• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    仿拓撲群嵌入性質的一點注記

    2020-12-22 06:37:32郭偉業(yè)
    關鍵詞:權勢公理子群

    郭偉業(yè)

    (五邑大學數學與計算科學學院,廣東江門529020)

    設τ是抽象群G上的一個拓撲.稱(G,τ)是半拓撲群,如果對于群G上一個元在G中的左乘法運算和右乘法運算都是連續(xù)的;稱(G,τ)是仿拓撲群,如果群G上的乘法運算是連續(xù)的;稱(G,τ)是拓撲群,如果(G,τ)是仿拓撲群且群G上的逆運算是連續(xù)的[1-2].

    1953年,Katz[3]證明了:設G是T2拓撲群,則G拓撲同構于一族可度量化拓撲群乘積空間的子群當且僅當G是ω—balanced.Guran[4]最早研究ω—narrow 拓撲群并在1981年得到結論:拓撲群G拓撲同構于一族滿足第二可數公理拓撲群乘積空間的子群當且僅當G是ω—narrow.2007年,Sanchis 等[5]研究了仿拓撲群中完全Lindel?f 和完全ω—narrow 的相關性質.2009年,Tkachenko 將文獻[3-4]的結果推廣到仿拓撲群中,引入了Hausdorff數和正則數這兩個新的基數不變量,并進一步給出了仿拓撲群能表示成第一可數仿拓撲群或第二可數仿拓撲群乘積空間子群的刻畫,分別得到文獻[8]中定理2.7、定理2.8、定理3.6、定理3.8.2015年,Sánchez[6]將Tkachenko[7]的結論推廣到T0和T1分離公理.自然地,我們能否將文獻[6-7]結論中的ω推廣到無限基數κ?本文在文獻[8]的基礎上,研究了特征或權勢不大于κ的仿拓撲群乘積空間子群的等價條件.

    1 預備知識

    為方便起見,文中的N(eG)均表示仿拓撲群(半拓撲群)G中包含單位元eG的所有開鄰域的集族,ω表示可數基數,κ為無限基數.

    定義1[8]設(G,τ)是仿拓撲群,稱τ-1={U-1:U∈τ} 為G的共軛拓撲.記τ*=τ∨τ-1是拓撲群G上的上界拓撲,則稱G*=(G,τ*)是仿拓撲群G的共軛拓撲群.

    定義2[1]設G是仿拓撲群,如果對于任意U∈N(eG),存在子集族γ?N(eG)滿足 |γ|≤κ,使得對于任意x∈G,存在V∈γ,滿足xVx-1?U,則稱γ從屬于U.如果對于任意U∈N(eG),存在γ從屬于U,則稱G是κ—balanced.

    定義3[1]設G是仿拓撲群,如果對于任意U∈N(eG),存在一個子集C?G滿足 |C|≤κ,使得CU=G=UC,則稱G是κ—narrow.如果G的共軛拓撲群G*是κ—narrow,則稱G是完全κ—narrow.

    如果定義2和定義3的κ取為ω,則分別稱仿拓撲群G是ω-balanced和完全ω—narrow.

    定義4[5]設G是半拓撲群.如果存在可數集族γ?N(eG),使得對于任意x∈U,存在V∈γ,滿足xV?U,則稱半拓撲群G的子集U為ω—good集.

    定義5[8]設P是某一給定的拓撲性質,G是仿拓撲群,如果對于任意U∈N(eG),存在一個從G到具有性質P的仿拓撲群HU的連續(xù)同態(tài)pU:G→HU,使得對于某一V∈N(eHU),有p-U1(V)?U,則稱G是投射滿足P的.

    定義6[8]設G是具有單位元eG的半拓撲群,

    1)如果G滿足T2分離公理,且對于任意U∈N(eG),存在一個集族γ?N(eG),使得 |γ|≤κ且∩V∈γVV-1?U,則稱該最小基數κ為G的Hausdorff數,記作Hs(G);

    2)如果G滿足正則分離公理,且對于任意U∈N(eG),存在一個集族γ?N(eG)和V∈γ,使得 |γ|≤κ且∩W∈γVW-1?U,則稱該最小基數κ為G的正則數,記作Ir(G).

    2 主要結論

    命題1[1]設γ是抽象群G中單位元eG的一個集族,滿足下列條件:

    1)對于任意U∈γ,存在V∈γ,使得V2?U;

    2)對于任意U∈γ和任意x∈G,存在V∈γ,使得xV?U;

    3)對于任意U∈γ和任意x∈G,存在V∈γ,使得xVx-1?U;

    4)對于任意U,V∈γ,存在W∈γ,使得W?U?V.

    則τ={U?G:任意a∈U,存在V∈γ,使得aV?U} 是群G上一個拓撲,使得(G,τ)構成仿拓撲群且γ是仿拓撲群G中單位元eG的一個鄰域基.

    首先我們討論T2仿拓撲群嵌入的刻畫.

    命題2[8]設半拓撲群G滿足T2分離公理,H是G的子群,則Hs(H)≤Hs(G).

    命題3設半拓撲群G滿足T2分離公理,則Hs(G)≤χ(G).

