光軸對準(zhǔn)方法，建立了一種基于波前檢測和像點(diǎn)偏移的次鏡姿態(tài)校正方法，通過大口徑望遠(yuǎn)鏡主動(dòng)光學(xué)系統(tǒng)的夏克-哈特曼波前傳感器和用于對準(zhǔn)的成像相機(jī)的采集數(shù)據(jù)，解算次鏡姿態(tài)誤差，并通過次鏡六自由度平臺進(jìn)行補(bǔ)償校正。

2 次鏡姿態(tài)校正方法

圖1 為大型望遠(yuǎn)鏡典型主動(dòng)光學(xué)系統(tǒng)原理圖。本文提出了基于次鏡的近軸曲率中心點(diǎn)和近軸無彗差點(diǎn)的次鏡姿態(tài)校正方法。曲率中心點(diǎn)為次鏡頂點(diǎn)處曲率半徑對應(yīng)的球心，當(dāng)次鏡以曲率中心點(diǎn)為球心，沿球面小幅值旋轉(zhuǎn)時(shí)，不會(huì)改變焦平面焦點(diǎn)位置，即像點(diǎn)偏移量不變。次鏡以無彗差點(diǎn)為球心，沿球面小幅值旋轉(zhuǎn)時(shí)，不會(huì)改變軸上波前像差中的彗差分量。

圖1 主動(dòng)光學(xué)系統(tǒng)原理圖Fig.1 Schematic diagram of active optics system

無彗差點(diǎn)的位置受次鏡鏡面種類的影響?？ㄈ窳质酵h(yuǎn)鏡的無彗差點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算公式為［10］：

式中：s2為次鏡與主鏡主焦點(diǎn)之間的距離；m2為次鏡的幾何角放大率，m2=μ1/μ2；bs2為次鏡非球面度，如圖2 所示。

圖2 主次鏡系統(tǒng)無彗差點(diǎn)相關(guān)參數(shù)Fig.2 Parameters of coma free point of primary and secondary mirrors

當(dāng)次鏡鏡面為非球面時(shí)，bs2≠0 時(shí)，次鏡無彗差點(diǎn)與次鏡曲率中心點(diǎn)不重合，可以通過無彗差點(diǎn)和曲率中心點(diǎn)實(shí)現(xiàn)次鏡姿態(tài)校正。其基本流程為：首先檢測次鏡后端焦平面上像點(diǎn)的偏移量，并基于次鏡無彗差點(diǎn)校正焦平面的像點(diǎn)位置，使像點(diǎn)位于視場中心；然后，采集次鏡后端軸上的波前像差，提取其中的彗差分量，并基于次鏡曲率中心點(diǎn)校正彗差，修正光路對準(zhǔn)。

次鏡姿態(tài)具有6 個(gè)自由度，按次鏡光軸定義直角坐標(biāo)系z軸，則6 自由度分別為x，y，z方向的平移和旋轉(zhuǎn)。由于同軸系統(tǒng)次鏡為旋轉(zhuǎn)對稱鏡面，z軸旋轉(zhuǎn)無影響，次鏡姿態(tài)調(diào)整需求為次鏡的x，y，z方向平移和x，y軸旋轉(zhuǎn)的調(diào)整，如圖3 所示。其中，z方向平移對應(yīng)離焦，用于系統(tǒng)調(diào)焦；x，y方向平移和x，y軸旋轉(zhuǎn)耦合為焦平面像點(diǎn)的偏移和軸上彗差，以曲率中心點(diǎn)和無彗差點(diǎn)為基準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)次鏡進(jìn)行補(bǔ)償校正。為此，針對次鏡可能產(chǎn)生的姿態(tài)誤差，除了系統(tǒng)離焦量，還需要提供4個(gè)自由度的姿態(tài)誤差檢測。次鏡以一點(diǎn)為球心沿球面旋轉(zhuǎn)，可分解為次鏡以該點(diǎn)為圓心在兩個(gè)垂直方向旋轉(zhuǎn)，即等效為耦合x，y方向平移和x，y軸旋轉(zhuǎn)的2 個(gè)自由度的姿態(tài)調(diào)整。因此，當(dāng)次鏡曲率中心點(diǎn)和無彗差點(diǎn)不重合時(shí)，曲率中心點(diǎn)與無彗差點(diǎn)分別提供2 個(gè)自由度的次鏡姿態(tài)調(diào)整，能夠校正次鏡x，y方向的平移和x，y軸的旋轉(zhuǎn)。

圖3 次鏡姿態(tài)的4 個(gè)自由度Fig.3 Four DOF of secondary mirror’s attitude

3 仿 真

本文通過Zemax 進(jìn)行光學(xué)建模，并通過matlab 進(jìn)行望遠(yuǎn)鏡主次鏡系統(tǒng)，以及基于設(shè)計(jì)參數(shù)的望遠(yuǎn)鏡次鏡等效無彗差點(diǎn)的仿真計(jì)算，以驗(yàn)證本文提出的次鏡姿態(tài)校正方法的有效性。

