論數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在高中數(shù)學(xué)課堂落地生根——以人教版高中“對(duì)數(shù)”教學(xué)為例

邵貴明，胡典順，柳福祥

論數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在高中數(shù)學(xué)課堂落地生根——以人教版高中“對(duì)數(shù)”教學(xué)為例

邵貴明1，2，胡典順1，柳福祥3

（1．華中師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430079；2．黃岡師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃岡 438000；3．三峽大學(xué) 理學(xué)院，湖北 宜昌 443002）

課堂教學(xué)中提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的策略有：數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)是橋梁和媒介；數(shù)學(xué)思想方法和思維方法是利劍；數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)文化是助推劑．選取高中數(shù)學(xué)“對(duì)數(shù)”教學(xué)為例展開教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)實(shí)踐，通過課堂實(shí)施的4個(gè)環(huán)節(jié)：歷史探源—激發(fā)動(dòng)力—發(fā)展思維，數(shù)據(jù)悟律—運(yùn)算求理—形成概念，模型轉(zhuǎn)換—邏輯推理—生成法則，內(nèi)化知識(shí)—發(fā)展能力—交流升華，分步論證揭示數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂落腳點(diǎn)、生長點(diǎn)和發(fā)展點(diǎn)．

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；成分分析；落實(shí)策略；教學(xué)設(shè)計(jì)

1 問題提出

2014年《教育部關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》明確了核心素養(yǎng)的概念，即學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力．之后《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）為高中數(shù)學(xué)確定了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．這些都為中國基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)學(xué)科的研究與實(shí)踐指明了方向．回顧近些年來關(guān)于數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的研究，較多地偏重理論，與落實(shí)到基礎(chǔ)教育實(shí)踐尚有距離．實(shí)際上早有教育研究者呼吁落實(shí)的問題．有的在基于文獻(xiàn)綜述的基礎(chǔ)上，提出研究數(shù)學(xué)素養(yǎng)的4個(gè)落腳點(diǎn)，其中強(qiáng)調(diào)了要分析數(shù)學(xué)素養(yǎng)的生成機(jī)制和探索數(shù)學(xué)素養(yǎng)生成的教學(xué)策略[1]．有的在梳理中國核心素養(yǎng)的研究進(jìn)展基礎(chǔ)上，提出未來研究工作應(yīng)關(guān)注5個(gè)方面，其中也特別關(guān)注了兩點(diǎn)：分析數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成機(jī)制，探索數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生成的教學(xué)策略[2]．后來又有學(xué)者分析學(xué)科核心素養(yǎng)形成機(jī)制時(shí)提出：學(xué)科知識(shí)是學(xué)科核心素養(yǎng)形成的主載體，學(xué)科活動(dòng)是學(xué)科核心素養(yǎng)形成的主路徑[3]．但依然是未能在課堂落地生根．

可見明晰數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵與構(gòu)成要素，將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的研究植根于基礎(chǔ)教育實(shí)際是非常必要的．因此，一方面必須深度剖析其內(nèi)涵及構(gòu)成要素，解決具體落實(shí)什么的問題，另一方面必須探討落實(shí)策略，結(jié)合具體的教學(xué)情境、教學(xué)內(nèi)容解決如何落實(shí)的問題．從而體現(xiàn)探究出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂的落腳點(diǎn)、生長點(diǎn)和發(fā)展點(diǎn)的一般規(guī)律．

2 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展歷程及成份的認(rèn)識(shí)

要想讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地生根，必須理解并認(rèn)識(shí)核心素養(yǎng)的本質(zhì)，挖掘其構(gòu)成要素，目前有數(shù)學(xué)思想方法說、思維說、能力說等．為了進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，就要從源頭來認(rèn)識(shí)核心素養(yǎng)的成分，才能明確中學(xué)課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成機(jī)理的核心要素．