    命題4[8]設{Gi:i∈I} 是滿足T2分離公理的半拓撲群族,如果對于任意i∈I都有Hs(Gi)≤κ,則對于拓撲乘積G=∏i∈IGi有Hs(G)≤κ.

    引理1[5]包含仿拓撲群G中單位元eG的所有ω—good集組成的集族構成G中單位元eG的鄰域基.

    引理2[8]設G是仿拓撲群,若子集族γ?N(e)滿足下列條件:

    1)對于任意U∈,γ存在V∈γ,使得V2?U;

    2)γ的有限交是封閉的;

    3)對于任意U∈γ,γ從屬于U.則是G的一個閉的不變子群.

    引理3設G是仿拓撲群,

    1)如果G滿足T2分離公理,則G是投射滿足T2分離公理且滿足特征(權勢)小于等于κ的仿拓撲群當且僅當G拓撲同構于一族滿足T2分離公理且滿足特征(權勢)小于等于κ仿拓撲群族{Hα:α∈Α} 乘積空間的一個子群.

    2)如果G滿足正則分離公理,則G是投射滿足正則分離公理且滿足特征(權勢)小于等于κ的仿拓撲群當且僅當G拓撲同構于一族滿足正則分離公理且滿足特征(權勢)小于等于κ仿拓撲群族{Hα:α∈Α} 乘積空間的一個子群.

    證明只證仿拓撲群G滿足T2分離公理的情況,G滿足正則分離公理的情況類似可證.

    必要性固定G中單位元eG的一個開鄰域基B,使得 |B|≤κ.因為G是投射滿足T2分離公理且滿足權勢小于等于κ的仿拓撲群,所以對于任意U∈B,存在一個從G到滿足T2分離公理且滿足權勢小于等于κ的仿拓撲群HU的連續(xù)同態(tài)pU:G→HU,使得對于HU中單位元eHU的某一開鄰域V,有(V)?U.顯然∏U∈B HU是滿足T2分離公理且滿足權勢小于等于κ的仿拓撲群.作對角乘積p= ∏U∈BPU:G→∏U∈B HU,則p是G到∏U∈B HU的一個嵌入,從而G拓撲同構于一族滿足T2分離公理且滿足權勢小于等于κ仿拓撲群{Hα:α∈Α} 乘積空間的一個子群.

    充分性設p:G→∏a∈AHa是一個嵌入,pJ:∏a∈AHa→∏a∈J Ha是一個投射,其中J?Α是有限集族,顯然p和pJ是連續(xù)同態(tài)且是一一映射.對于任意U∈N(eG),取Vα∈N(eHα),其中α∈J,則V=∏a∈J Va是乘積空間HU=∏a∈J Ha中單位元的一個開鄰域.因為仿拓撲群族{Hα:α∈Α} 滿足T2分離公理且滿足特征小于等于κ,所以仿拓撲群∏a∈AHa也滿足T2分離公理且滿足特征小于等于κ.仿拓撲群HU作為∏a∈AHa的子空間也遺傳同樣的性質.取pU=pJ°p,則pU是一個從G到滿足T2分離公理且滿足權勢小于等于κ的仿拓撲群HU的連續(xù)同態(tài).對于上述的V∈N(eHU),則

    故p-J1(∏a∈JVa)和p(G)是∏a∈A Ha中單位元的開鄰域.從而是∏a∈A Ha中單位元的開鄰域.所以是G中單位元的開鄰域.根據開集的定義,對于上述的U∈N(eG),我們找到使得

    由于仿拓撲群是齊性空間,因此特征的情況是顯然的.

    定理1設仿拓撲群G滿足T2分離公理,{Hi:i∈I} 是滿足特征小于等于κ且滿足T2分離公理的仿拓撲群族,則G拓撲同構于拓撲乘積∏=∏i∈IHi的一個子群當且僅當G是κ—balanced且Hs(G)≤κ.

    證明必要性假設G拓撲同構于拓撲乘積∏=∏i∈IHi的一個子群.因為Π中的標準開集除了有限個坐標外,其余都取Hi,另外滿足特征小于等于κ且滿足T2分離公理的仿拓撲群集族{Hi:i∈I} 是κ—balanced,因此Π 是κ—balanced.又因為κ—balanced 具有子群遺傳性,因此G也是κ—balanced.根據命題2 至命題4 可得Hs(G)≤Hs(Π)≤κ.

    充分性設G是κ—balanced仿拓撲群且滿足Hs(G)≤κ,根據引理3只需證特征小于等于κ的κ—balanced仿拓撲群G是投射滿足T2分離公理且滿足特征小于等于κ的,即證對于任意U0∈N(eG),存在一個從G到滿足特征小于等于κ且滿足T2分離公理的仿拓撲群HU0的連續(xù)同態(tài)pU0:G→HU0,使得對于HU0中單位元eHU0的某一開鄰域V0,有

    設N*(eG)是包含仿拓撲群G中單位元eG的所有ω—good 集組成的集族,由引理1 可知N*(eG)是G中單位元eG的鄰域基.下面通過歸納法構造序列{γn:n∈ω} ?N*(eG).取U0*∈N*(eG)滿足U0*?U0和γ0={U0*}.設對某個n∈κ,定義集族γ0,γ1,…,γn,對于任意k≤n都滿足下列條件:

    1)γk?N*(eG)且 |γk|≤κ;

    2)γk?γk+1;

    3)γk的有限交是封閉的;

    4)對于任意U∈γk,存在V∈γk+1,使得V2?U;

    5)對于任意U∈γk,γk+1從屬于U;

    6)對于任意U∈γk和x∈U,存在V∈γk+1,使得xV?U;

    假設條件2)以及4)-7)中的k+ 1 ≤n.因為G是仿拓撲群且 |γn|≤κ,所以存在子集族λn,1?N*(eG)滿足|λn,1|≤κ,對于任意U∈γn,存在V∈λn,1,使得V2?U.由于G是κ—balanced,故存在子集族λn,2?N*(eG)滿足|λn,2|≤κ,對于任意U∈γn和x∈G,存在V∈λn,2,使得xVx-1?U.又因為Hs(G)≤κ,所以可以找到子集族λn,3?N*(eG)滿足|λn,3|≤κ,對于任意U∈γn,有根據N*(eG)的定義,存在子集族λn,4?N*(eG)滿足|λn,4|≤ω,對于任意U∈γn和x∈U,都能找到V∈λn,4,使得xV?U.令γ′n+1=是包含γ′n+1關于有限交封閉的最小集族,顯然|γn+1|≤κ.容易驗證γ0,γ1,…,γn+1滿足上述條件1)-6),從而完成構造.

    8)對于任意Α,B∈μ,存在C∈μ,使得C?Α?B;

    9)對于任意Α∈μ,存在B∈μ,使得B2??。?/p>

    10)對于任意Α∈μ,μ從屬于??;

    11)對于任意Α∈μ和y∈Α,存在B∈μ,使得yB?Α;

    12)對于任意異于HU0中單位元eHU0的一點x,存在Α∈μ,使得Α?xΑ= ?.

    因為集族γ的有限交是封閉的,因此條件8)成立.由γ和μ的定義,對條件4)和5)進行歸納構造可以得到條件8)和9).下面驗證條件10).對于任意Α∈μ和y∈Α,根據μ的定義,存在U∈γ和x∈U,使得Α=pU(U)且y=pU(x).根據條件6)和γ的定義,對于上述的U∈γ和x∈U,存在V∈γ,使得xV?U.記B=pU(V),則

    即yB?Α.結合條件8)-12)和命題1可知

    是HU0上的拓撲,使得(HU0,τ)是仿拓撲群且μ是HU0上單位元eHU0的一個鄰域基.

    下證條件12).由于 |μ|≤κ,故仿拓撲群HU0滿足χ(HU0)≤κ.任取則存在x∈G,使得pU0(x)=y.因為所以存在V∈γ,使得x?VV-1,即V?xV= ?.取W∈γ,使得W2?V,則對于O=pU0(W)∈μ,有O?yO= ?.否則,我們可以找到某a,b∈W,使得pU0(a)=ypU0(b)=pU0(xb),即a=xb,從而a-1xb=eG∈N.再結合N?W和W2?V可得:

    這與x?VV-1矛盾.從而條件12)得證.故仿拓撲群()HU0,τ滿足T2分離公理.

    取U∈γ,使得U2?U0*,則V0=pU0(U)∈N(eHU0)且

    因此仿拓撲群G是投射滿足T2分離公理且滿足特征小于等于κ.由引理3 可知G拓撲同構于Π 的一個子群H.

    引理4[9]設仿拓撲群G滿足T2分離公理,則

    1)若χ(G)≤κ,則G*是滿足特征小于等于κ且滿足T2分離公理的拓撲群.

    2)若w(G)≤κ,則G*是滿足權勢小于等于κ且滿足T2分離公理的拓撲群.

    引理5[9]設G是完全κ—narrow仿拓撲群,則G是κ—balanced仿拓撲群.

    引理6設完全κ—narrow仿拓撲群G是投射滿足T(2正則)分離公理且滿足特征小于等于κ的,則G是投射滿足T(2正則)分離公理且滿足權勢小于等于κ.

    證明只證T2分離公理的情況,正則分離公理的情況類似可證.

    任取U∈N(eG),因為G是投射滿足T2分離公理且滿足特征小于等于κ的,因此存在一個從G到滿足特征小于等于κ且滿足T2分離公理仿拓撲群HU的連續(xù)同態(tài)pU:G→HU,使得對于某一V∈N(eH),有因為G是完全κ—narrow仿拓撲群,由pU的連續(xù)性可知HU也是完全κ—narrow仿拓撲群,故HU的narrow 數nw(HU)≤κ.又因為χ(HU)≤κ,根據文獻[9]的推論2.14 可知w(HU)≤nw(HU)?χ(HU)≤κ.因此對于上述的U∈N(eG),存在一個從G到滿足權勢小于等于κ且滿足T2分離公理仿拓撲群HU的連續(xù)同態(tài)pU:G→HU,使得對于某一V∈N(eH),有p-

    U1(V)?U.所以G是投射滿足T2分離公理且滿足權勢小于等于κ.