在Zemax 仿真環(huán)境下建立望遠(yuǎn)鏡的主次鏡光路及后端成像焦面光路，并將焦平面定義為像面。正入射的平行光經(jīng)過主次三鏡反射后進(jìn)入波前檢測光路，并匯聚在焦平面。次鏡姿態(tài)正確時(shí)，焦點(diǎn)位于光軸上，即像點(diǎn)位于像面中心，同時(shí)無彗差。當(dāng)次鏡處于錯(cuò)誤姿態(tài)時(shí)，則會(huì)出現(xiàn)像點(diǎn)偏離像面中心，或者像點(diǎn)出現(xiàn)彗差。圖4 為Zemax 仿真光路模型。

圖4 Zemax 光路模型2D 圖Fig.4 Two-dimensional diagram of Zemax optical model

通過4 m 望遠(yuǎn)鏡主次鏡仿真模型的仿真計(jì)算，驗(yàn)證采用曲率中心點(diǎn)校正彗差的能力。然后，在仿真模型上以標(biāo)定擬合法計(jì)算次鏡無彗差點(diǎn)的位置，確定無彗差點(diǎn)的有效性；同時(shí)，確認(rèn)曲率中心點(diǎn)和無彗差點(diǎn)位置具有足夠大的差異，能夠?qū)崿F(xiàn)有效的次鏡姿態(tài)校正。

3.1 曲率中心點(diǎn)仿真

通過在仿真模型上對次鏡進(jìn)行平移和自轉(zhuǎn)，實(shí)現(xiàn)次鏡沿曲率中心點(diǎn)的近軸旋轉(zhuǎn)，并由此仿真計(jì)算次鏡沿曲率中心點(diǎn)引入的彗差變化。次鏡沿某個(gè)圓心在x方向旋轉(zhuǎn)α，在近軸等效于次鏡在x方向的位移d及繞y軸的自轉(zhuǎn)β，且：

其中R為旋轉(zhuǎn)半徑，當(dāng)R設(shè)置為曲率半徑時(shí)即為沿曲率中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。由于次鏡鏡面旋轉(zhuǎn)對稱，因此單個(gè)方向的旋轉(zhuǎn)仿真足夠驗(yàn)證各個(gè)方向的特性。本文采用x方向旋轉(zhuǎn)，即次鏡x方向平移和y軸自轉(zhuǎn)。

圖5 為次鏡以曲率中心點(diǎn)為圓心，x方向正向旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角度與由此引入的軸上彗差（x向彗差）及擬合曲線，圖6 為不同旋轉(zhuǎn)角度對應(yīng)的像點(diǎn)形狀。在近軸范圍內(nèi)（＜0.4°），次鏡繞曲率中心旋轉(zhuǎn)角度與彗差量呈良好的線性關(guān)系，因此通過波前檢測得到的軸上彗差，快速精確地計(jì)算出彗差校正對應(yīng)的次鏡姿態(tài)調(diào)整量。當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度在0.1°時(shí)，引入的彗差量約為4.4 μm。主動(dòng)光學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行次鏡姿態(tài)校正時(shí)，待校正的彗差量級一般在±1λ（λ=0.633 μm），對應(yīng)的次鏡調(diào)整量為：平移14.6 mm，旋轉(zhuǎn)0.014°。次鏡調(diào)整機(jī)構(gòu)的位移精度應(yīng)在0.1 mm 以上，旋轉(zhuǎn)精度在0.001°以上。

圖5 次鏡基于曲率中心旋轉(zhuǎn)指定角度與彗差的關(guān)系Fig.5 Relationship between angle of rotation by center of curvature and coma

圖6 次鏡基于曲率中心旋轉(zhuǎn)指定角度后的像點(diǎn)彌散Fig.6 Simulation of image points after rotation by center of curvature

3.2 無彗差點(diǎn)仿真

通過在仿真模型的次鏡上施加平移和自轉(zhuǎn)，進(jìn)行無彗差點(diǎn)的仿真計(jì)算。式（1）的主次鏡系統(tǒng)無彗差點(diǎn)計(jì)算為次鏡旋轉(zhuǎn)對應(yīng)彗差和次鏡平移對應(yīng)彗差在近軸小幅值條件下為線性映射，由此得到一個(gè)等效無彗差點(diǎn)，沿該點(diǎn)做圓面運(yùn)動(dòng)不引入彗差。將次鏡沿一個(gè)方向自轉(zhuǎn)一個(gè)角度，由此產(chǎn)生軸上彗差；然后，通過對應(yīng)方向的平移，補(bǔ)償自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的彗差，并記錄自轉(zhuǎn)角度和平移距離，作為一組仿真標(biāo)定數(shù)據(jù)。每組近軸標(biāo)定數(shù)據(jù)能計(jì)算出一個(gè)無彗差點(diǎn)位置。不同幅值的多組近軸數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果基本一致，說明存在穩(wěn)定的無彗差點(diǎn)，可以通過無彗差點(diǎn)進(jìn)行針對像點(diǎn)偏移的次鏡姿態(tài)修正。