2.1 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的起源及發(fā)展

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)概念的提出經(jīng)歷了一個(gè)不斷發(fā)展的過程．若追溯其源頭得從素養(yǎng)說起，最早研究素養(yǎng)的世界權(quán)威機(jī)構(gòu)是經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織（OECD）．1997年底，OECD和瑞士聯(lián)邦統(tǒng)計(jì)署（SFSO）贊助了一個(gè)國際性的跨界合作項(xiàng)目，即“素養(yǎng)的界定與選擇：理論和概念的基礎(chǔ)（DeSeCo）”．該項(xiàng)目由社會(huì)學(xué)家、評(píng)價(jià)專家、哲學(xué)家、人類學(xué)家、心理學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家、歷史學(xué)家、統(tǒng)計(jì)學(xué)家、教育學(xué)家以及決策者、政策分析師、貿(mào)易聯(lián)盟、雇主、全國性和國際性組織代表共21人組成，分別出版了關(guān)于核心素養(yǎng)的系列研究報(bào)告．如2001年出版論文集《確定與選擇核心素養(yǎng)》，2003年發(fā)表項(xiàng)目最終報(bào)告《指向成功生活和健全社會(huì)的核心素養(yǎng)》，以及2005年發(fā)表《核心素養(yǎng)的確定與選擇：執(zhí)行概要》．OECD認(rèn)為素養(yǎng)是運(yùn)用知識(shí)、技能和態(tài)度滿足特定情境中復(fù)雜需要的能力[4]．這個(gè)界定將素養(yǎng)的落腳點(diǎn)歸結(jié)在能力要素上．另外，由OECD主持的國際學(xué)生評(píng)價(jià)項(xiàng)目PISA主要用于測試中學(xué)生基本能力．PISA 2012數(shù)學(xué)素養(yǎng)的標(biāo)準(zhǔn)定義如下：數(shù)學(xué)素養(yǎng)是個(gè)人在不同情境下形成、應(yīng)用和闡釋數(shù)學(xué)的能力．它包括數(shù)學(xué)推理能力和使用數(shù)學(xué)概念、過程、事實(shí)和工具來描述、闡釋以及預(yù)測現(xiàn)象的能力．它有助于個(gè)體作為一個(gè)關(guān)心社會(huì)、善于思考的建設(shè)性公民，識(shí)別數(shù)學(xué)在世界中所起的作用并做出有根據(jù)的數(shù)學(xué)判斷和決定．

中國數(shù)學(xué)教育界高度關(guān)注并發(fā)展了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，2000年在初高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中，將思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力、解決實(shí)際問題的能力、創(chuàng)新意識(shí)、良好的個(gè)性品質(zhì)和辯證唯物主義觀點(diǎn)納入數(shù)學(xué)素養(yǎng)的范疇．其主力軍仍然是中國傳統(tǒng)意義上的三大能力．2002年在高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中繼續(xù)提到“使學(xué)生在高中階段繼續(xù)受到教育，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)”，依然強(qiáng)調(diào)了三大能力，且內(nèi)容更加豐富，加入了直覺猜想、歸納抽象、符號(hào)表示、演繹證明，更強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)思維能力．接下來中國在新一輪課程改革的課程標(biāo)準(zhǔn)中也著重強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)核心詞．直到以林崇德先生為首的核心素養(yǎng)課題組確立“中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)”：以培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”為核心，分為文化基礎(chǔ)、自主發(fā)展、社會(huì)參與3個(gè)方面，綜合表現(xiàn)為人文底蘊(yùn)、科學(xué)精神、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、健康生活、責(zé)任擔(dān)當(dāng)、實(shí)踐創(chuàng)新六大素養(yǎng)．其涉及范疇的實(shí)質(zhì)也是一種從內(nèi)修到應(yīng)用、從基礎(chǔ)到發(fā)展意義上的能力．

2.2 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分構(gòu)建的認(rèn)識(shí)

《課標(biāo)》確定了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．教育研究者也曾對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的成份構(gòu)建進(jìn)行了深入探討．蔡金法、徐斌艷從人才觀、數(shù)學(xué)觀（學(xué)科觀）論述了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的構(gòu)建分為數(shù)學(xué)交流、數(shù)學(xué)建模、智能計(jì)算思維和數(shù)學(xué)情感4個(gè)方面[5]；李星云構(gòu)建了數(shù)學(xué)交流、數(shù)學(xué)推理、運(yùn)算能力、空間觀念、數(shù)據(jù)分析能力和數(shù)學(xué)建模6個(gè)方面[6]；何小亞在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)指標(biāo)之反思中又提出了數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)意識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)情感態(tài)度價(jià)值觀六大框架[7]．