    定理2設仿拓撲群G滿足T2分離公理,{Hi:i∈I} 是滿足權勢小于等于κ且滿足T2分離公理的仿拓撲群族,則G拓撲同構于拓撲乘積∏=∏i∈IHi的一個子群當且僅當G是完全κ—narrow且Hs(G)≤κ.

    證明 必要性設{Hi:i∈I} 是滿足特征小于等于κ且滿足T2分離公理的仿拓撲群族,G是∏=∏i∈I Hi的一個子群.由引理4 可知,對于任意i∈I,Hi*是滿足權勢小于等于κ且滿足T2分離公理的拓撲群.因此Hi*是κ—narrow 拓撲群.因為κ—narrow 拓撲群的拓撲乘積以及子群都是κ—narrow 拓撲群,因此G*是κ—narrow拓撲群,從而G是完全κ—narrow仿拓撲群.

    充分性設G是完全κ—narrow仿拓撲群,由引理5知G是κ—balanced仿拓撲群.又因為Hs(G)≤κ,所以由定理1 得仿拓撲群G拓撲同構于一族滿足特征小于等于κ且滿足T2分離公理的仿拓撲群族{Hi:i∈I}拓撲乘積∏=∏i∈I Hi的一個子群.由引理3 知G是投射滿足T2分離公理且滿足特征小于等于κ的仿拓撲群.利用引理6 可得完全κ—narrow 仿拓撲群G是投射滿足T2分離公理且滿足權勢小于等于κ的仿拓撲群.最后再次利用引理3 可得G拓撲同構于一族滿足權勢小于等于κ且滿足T2分離公理仿拓撲群集族{Hi:i∈I} 的拓撲乘積的子群.

    類似于T2仿拓撲群嵌入的刻畫,我們可以類似地得到正則仿拓撲群嵌入的刻畫.

    命題5[8]設半拓撲群G滿足正則分離公理,H是G的子群,則Ir(H)≤Ir(G).

    命題6設半拓撲群G滿足正則分離公理,則Ir(G)≤χ(G).

    命題7[8]設{Gi:i∈I} 是滿足正則分離公理的半拓撲群族,如果對于任意i∈I都有Ir(Gi)≤κ,則對于拓撲乘積G= Πi∈IGi有Ir(G)≤κ.

    將定理1和定理2中T2分離公理改為正則分離公理,得到定理3和定理4.讀者可以仿照定理1和定理2的證明方法自行證明.

    定理3設仿拓撲群G滿足正則分離公理,{Hi:i∈I} 是滿足特征小于等于κ且滿足正則分離公理的仿拓撲群族,則G拓撲同構于拓撲乘積Π = Πi∈IHi的一個子群當且僅當G是κ—balanced且Ir(G)≤κ.

    定理4設仿拓撲群G滿足正則分離公理,{Hi:i∈I} 是滿足權勢小于等于κ且滿足正則分離公理的仿拓撲群族,則G拓撲同構于拓撲乘積Π = Πi∈IHi的一個子群當且僅當G是κ—balanced且Ir(G)≤κ.