表1 為旋轉(zhuǎn)0.01°～1.0°產(chǎn)生彗差后再通過平移抵消彗差的仿真結(jié)果。在近軸（0.5°以內(nèi)），無彗差點(diǎn)位置基本穩(wěn)定。對標(biāo)定結(jié)果進(jìn)行最小二乘線性擬合計(jì)算無彗差點(diǎn)半徑，結(jié)果為-466.95 mm，即次鏡無彗差點(diǎn)位于軸上次鏡后端-466.95 mm。該點(diǎn)位置與曲率中心點(diǎn)位置（次鏡后端-1 013.33 mm）具有明顯差異，能有效地校正次鏡姿態(tài)。

表1 無彗差點(diǎn)仿真標(biāo)定結(jié)果Tab.1 Result of CFP calibration in Zemax

4 實(shí) 驗(yàn)

大口徑光電成像望遠(yuǎn)鏡全天區(qū)運(yùn)行，且使用高分辨成像系統(tǒng)時(shí)，主要目標(biāo)為低軌運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，觀測過程中，可能存在大幅度的望遠(yuǎn)鏡俯仰角變化。由于不同俯仰角的重力影響，由望遠(yuǎn)鏡俯仰角變化引入的次鏡姿態(tài)偏差較大，如果不進(jìn)行補(bǔ)償，會(huì)嚴(yán)重影響后端成像系統(tǒng)的工作性能。

4.1 次鏡校正能力標(biāo)定

采用天區(qū)位置穩(wěn)定的北極星作為信標(biāo)，并通過改變次鏡六自由度平臺位置調(diào)整次鏡光路。首先，將像點(diǎn)調(diào)整至視場中心。望遠(yuǎn)鏡繼續(xù)指向北極星信標(biāo)，將次鏡沿?zé)o彗差點(diǎn)進(jìn)行x軸旋轉(zhuǎn)和y軸旋轉(zhuǎn)，分別旋轉(zhuǎn)0.031，0.063，0.113，0.188，0.281°，并記錄對應(yīng)的像點(diǎn)偏移量。圖7 和圖8為154″視 場 內(nèi) 星 點(diǎn) 在x軸 旋 轉(zhuǎn)0.031，0.113，0.281°和y軸旋轉(zhuǎn)0.031，0.113，0.281°時(shí)的位置偏移，其偏移呈明顯的線性比例，位移方向正交，且旋轉(zhuǎn)后像點(diǎn)無彗尾形狀特征，不引入額外的彗差。圖9 為沿?zé)o彗差點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角度與產(chǎn)生的像點(diǎn)偏移量，以及曲線擬合。可以看出，檢測標(biāo)定數(shù)據(jù)呈明顯的線性分布且兩方向的變化速率一致，在近軸部分可以通過次鏡無彗差點(diǎn)旋轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)快速精確的像點(diǎn)偏移校正。

圖7 次鏡基于無彗差點(diǎn)x 軸方向旋轉(zhuǎn)指定角度后星點(diǎn)Fig.7 Star images with CFP x-axis rotation of secondary mirror

圖8 次鏡基于無彗差點(diǎn)y 軸方向旋轉(zhuǎn)指定角度后星點(diǎn)Fig.8 Star images with CFP y-axis rotation of secondary mirror

圖9 次鏡x 軸方向旋轉(zhuǎn)和y 軸方向旋轉(zhuǎn)與像點(diǎn)偏移角度的擬合曲線Fig.9 Fitting lines of imaging point position and rotation of x-axis and y-axis

然后，沿曲率中心在x方向和y方向進(jìn)行2°和4°的大幅值旋轉(zhuǎn)，并引入1 mm 離焦，以觀察波前變化影響。上述處理后的星點(diǎn)圖如圖10 所示，旋轉(zhuǎn)后產(chǎn)生明顯的彗差，且方向正交；盡管進(jìn)行了大幅值旋轉(zhuǎn)，引入了大幅值彗差，像點(diǎn)仍位于中心附近。因此，采用次鏡曲率中心旋轉(zhuǎn)，能有效校正次鏡姿態(tài)誤差引入的彗差。

圖10 曲率中心旋轉(zhuǎn)后的離焦星點(diǎn)圖Fig.10 Unfocused star images with rotation of curvature center