這些研究普遍認(rèn)為數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)最重要的部分，并從不同的視角剖析了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的成份構(gòu)建，各有千秋．不同的是各自的分類和側(cè)重點(diǎn)略有差異，主要表現(xiàn)在以下4個(gè)方面．第一，對(duì)數(shù)學(xué)推理表述的側(cè)重點(diǎn)不同．蔡金法等則模糊了數(shù)學(xué)推理的界限，將數(shù)學(xué)推理內(nèi)滲于數(shù)學(xué)交流與數(shù)學(xué)建模中．《課標(biāo)》把數(shù)學(xué)推理明確為邏輯推理，將直覺思維下的合情推理及猜想歸入直觀想象中，顯得語言更簡潔、脈絡(luò)更清晰．第二，數(shù)學(xué)抽象對(duì)應(yīng)的歸類不同．何小亞采用過程化處理方式將數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模歸到數(shù)學(xué)化一類中，但是數(shù)學(xué)化對(duì)于中學(xué)教師而言是一個(gè)較模糊的概念，不利于分清層次．《課標(biāo)》的表述顯得實(shí)踐指導(dǎo)性更強(qiáng)．第三，成份的內(nèi)涵表述不同．《課標(biāo)》在數(shù)學(xué)運(yùn)算的具體表示中強(qiáng)調(diào)運(yùn)算法則、演繹推理、數(shù)理邏輯．蔡金法、徐斌艷突出強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)智能計(jì)算思維，這是對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算內(nèi)容的時(shí)代性豐富．第四，關(guān)于數(shù)學(xué)交流．有些學(xué)者將之作為成份之一并單列出來．事實(shí)上，數(shù)學(xué)交流存在于一切數(shù)學(xué)活動(dòng)之中，數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)抽象，甚至數(shù)學(xué)計(jì)算也是一種數(shù)學(xué)交流形式．從某種意義上來說把數(shù)學(xué)交流看成是一種素質(zhì)內(nèi)隱的活動(dòng)或許更好．此外，喻平通過因素分析、聚類分析得出六大核心素養(yǎng)本質(zhì)上均為能力[8]．

3 落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)策略

目前有部分學(xué)者研究了有關(guān)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落實(shí)到中學(xué)實(shí)踐的問題．例如常磊、鮑建生分析論述了在情景視角下落實(shí)核心素養(yǎng)的策略[8]．史寧中在“學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與教學(xué)”一文中論述了“用數(shù)學(xué)的眼睛看”落實(shí)數(shù)學(xué)抽象，“用數(shù)學(xué)的思維想”落實(shí)邏輯推理，“用數(shù)學(xué)的語言說”落實(shí)數(shù)學(xué)模型[9]．章建躍、程?？愿怕收n程為例，宋運(yùn)明以勾股定理內(nèi)容為例，主要從編寫教材的角度談如何落地[10-11]．呂傳漢提出教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)（簡稱“三教”）的教育理念，嘗試用“三教”引領(lǐng)“創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境與提出數(shù)學(xué)問題”培育學(xué)生核心素養(yǎng)[12]．這些研究主要還是基于理念探討的層面，仍缺乏具體的指導(dǎo)性和可操作性．

要想讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在中學(xué)課堂落地生根，根據(jù)以上分析，提升學(xué)生的能力和關(guān)鍵品格是主抓手．克魯杰茨基曾經(jīng)說，只有在分析特定活動(dòng)的基礎(chǔ)上才能揭示能力，并在實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出了能力的12成份說．但根據(jù)中國的國情和習(xí)慣，數(shù)學(xué)能力分為一般能力和三大特殊能力．一般能力是指觀察力、注意力、記憶力．?dāng)?shù)學(xué)特殊能力是指邏輯推理能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．提升能力必然要在教學(xué)活動(dòng)中展開，而實(shí)際教學(xué)活動(dòng)教師教什么是問題的關(guān)鍵．教學(xué)是以數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)為媒介，教給學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法和思維能力，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)精神和感悟數(shù)學(xué)文化魅力的一種復(fù)雜活動(dòng)．?dāng)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)是一切能力中最核心、最關(guān)鍵的能力．它不是孤立的，而是融合在教學(xué)活動(dòng)中的．因此，在提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)過程中，落實(shí)策略為：數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)是橋梁和媒介，數(shù)學(xué)思想方法和思維方法是利劍，數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)文化是助推劑．