    猜你喜歡
    權勢公理子群
    超聚焦子群是16階初等交換群的塊
    子群的核平凡或正規(guī)閉包極大的有限p群
    權勢中的部分等同關系——高等學校校長畢業(yè)典禮致辭的批評話語分析
    驕傲與謙卑
    歐幾里得的公理方法
    Abstracts and Key Words
    哲學分析(2017年2期)2017-05-02 08:31:38
    公理是什么
    恰有11個極大子群的有限冪零群
    與Sylow-子群X-可置換的子群對有限群的影響
    數學機械化視野中算法與公理法的辯證統(tǒng)一
    777久久人妻少妇嫩草av网站| 国内久久婷婷六月综合欲色啪| 不卡一级毛片| 国产不卡一卡二| 深夜精品福利| 久久人妻福利社区极品人妻图片| 亚洲一码二码三码区别大吗| 欧美日韩福利视频一区二区| 久久 成人 亚洲| 欧美精品亚洲一区二区| 一级a爱片免费观看的视频| 欧美日本中文国产一区发布| 国产色视频综合| 欧美黄色淫秽网站| 看黄色毛片网站| 黄色 视频免费看| 婷婷六月久久综合丁香| 中亚洲国语对白在线视频| 少妇的丰满在线观看| 国产成人一区二区三区免费视频网站| 亚洲在线自拍视频| 日韩精品中文字幕看吧| 嫩草影视91久久| 久热这里只有精品99| 国产精品日韩av在线免费观看 | 成人三级做爰电影| 看黄色毛片网站| 亚洲欧美日韩另类电影网站| 纯流量卡能插随身wifi吗| 一二三四在线观看免费中文在| 午夜福利高清视频| 黄片小视频在线播放| 久久中文字幕人妻熟女| 99精品久久久久人妻精品| 午夜福利成人在线免费观看| 亚洲av成人一区二区三| 少妇粗大呻吟视频| 很黄的视频免费| 国产在线精品亚洲第一网站| 亚洲国产欧美网| 一二三四在线观看免费中文在| 久久欧美精品欧美久久欧美| 午夜福利,免费看| 久久久国产精品麻豆| 色精品久久人妻99蜜桃| 欧美中文日本在线观看视频| 九色国产91popny在线| 国产成+人综合+亚洲专区| 中文亚洲av片在线观看爽| 久久人人97超碰香蕉20202| 精品一品国产午夜福利视频| 极品教师在线免费播放| 亚洲人成电影免费在线| 天堂影院成人在线观看| av电影中文网址| 精品一区二区三区视频在线观看免费| 少妇被粗大的猛进出69影院| 极品教师在线免费播放| 一级作爱视频免费观看| 久久伊人香网站| 精品久久久久久久人妻蜜臀av | 老熟妇仑乱视频hdxx| 亚洲av片天天在线观看| 欧美性长视频在线观看| 亚洲少妇的诱惑av| 欧美黑人欧美精品刺激| 久久精品成人免费网站| 性少妇av在线| 男男h啪啪无遮挡| 亚洲熟女毛片儿| 亚洲国产高清在线一区二区三 | 欧美另类亚洲清纯唯美| 亚洲国产日韩欧美精品在线观看 | 非洲黑人性xxxx精品又粗又长| 亚洲第一电影网av| 欧美 亚洲 国产 日韩一| 中文亚洲av片在线观看爽| 丁香欧美五月| 成人免费观看视频高清| 99精品久久久久人妻精品| 亚洲欧洲精品一区二区精品久久久| 亚洲自偷自拍图片 自拍| 成人av一区二区三区在线看| 色综合亚洲欧美另类图片| 丝袜美腿诱惑在线| 亚洲人成伊人成综合网2020| 黄片播放在线免费| 亚洲中文字幕日韩| 久久精品aⅴ一区二区三区四区| 亚洲人成77777在线视频| av超薄肉色丝袜交足视频| 久9热在线精品视频| 国产精品 欧美亚洲| 看黄色毛片网站| 亚洲中文字幕一区二区三区有码在线看 | av福利片在线| 脱女人内裤的视频| 色哟哟哟哟哟哟| 久久婷婷人人爽人人干人人爱 | 91大片在线观看| 久久精品亚洲精品国产色婷小说| 黄色 视频免费看| 91麻豆精品激情在线观看国产| 国产精品av久久久久免费| 69精品国产乱码久久久| 亚洲 欧美一区二区三区| 一级毛片高清免费大全| 免费在线观看影片大全网站| 午夜免费观看网址| 一边摸一边抽搐一进一小说| 亚洲欧美精品综合久久99| 热re99久久国产66热| 精品不卡国产一区二区三区| 12—13女人毛片做爰片一| 国产精品香港三级国产av潘金莲| 国产免费av片在线观看野外av| 少妇裸体淫交视频免费看高清 | 99久久综合精品五月天人人| 亚洲精品国产色婷婷电影| 欧美绝顶高潮抽搐喷水| 一级黄色大片毛片| 欧美老熟妇乱子伦牲交| 国产成人精品无人区| 亚洲欧美激情综合另类| 国产精品野战在线观看| 亚洲专区中文字幕在线| 久久久久久国产a免费观看| 久久中文字幕一级| 精品久久蜜臀av无| 岛国在线观看网站| 免费少妇av软件| 国产精品精品国产色婷婷| 欧美人与性动交α欧美精品济南到| √禁漫天堂资源中文www| 亚洲自偷自拍图片 自拍| 男女午夜视频在线观看| 久久久精品欧美日韩精品| 