微課程重構(gòu)：從三角到相似

徐章韜

摘要：算法化是數(shù)學(xué)的重要特點(diǎn)之一。從三角函數(shù)走向相似，用三角函數(shù)作為工具來(lái)解析幾何，從特殊研究出一般，既有理論上的可行性，也可以為平面幾何問(wèn)題的解決帶來(lái)很多便利。同時(shí)，這種做法體現(xiàn)出計(jì)算思維的巨大威力，習(xí)得了這種思維，每走一步都是可預(yù)見(jiàn)的，學(xué)生會(huì)平添很多自信，對(duì)于發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)是有意義的。

關(guān)鍵詞：教育數(shù)學(xué) 相似 三角函數(shù)

相似是平面幾何的難點(diǎn)，攻克了相似，其意義不言而喻。秉持計(jì)算思維，化推理為計(jì)算，寓理于算，可以達(dá)到上述目的。教材在處理三角函數(shù)和相似的關(guān)系時(shí)，不甚明朗：有的教材把三角函數(shù)安排在相似之后，把三角函數(shù)的學(xué)習(xí)建立在相似比之上;有的教材把三角函數(shù)安排在相似之前，作為函數(shù)的內(nèi)容來(lái)學(xué)習(xí)。初中三角函數(shù)其實(shí)不能稱(chēng)之為三角函數(shù)，它只是一種三角比，主要是為了對(duì)三角形進(jìn)行解析。由此來(lái)看，把三角函數(shù)安排在相似之后，相對(duì)合理。但從特殊性與一般性的關(guān)系來(lái)看，三角函數(shù)是直角三角形中的線段之比，相似研究的是一般三角形中的線段之比，一般性寓于特殊性之中，從特殊走向一般，是人的正常思路。因此，從三角函數(shù)走向相似，用三角函數(shù)作為工具來(lái)解析幾何，就應(yīng)當(dāng)把三角函數(shù)編排在相似之前。這樣做，既有理論上的可行性，也可以為平面幾何問(wèn)題的解決帶來(lái)很多便利。

一、三角函數(shù)和相似的立論之基

三角函數(shù)的意義在于化斜為直。有了正弦、余弦、正切的定義之后，傾斜、水平、垂直這三個(gè)方向就可以相互轉(zhuǎn)化了。一般而言，是用垂直來(lái)說(shuō)明前兩者，這樣，作垂線、構(gòu)造直角三角形就非常重要了。解決問(wèn)題時(shí)，表面上是相似，其實(shí)是在進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算。相似是幾何語(yǔ)言，三角函數(shù)是代數(shù)語(yǔ)言。

三角函數(shù)的立論之基是作垂線，構(gòu)造直角三角形;相似的基礎(chǔ)是平行，平行線分線段成比例定理。而平行和垂直是可以相互轉(zhuǎn)化的。比如，垂直于同一直線的兩條直線互相平行，即“若b⊥a，c⊥a，則b∥c”;如果兩條平行線中有一條直線垂直于第三條直線，那么另一條直線也垂直于第三條直線，即“若a∥b，a⊥c，則b⊥c”。

回到前面例1的做法，即可以考慮在角A兩邊作比，就有第一種平行線的做法;如果考慮在平角兩邊作比，就有第二種平行線的作法。

抓住角展開(kāi)變換，是三角函數(shù)的精髓。這種精神可化作上述平面幾何的做法。

四、讓學(xué)生學(xué)得容易一些

根據(jù)數(shù)學(xué)史的研究，利用“勾中容橫、勾中容方”原理，相似之基是平行線分線段成比例定理，也可以建立在面積之上。而“重構(gòu)三角，全局皆活”的做法正是建立在面積之上的。從這個(gè)意義上說(shuō)，相似和三角函數(shù)是相通的。

讓學(xué)生學(xué)得容易一些，是教育數(shù)學(xué)的追求。學(xué)生在學(xué)習(xí)相似和三角函數(shù)之時(shí)，要能融會(huì)貫通。上述做法，無(wú)須改變現(xiàn)行教材的編排體系，不和常規(guī)教學(xué)沖突，也不改變平面幾何的幾何味道，具有可推廣性。這體現(xiàn)了教育數(shù)學(xué)的一貫做法，重構(gòu)數(shù)學(xué)，重構(gòu)教學(xué)，一線串通。這種做法還體現(xiàn)了計(jì)算思維的巨大威力，習(xí)得了這種思維，每走一步都是可預(yù)見(jiàn)的，學(xué)生會(huì)平添很多自信，對(duì)于發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)是很有意義的。

教育數(shù)學(xué)的研究，使我們的教與學(xué)更清晰了。

參考文獻(xiàn)：

[1] 盧成嫻，姜浩哲，汪曉勤.數(shù)學(xué)史對(duì)批判性思維培養(yǎng)的作用——以《三角形一邊平行線性質(zhì)定理及推論》一課為例[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2019（4）.

[2] 張景中.三角下放，全局皆活——初中數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)性改革的一個(gè)方案[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2007（1）.