鑒于目前豐富多彩的以說理為主的研究操作性不強(qiáng)，特此以課例為支點(diǎn)展開研究．首先剖析學(xué)科知識(shí)的內(nèi)容和結(jié)構(gòu)，發(fā)揮其橋梁和媒介作用，展開教學(xué)活動(dòng)．整個(gè)教學(xué)活動(dòng)中數(shù)學(xué)思想方法和思維方法就像一把利劍，把各個(gè)核心素養(yǎng)串連起來，各個(gè)擊破．同時(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科精神和數(shù)學(xué)文化為數(shù)學(xué)課堂增加了哲學(xué)意蘊(yùn)和人文關(guān)懷，有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．中學(xué)數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)圍繞上述線路展開，期望為研究者和一線教師提供借鑒．

4 基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)過程呈現(xiàn)

選用人教版高中數(shù)學(xué)必修1的“對(duì)數(shù)”教學(xué)為例，基于核心素養(yǎng)為課堂教學(xué)的落腳點(diǎn)、生長點(diǎn)和發(fā)展點(diǎn)，進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)踐探索．選用該課例的原因是學(xué)生對(duì)于這節(jié)課普遍認(rèn)為抽象、難以理解．現(xiàn)實(shí)教學(xué)中新授課后，仍然有相當(dāng)數(shù)量的學(xué)生在計(jì)算上會(huì)犯“積的對(duì)數(shù)等于對(duì)數(shù)的積”這樣的錯(cuò)誤．基于落實(shí)核心素養(yǎng)的理念來換角度設(shè)計(jì)并實(shí)施教學(xué)，從考慮對(duì)數(shù)相應(yīng)的數(shù)量及數(shù)量關(guān)系入手，兼顧數(shù)學(xué)的歷史發(fā)生原理，即當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)遇到障礙的時(shí)候，反思?xì)v史上數(shù)學(xué)家們是不是也曾遇到這樣的困惑，將數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)文化作為助推劑．

事實(shí)上，1614年蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J. Napier，1550—1617）出版了《奇妙的對(duì)數(shù)定律說明書》，他被認(rèn)為是對(duì)數(shù)的發(fā)明者．從那時(shí)到1728年瑞士的大數(shù)學(xué)家歐拉（L. Euler，1707—1783）理順指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系：對(duì)數(shù)源于指數(shù)．“對(duì)數(shù)”這個(gè)概念經(jīng)歷了一百多年才真正為人們所接受．要想頃刻間讓學(xué)生接受對(duì)數(shù)的概念和運(yùn)算法則這個(gè)事實(shí)是相當(dāng)困難的．盡管教材后面也有“對(duì)數(shù)的發(fā)明”的閱讀材料，只可惜不足以引起師生們的重視．因此基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的視角進(jìn)行重新設(shè)計(jì)“對(duì)數(shù)”的教學(xué)是必要的．另外，落實(shí)到具體的某節(jié)課，并非一次性將六大核心素養(yǎng)都體現(xiàn)出來．在“對(duì)數(shù)”這節(jié)課中，主要考察數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象、數(shù)學(xué)模型5個(gè)方面．這里按照教學(xué)流程展示其中部分細(xì)節(jié)．