亚洲一卡2卡3卡4卡5卡精品中文| 国产aⅴ精品一区二区三区波| 国产精品乱码一区二三区的特点 | a在线观看视频网站| xxx96com| 97人妻精品一区二区三区麻豆 | 欧美在线一区亚洲| 99香蕉大伊视频| 色播在线永久视频| 97人妻精品一区二区三区麻豆 | 99在线视频只有这里精品首页| 亚洲精品av麻豆狂野| 人人妻,人人澡人人爽秒播| 欧美激情高清一区二区三区| 正在播放国产对白刺激| 亚洲伊人色综图| 亚洲欧美一区二区三区黑人| 50天的宝宝边吃奶边哭怎么回事| 国产一区在线观看成人免费| 69精品国产乱码久久久| 中文字幕精品免费在线观看视频| 日韩欧美三级三区| 精品欧美一区二区三区在线| 不卡av一区二区三区| 女人被躁到高潮嗷嗷叫费观| 欧美色视频一区免费| 欧美日韩亚洲综合一区二区三区_| 亚洲七黄色美女视频| 久久久国产成人免费| 色av中文字幕| 国产99久久九九免费精品| 一边摸一边抽搐一进一出视频| 亚洲成人久久性| 久久天堂一区二区三区四区| 亚洲av第一区精品v没综合| 99久久国产精品久久久| 欧美中文日本在线观看视频| 精品国产国语对白av| 麻豆久久精品国产亚洲av| 一a级毛片在线观看| 国产成人精品在线电影| 日韩有码中文字幕| 国产三级在线视频| 免费在线观看完整版高清| 51午夜福利影视在线观看| 欧美另类亚洲清纯唯美| 欧美不卡视频在线免费观看 | 精品国内亚洲2022精品成人| avwww免费| 国产色视频综合| 亚洲国产欧美网| 久久精品aⅴ一区二区三区四区| 69精品国产乱码久久久| 国产精品99久久99久久久不卡| 亚洲熟妇中文字幕五十中出| 国产成人啪精品午夜网站| 亚洲精品国产区一区二| 免费看美女性在线毛片视频| 精品国内亚洲2022精品成人| av视频免费观看在线观看| 久久性视频一级片| 搡老熟女国产l中国老女人| 大型黄色视频在线免费观看| 无人区码免费观看不卡| 99精品久久久久人妻精品| 久久这里只有精品19| 精品日产1卡2卡| 成年人黄色毛片网站| 性欧美人与动物交配| 久久国产精品人妻蜜桃| 欧美不卡视频在线免费观看 | 国产成人av教育| 两个人看的免费小视频| 9热在线视频观看99| 亚洲精品一区av在线观看| 亚洲成av片中文字幕在线观看| 一边摸一边抽搐一进一小说| 免费久久久久久久精品成人欧美视频| 搡老熟女国产l中国老女人| 亚洲少妇的诱惑av| 午夜福利免费观看在线| 国产熟女午夜一区二区三区| 淫妇啪啪啪对白视频| 女人被躁到高潮嗷嗷叫费观| 亚洲成av片中文字幕在线观看| 高清黄色对白视频在线免费看| 中文字幕另类日韩欧美亚洲嫩草| 夜夜爽天天搞| 在线观看免费午夜福利视频| 日韩欧美国产在线观看| 精品福利观看| 日韩欧美一区视频在线观看| 久久亚洲真实| 欧美一级毛片孕妇| 中文字幕高清在线视频| 12—13女人毛片做爰片一| 国产精品免费一区二区三区在线| 最近最新中文字幕大全免费视频| 国产精品亚洲av一区麻豆| 男男h啪啪无遮挡| 日本免费一区二区三区高清不卡 | 麻豆国产av国片精品| 日日摸夜夜添夜夜添小说| 久久久久久免费高清国产稀缺| 欧美黑人精品巨大| 男女之事视频高清在线观看| 两性夫妻黄色片| 97超级碰碰碰精品色视频在线观看| 桃色一区二区三区在线观看| 99精品在免费线老司机午夜| 欧美成人午夜精品| 国产精品1区2区在线观看.| 国产精品综合久久久久久久免费 | 黑丝袜美女国产一区| 变态另类丝袜制服| 又大又爽又粗| 国产精品 欧美亚洲| 97人妻天天添夜夜摸| 亚洲片人在线观看| 亚洲国产精品成人综合色| 国产亚洲欧美精品永久| 精品久久久精品久久久| 日韩免费av在线播放| 一a级毛片在线观看| 欧美日韩亚洲综合一区二区三区_| e午夜精品久久久久久久| 精品国内亚洲2022精品成人| 一边摸一边做爽爽视频免费| 97人妻精品一区二区三区麻豆 | 熟女少妇亚洲综合色aaa.| 看黄色毛片网站| 99re在线观看精品视频| 亚洲精华国产精华精| 亚洲情色 制服丝袜| 黄色成人免费大全| 美女高潮喷水抽搐中文字幕| 女警被强在线播放| 欧美乱色亚洲激情| avwww免费| 这个男人来自地球电影免费观看| 99久久精品国产亚洲精品| 成人欧美大片| 精品国产超薄肉色丝袜足j| 久久香蕉国产精品| 少妇的丰满在线观看| 一边摸一边做爽爽视频免费| 亚洲视频免费观看视频| 真人一进一出gif抽搐免费| 好看av亚洲va欧美ⅴa在| 99re在线观看精品视频| av视频在线观看入口| 欧美丝袜亚洲另类 | 精品熟女少妇八av免费久了| 午夜福利影视在线免费观看| 搡老岳熟女国产| 黄色视频,在线免费观看| 老鸭窝网址在线观看| 