4.2 次鏡校正效果

圖11 為次鏡的校正效果。通過次鏡校正，像點(diǎn)由偏移狀態(tài)修正回視場中心；且像點(diǎn)由具有彗差特征的拖尾彌散斑，恢復(fù)為能量集中的圓形亮斑。在各個(gè)角度均進(jìn)行次鏡校正，保證像點(diǎn)處于視場中心，且像點(diǎn)無彗差特征，則可以保證望遠(yuǎn)鏡在俯仰運(yùn)動(dòng)過程中次鏡姿態(tài)保持正確。

圖11 次鏡校正前后的星點(diǎn)圖及放大圖Fig.11 Star images and scaled images with and without correction of secondary mirror

圖12 為次鏡無主動(dòng)校正時(shí)的高分辨成像系統(tǒng)前端的精密跟蹤對準(zhǔn)系統(tǒng)在望遠(yuǎn)鏡仰角變化時(shí)的像點(diǎn)圖。在指向北極星（37°仰角）時(shí)，像點(diǎn)基本在十字靶標(biāo)旁邊，偏差為1.12″；指向11°低仰角時(shí)像點(diǎn)向左上偏移，偏差為7.12″；指向77°高仰角時(shí)，像點(diǎn)位于視場邊界，偏差為12.85″。在高分辨成像系統(tǒng)工作時(shí)，需要精密跟蹤系統(tǒng)控制快反鏡調(diào)整光路，將像點(diǎn)維持在視場中心附近。當(dāng)俯仰引入的像點(diǎn)偏移過大時(shí)，由快反鏡修正引入的光軸指向偏差會(huì)影響高分辨成像系統(tǒng)的成像精度；更嚴(yán)重時(shí)，像點(diǎn)偏移量超出快反鏡的動(dòng)態(tài)范圍，精密跟蹤系統(tǒng)無法正常工作，導(dǎo)致高分辨成像系統(tǒng)無法成像。因此，需要采取次鏡主動(dòng)校正，以補(bǔ)償仰角變化引入的像點(diǎn)偏移。

圖12 無次鏡校正時(shí)各角度精跟像點(diǎn)位置Fig.12 Imaging point positions at different elevations without correction of secondary mirror

圖13 為加入次鏡校正后，3 個(gè)俯仰角度下的精跟視場像點(diǎn)圖。除了進(jìn)行初始對準(zhǔn)的指向北極星時(shí)的像點(diǎn)（37°）以外，在低俯仰角（24°）和高俯仰角（75°）時(shí)像點(diǎn)均在視場中心十字附近，最大偏差為1.80″。

圖13 有次鏡校正時(shí)各角度精跟像點(diǎn)位置Fig.13 Imaging point positions at different elevations with correction of secondary mirror

將上述有無次鏡校正時(shí)的精跟像點(diǎn)偏移量進(jìn)行整理，并繪制曲線，如圖14 所示（彩圖見期刊電子版）。其中，紅色曲線為無次鏡校正時(shí)不同仰角像點(diǎn)偏移采樣數(shù)據(jù)以及擬合的曲線；藍(lán)色曲線為有次鏡校正時(shí)不同仰角像點(diǎn)偏移采樣數(shù)據(jù)以及擬合的曲線。通過次鏡校正，像點(diǎn)偏移幅度在2″以內(nèi)，大幅減輕了精密跟蹤系統(tǒng)閉環(huán)校正的負(fù)擔(dān)，能夠保證后端成像系統(tǒng)正常工作。

圖14 有無次鏡校正精跟視場像點(diǎn)偏心量Fig.14 Imaging point position error with and without correction of seconday mirror

5 結(jié) 論

本文基于大口徑望遠(yuǎn)鏡工作中俯仰角度變化下次鏡姿態(tài)的調(diào)整需求，提出了一種基于次鏡曲率中心和無彗差點(diǎn)的次鏡姿態(tài)校正方法。通過Zemax 仿真驗(yàn)證了該方法的有效性，然后將該方法應(yīng)用于大口徑望遠(yuǎn)鏡。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：通過該方法校正次鏡姿態(tài)，望遠(yuǎn)鏡俯仰運(yùn)動(dòng)中次鏡姿態(tài)引入的成像偏移由12.85″縮減至1.80″，有效降低了后端精密跟蹤系統(tǒng)視場對準(zhǔn)校正的負(fù)擔(dān)，保證了高分辨成像系統(tǒng)的成像質(zhì)量。

該方法將經(jīng)典的無彗差點(diǎn)理論應(yīng)用于大口徑望遠(yuǎn)鏡次鏡姿態(tài)校正，簡單易實(shí)現(xiàn)，效果顯著，能夠滿足精密跟蹤系統(tǒng)前端的光路粗對準(zhǔn)需求，保證精密跟蹤系統(tǒng)的正常運(yùn)行。