4.1 歷史探源 激發(fā)動(dòng)力 發(fā)展思維

基于落實(shí)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)方案，以數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化的視角導(dǎo)入課題，深度激發(fā)學(xué)生的探究欲望，教學(xué)中發(fā)揮數(shù)學(xué)思想方法和思維方法的利劍作用．簡要經(jīng)歷對(duì)數(shù)發(fā)明的歷程，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象的過程中，經(jīng)歷感受并體驗(yàn)納皮爾發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)的思維活動(dòng)，在運(yùn)算結(jié)構(gòu)由淺入深的過程中提升運(yùn)算能力、邏輯推理能力．以下為部分教學(xué)設(shè)計(jì)．

教師通過生動(dòng)講解，導(dǎo)入如下內(nèi)容：自古以來人們都在追求長壽的秘訣，有一位數(shù)學(xué)家發(fā)明了一種神奇的運(yùn)算，成倍地延長了科學(xué)家和工程技術(shù)人員的壽命，大家知道是誰嗎？（停頓）他就是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾．納皮爾是位神奇的人物，每次在公眾場合出場都帶著他的寵物蜘蛛和公雞，他在1594—1614年間花了人生寶貴的20年打造了第一個(gè)神奇的對(duì)數(shù)表，這種對(duì)數(shù)的方法化乘除為加減，化乘方開方運(yùn)算為乘除運(yùn)算，大大縮減了繁雜冗長的運(yùn)算．恩格斯將之比喻為數(shù)學(xué)科學(xué)的最有力的杠桿之一[13]．這個(gè)有力的杠桿是怎樣工作的呢？事實(shí)上，納皮爾也是以阿基米德等前人的工作為基礎(chǔ)的．

目前，全國有84689個(gè)城市社區(qū)、59.9萬個(gè)建制村（社區(qū)），共有社區(qū)居委會(huì)成員43.1萬人、村民委員會(huì)成員234萬人，社區(qū)公共服務(wù)從業(yè)人員215.8萬人，社區(qū)志愿者2900多萬人，還有一批具備專業(yè)知識(shí)的兼職工作人員進(jìn)入社區(qū)工作，城鄉(xiāng)社區(qū)服務(wù)事業(yè)取得了顯著成就[2]。但是隨著工業(yè)化、信息化、城鎮(zhèn)化、農(nóng)業(yè)現(xiàn)代化、市場化、國際化的進(jìn)程逐步加快，我國城鄉(xiāng)社區(qū)服務(wù)體系建設(shè)仍然處于初級(jí)階段，存在許多困難和問題，也面臨許多機(jī)遇和挑戰(zhàn)。

學(xué)生跟隨老師一起運(yùn)算，通過比較，初步感受用加法處理乘法之運(yùn)算簡便的神奇功效．為后面進(jìn)行由數(shù)列到函數(shù)的類比過渡，為概念的數(shù)學(xué)抽象做準(zhǔn)備．接著教師引導(dǎo)分析，為了更清楚地反應(yīng)這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系，不妨用函數(shù)來表示這樣的兩個(gè)數(shù)列中數(shù)的關(guān)系．同時(shí)將正整數(shù)擴(kuò)充到整數(shù)、甚至實(shí)數(shù)，繼續(xù)來觀察表2．

表1 雙數(shù)列的對(duì)應(yīng)關(guān)系

表2 兩數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系

在表2中，下欄和上欄兩變量之間的關(guān)系為指數(shù)函數(shù)關(guān)系：=2，在對(duì)下欄的數(shù)做加法的基礎(chǔ)上繼續(xù)驗(yàn)證做減法、乘法、乘方運(yùn)算，可以得到對(duì)應(yīng)等比數(shù)列中的數(shù)作除法、乘方、開方運(yùn)算．（引導(dǎo)學(xué)生檢驗(yàn)）

4.2 數(shù)據(jù)悟律 運(yùn)算求理 形成概念

學(xué)生在檢驗(yàn)另外3種運(yùn)算中體驗(yàn)了計(jì)算的強(qiáng)大和簡便，對(duì)應(yīng)關(guān)系的巧妙．通過檢驗(yàn)從數(shù)量關(guān)系中逐步過渡到抽象出函數(shù)關(guān)系，建立指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)模型．

在這個(gè)落實(shí)初步數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的基本過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生從簡單到復(fù)雜的過程中，理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算方向、尋求運(yùn)算結(jié)果，從數(shù)據(jù)的比較分析中探知對(duì)應(yīng)關(guān)系的規(guī)律．