大码成人一级视频| 国产成+人综合+亚洲专区| 久久人人精品亚洲av| 91av网站免费观看| 首页视频小说图片口味搜索| 欧美日韩瑟瑟在线播放| 欧美黑人精品巨大| 在线观看免费日韩欧美大片| 一级毛片精品| 妹子高潮喷水视频| 中文字幕人妻丝袜一区二区| 非洲黑人性xxxx精品又粗又长| 国产99久久九九免费精品| 亚洲国产精品合色在线| 国产精品影院久久| 日韩欧美一区二区三区在线观看| 69av精品久久久久久| 人妻久久中文字幕网| 久热爱精品视频在线9| 十八禁网站免费在线| 亚洲人成伊人成综合网2020| 一级毛片高清免费大全| 国产成人系列免费观看| 久久亚洲真实| 国产精品一区二区在线不卡| 夜夜看夜夜爽夜夜摸| 久久久久久久午夜电影| 非洲黑人性xxxx精品又粗又长| 99国产精品一区二区三区| 久久天堂一区二区三区四区| 一级作爱视频免费观看| 欧美乱码精品一区二区三区| 久久精品aⅴ一区二区三区四区| 久久午夜亚洲精品久久| 国产亚洲精品综合一区在线观看 | 啪啪无遮挡十八禁网站| 女人精品久久久久毛片| 免费一级毛片在线播放高清视频 | www.www免费av| 精品久久久精品久久久| 国产一卡二卡三卡精品| 精品国产一区二区久久| 国产精品1区2区在线观看.| АⅤ资源中文在线天堂| aaaaa片日本免费| 黄网站色视频无遮挡免费观看| 满18在线观看网站| 成人精品一区二区免费| 色综合亚洲欧美另类图片| 夜夜夜夜夜久久久久| 9191精品国产免费久久| 久久久国产欧美日韩av| 久久久久久国产a免费观看| 免费在线观看黄色视频的| 日日爽夜夜爽网站| 波多野结衣av一区二区av| 久久久久久久久久久久大奶| 女人被狂操c到高潮| 亚洲一区二区三区不卡视频| 国产男靠女视频免费网站| 日本a在线网址| 多毛熟女@视频| 久久久久久免费高清国产稀缺| 亚洲中文av在线| 免费不卡黄色视频| 欧美国产精品va在线观看不卡| www.999成人在线观看| 三级毛片av免费| 精品福利观看| 天堂√8在线中文| 久久久久国产一级毛片高清牌| 亚洲人成网站在线播放欧美日韩| av有码第一页| 91麻豆av在线| 欧美亚洲日本最大视频资源| 日韩欧美免费精品| 国产aⅴ精品一区二区三区波| 久久国产乱子伦精品免费另类| 国产精品 国内视频| 国产真人三级小视频在线观看| 国产成人av教育| 久久人人97超碰香蕉20202| 18禁黄网站禁片午夜丰满| 亚洲全国av大片| 99精品久久久久人妻精品| 老熟妇仑乱视频hdxx| 欧美日韩福利视频一区二区| 午夜福利高清视频| 国产精品美女特级片免费视频播放器 | 国产精品久久久人人做人人爽| svipshipincom国产片| av在线播放免费不卡| 亚洲avbb在线观看| 国产又色又爽无遮挡免费看| 熟女少妇亚洲综合色aaa.| 在线观看免费视频网站a站| 国产成人啪精品午夜网站| 久久婷婷人人爽人人干人人爱 | 19禁男女啪啪无遮挡网站| 一级毛片精品| 长腿黑丝高跟| 日日夜夜操网爽| 女性生殖器流出的白浆| 丝袜美足系列| 国产成人精品在线电影| 国产熟女xx| 俄罗斯特黄特色一大片| 国产熟女xx| 国产伦人伦偷精品视频| 免费在线观看视频国产中文字幕亚洲| 日日干狠狠操夜夜爽| 亚洲最大成人中文| 久久亚洲真实| 亚洲五月色婷婷综合| 桃红色精品国产亚洲av| 麻豆久久精品国产亚洲av| 精品熟女少妇八av免费久了| 波多野结衣高清无吗| 精品国产一区二区久久| 欧美日本亚洲视频在线播放| 欧美丝袜亚洲另类 | 一卡2卡三卡四卡精品乱码亚洲| 在线观看一区二区三区| 国产亚洲欧美精品永久| 国产精品久久久人人做人人爽| 欧美大码av| 亚洲男人天堂网一区| 精品国内亚洲2022精品成人| 久久久国产精品麻豆| 精品久久久精品久久久| 两个人视频免费观看高清| 777久久人妻少妇嫩草av网站| www.www免费av| 亚洲精品中文字幕在线视频| 女警被强在线播放| 男女午夜视频在线观看| 99久久综合精品五月天人人| 欧美黑人精品巨大| 国产精品亚洲av一区麻豆| 午夜免费成人在线视频| 久久精品国产99精品国产亚洲性色 | 一个人免费在线观看的高清视频| 好看av亚洲va欧美ⅴa在| 日日干狠狠操夜夜爽| 亚洲精品一卡2卡三卡4卡5卡| 桃红色精品国产亚洲av| 91字幕亚洲| 操美女的视频在线观看| 亚洲精品久久成人aⅴ小说| 久久影院123| 国产精品二区激情视频| 9191精品国产免费久久| 国产成人精品久久二区二区91| 侵犯人妻中文字幕一二三四区| tocl精华| 久久久久亚洲av毛片大全| 欧美黄色淫秽网站| 日韩欧美一区二区三区在线观看| 看免费av毛片| 日韩欧美免费精品| 精品不卡国产一区二区三区| 在线观看免费午夜福利视频| 国产成人系列免费观看| 中文字幕最新亚洲高清| 女性生殖器流出的白浆| 色婷婷久久久亚洲欧美| 久久亚洲真实| 悠悠久久av| 国产亚洲欧美98| 国产一区在线观看成人免费| 精品第一国产精品| 亚洲人成77777在线视频| 岛国在线观看网站| 欧美乱妇无乱码| 亚洲av成人不卡在线观看播放网| 成人亚洲精品av一区二区| 18禁国产床啪视频网站| 亚洲精品av麻豆狂野| 香蕉丝袜av| 一二三四在线观看免费中文在| 亚洲人成电影观看| 精品电影一区二区在线| 国产成人欧美在线观看| 色综合亚洲欧美另类图片| 99精品在免费线老司机午夜| 午夜亚洲福利在线播放| 午夜两性在线视频| 人人妻人人澡人人看| 巨乳人妻的诱惑在线观看| 91大片在线观看| 欧美日韩中文字幕国产精品一区二区三区 | 亚洲少妇的诱惑av| 成人18禁在线播放| 亚洲熟妇熟女久久| 国产精品亚洲美女久久久| 色精品久久人妻99蜜桃| 天天躁夜夜躁狠狠躁躁| 亚洲第一欧美日韩一区二区三区| 免费在线观看完整版高清| 在线国产一区二区在线| 亚洲国产欧美一区二区综合| 久久久久久人人人人人| 自拍欧美九色日韩亚洲蝌蚪91| 婷婷六月久久综合丁香| 看免费av毛片| 日日干狠狠操夜夜爽| 精品国产亚洲在线| 十分钟在线观看高清视频www| av视频免费观看在线观看| 啦啦啦韩国在线观看视频| 日本免费a在线| 国产乱人伦免费视频| 国产精品久久视频播放| 嫩草影视91久久| 国产激情久久老熟女| 99在线人妻在线中文字幕| 免费在线观看视频国产中文字幕亚洲| 午夜福利视频1000在线观看 | 多毛熟女@视频| 欧美激情极品国产一区二区三区| 久久精品亚洲熟妇少妇任你| 1024视频免费在线观看| 国产精品影院久久| 伦理电影免费视频| 精品久久久久久久毛片微露脸| 无限看片的www在线观看| 欧美成人一区二区免费高清观看 | 97超级碰碰碰精品色视频在线观看| 男女做爰动态图高潮gif福利片 | 18禁国产床啪视频网站| 国产熟女xx| 丝袜人妻中文字幕| 国产三级在线视频| 精品第一国产精品| 制服丝袜大香蕉在线| 精品少妇一区二区三区视频日本电影| 成人手机av| 亚洲国产毛片av蜜桃av| 亚洲欧洲精品一区二区精品久久久| 成人亚洲精品一区在线观看| 老司机在亚洲福利影院| 黄色片一级片一级黄色片| 国产又色又爽无遮挡免费看| 中文字幕av电影在线播放| 久久精品国产亚洲av高清一级| 亚洲 欧美 日韩 在线 免费| 国产精品亚洲av一区麻豆| 88av欧美| 欧美国产精品va在线观看不卡| 亚洲色图 男人天堂 中文字幕| 成人三级黄色视频| 两个人看的免费小视频| 制服丝袜大香蕉在线| 久久久久久免费高清国产稀缺| 国产成人欧美在线观看| 亚洲av成人av| 久久精品亚洲熟妇少妇任你| 欧美人与性动交α欧美精品济南到| 中文字幕人成人乱码亚洲影| 精品国产乱子伦一区二区三区| 免费观看人在逋| 日本黄色视频三级网站网址| 国产区一区二久久| 亚洲久久久国产精品| av电影中文网址| 成年人黄色毛片网站| 巨乳人妻的诱惑在线观看| 日日夜夜操网爽| 国产精品 国内视频| 乱人伦中国视频| 中文字幕最新亚洲高清| 欧美日韩乱码在线| 丝袜在线中文字幕| www.精华液| 色综合站精品国产| 国产精品1区2区在线观看.| 免费在线观看亚洲国产| 国产真人三级小视频在线观看| 亚洲五月色婷婷综合| 最近最新中文字幕大全免费视频| 亚洲自偷自拍图片 自拍| 琪琪午夜伦伦电影理论片6080| 国产av一区在线观看免费| 欧美亚洲日本最大视频资源| 国产伦人伦偷精品视频| 色婷婷久久久亚洲欧美| 母亲3免费完整高清在线观看| 麻豆成人av在线观看| 后天国语完整版免费观看| 日本欧美视频一区| 麻豆一二三区av精品| 这个男人来自地球电影免费观看| 女人高潮潮喷娇喘18禁视频| 精品久久久久久久久久免费视频| 高清黄色对白视频在线免费看| 少妇粗大呻吟视频| 成人18禁在线播放| 久久人妻福利社区极品人妻图片| 丝袜在线中文字幕| 久久伊人香网站| av有码第一页| 久久香蕉精品热| 成年女人毛片免费观看观看9| 黄色视频不卡| 黑人巨大精品欧美一区二区mp4| 国产精品亚洲av一区麻豆| 亚洲熟妇熟女久久| 变态另类成人亚洲欧美熟女 | 在线观看一区二区三区| 亚洲午夜理论影院| 午夜福利视频1000在线观看 | 日韩大尺度精品在线看网址 | 丝袜在线中文字幕| 日本在线视频免费播放| 欧美激情高清一区二区三区| 久久久久久人人人人人| 亚洲欧洲精品一区二区精品久久久| 国产伦人伦偷精品视频| 精品电影一区二区在线| 最近最新中文字幕大全电影3 | 大香蕉久久成人网|