圖1 指數(shù)式和對(duì)數(shù)式中各要素的對(duì)應(yīng)關(guān)系

學(xué)生仔細(xì)觀察領(lǐng)悟，根據(jù)表2和這個(gè)互逆運(yùn)算圖，感受數(shù)學(xué)抽象概念——對(duì)數(shù)的誕生，逐步明白對(duì)數(shù)的“對(duì)”的本質(zhì)是“對(duì)應(yīng)”，體會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算的法則，用對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行數(shù)學(xué)概念下定義的方法．課堂由運(yùn)算悟律過渡到概念生成．

表3 納皮爾創(chuàng)造的對(duì)應(yīng)關(guān)系

學(xué)生跟隨教師的引導(dǎo)，一步步地進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，建立底數(shù)不同的對(duì)數(shù)模型，逐步過渡到一般化問題，興趣盎然地感受數(shù)學(xué)的魅力，逐步形成類似數(shù)學(xué)家的樂于探究的趨同感．教師指出，直到1728年瑞士的大數(shù)學(xué)家歐拉才理順指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系，他認(rèn)為對(duì)數(shù)源于指數(shù)，從指數(shù)式的數(shù)量關(guān)系中可以突出互逆運(yùn)算的特征．引導(dǎo)學(xué)生訓(xùn)練并熟練掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)互化，加深認(rèn)識(shí)對(duì)數(shù)符號(hào)和概念本質(zhì)，為后續(xù)探究運(yùn)算法則作鋪墊．接下來進(jìn)行課堂演練指數(shù)式、對(duì)數(shù)式互化．

4.3 模型轉(zhuǎn)換 邏輯推理 生成法則

對(duì)于教師引導(dǎo)學(xué)生猜想對(duì)數(shù)的運(yùn)算會(huì)有哪些規(guī)則這個(gè)問題，在一個(gè)示范高中教學(xué)實(shí)踐中，發(fā)現(xiàn)一部分學(xué)生按照從指數(shù)類比到對(duì)數(shù)來推導(dǎo)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，即以對(duì)數(shù)來源于指數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)為邏輯推理的基礎(chǔ)（雖然歷史上，對(duì)數(shù)的概念發(fā)展先于指數(shù)函數(shù)）．事實(shí)上，對(duì)于指數(shù)、對(duì)數(shù)式互化的關(guān)系，大部分學(xué)生還只是停留在建立概念的需要，并不能深入到應(yīng)用其推導(dǎo)法則．教師仍要激發(fā)學(xué)生用比較與類比的思想來思考，才能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之邏輯推理素養(yǎng)，可以采用如下引導(dǎo)語：既然對(duì)數(shù)概念是從指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化得出的，那么類比指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)是否能得到對(duì)數(shù)運(yùn)算法則？學(xué)生逐條寫出指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，反復(fù)比較依據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系進(jìn)行推理，將指數(shù)式換成有算理意義的對(duì)數(shù)式，試圖就得出對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則．

課堂表現(xiàn)為教師呈現(xiàn)表格（見表4），學(xué)生提筆耐心計(jì)算逐一填表．師生共同獲得結(jié)論，領(lǐng)悟核心素養(yǎng)的內(nèi)涵之邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算之間的關(guān)聯(lián)，領(lǐng)悟指數(shù)模型、對(duì)數(shù)模型對(duì)運(yùn)算的貢獻(xiàn)．

表4 對(duì)數(shù)運(yùn)算思維過程

數(shù)學(xué)的運(yùn)算法則也就是在這種邏輯推理的思維過程中順理成章地生成的，符合課程標(biāo)準(zhǔn)制定組的導(dǎo)向，將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有心處理落實(shí)到無意教學(xué)中．同時(shí)在經(jīng)歷用類比思想、化歸思想做數(shù)學(xué)的過程中，夯實(shí)基本知識(shí)、掌握基本技能，培養(yǎng)了分析問題、解決問題的能力．

4.4 內(nèi)化知識(shí)發(fā)展能力交流升華

實(shí)踐教學(xué)中另一部分學(xué)生卻是按照下列方式來思考的．師生通過直觀、類比想象實(shí)數(shù)的加減乘除運(yùn)算法則，考慮既然對(duì)數(shù)也是數(shù)，通過實(shí)數(shù)類比對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，即能否確定兩個(gè)對(duì)數(shù)的和差積商的運(yùn)算關(guān)系？

5 結(jié)語

為了進(jìn)一步落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)到基礎(chǔ)教育的實(shí)踐，追溯數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展歷程，梳理了國內(nèi)外的相關(guān)研究，得出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)側(cè)重于能力層面．針對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)和數(shù)學(xué)的本質(zhì)展開了探索，探究數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂教學(xué)中的依存方式，認(rèn)為在提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)過程中，數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)是橋梁和媒介，數(shù)學(xué)思想方法和思維方法是利劍，數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)文化是助推劑．立足于高中數(shù)學(xué)課堂實(shí)踐基礎(chǔ)，選擇普通高中概念教學(xué)的難點(diǎn)“對(duì)數(shù)”，進(jìn)行具體的教學(xué)設(shè)計(jì)并實(shí)施教學(xué)檢驗(yàn)，獲得了較好的實(shí)驗(yàn)效果．今后為了進(jìn)一步驗(yàn)證核心素養(yǎng)落實(shí)到課堂實(shí)踐的一般規(guī)律，還可以從命題教學(xué)、問題解決等方面選取不同的題材進(jìn)行再探究，探索數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂落腳點(diǎn)、生成點(diǎn)、發(fā)展點(diǎn)，為高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施開辟基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地生根的一般規(guī)律，力求從教育理論研究走向教學(xué)實(shí)踐提供更豐富的范例和啟示作用．

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A Case Study on Rooting the Mathematics Core Competencies in High School Mathematics Teaching——An Example of the “Logarithm” Teaching in the High School

SHAO Gui-ming1, 2, HU Dian-shun1, LiuFu-xiang3

(1. College of Mathematics and Statistic, Central China Normal University, Hubei Wuhan 430079, China;2. College of Mathematics and Statistic, Huanggang Normal University, Hubei Huanggang 438000, China;3. College of Science, China Three Gorges University, Hubei Yichang 443002, China)

The study focuses on the strategies to improve students’ mathematics core competencies in classroom teaching: mathematics subject knowledge is the bridge and medium; mathematics thinking method and thinking ability are the sword; mathematical spirit and mathematical culture are the booster. Selecting the “l(fā)ogarithm” as an example of teaching practice, the authors divide the teaching process into four parts: exploring the historical source-stimulating motivation-developing thinking; understanding the law of data-reasoning from arithmetic-forming the concept; doing the model transformation-logic reasoning-rule generation; and internalizing knowledge-developing capability-communication and sublimation. Through step-by-step argumentation, this study also reveals the foothold, rooting point and development point at which teachers can improve students’ mathematics core competencies in their class teaching.

mathematics core competencies; component analysis; strategy implementation; teaching design

G632.0

A

1004-9894（2020）06-0046-05

邵貴明，胡典順，柳福祥．論數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在高中數(shù)學(xué)課堂落地生根——以人教版高中“對(duì)數(shù)”教學(xué)為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2020，29（6）：46-50．

2020-06-20

教育部人文社會(huì)科學(xué)研究規(guī)劃基金項(xiàng)目——中小學(xué)核心素養(yǎng)測評(píng)的模型建構(gòu)與實(shí)證研究（19YJA880012）；黃岡師范學(xué)院數(shù)學(xué)應(yīng)用與信息處理訓(xùn)練中心項(xiàng)目——“翻”出課堂，“轉(zhuǎn)”出精彩（SXZX201810）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助——基于學(xué)習(xí)分析技術(shù)的高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)模型研究（CCNU19TS029）；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)項(xiàng)目——教師教育專項(xiàng)（CCNUTE2020-04）

邵貴明（1973—），女，湖北鄂州人，副教授，碩士生導(dǎo)師，博士生，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、陳漢君]