形數(shù)結(jié)合的完美與神韻

摘?要：一些幾何圖形是有面積公式的，例如我們熟悉的三角形、梯形、矩形、菱形、正方形甚至箏形。一些代數(shù)恒等式可以用幾何圖形的面積來表示，當(dāng)一個幾何圖形的面積可以直接表示時，我們就得到了一個等式。由圖形到代數(shù)恒等式，再由代數(shù)恒等式到圖形，體現(xiàn)了形數(shù)結(jié)合的完美與神韻。文章作了如下的教學(xué)設(shè)計：引導(dǎo)學(xué)生通過若干長方形和直角三角形的拼圖面積的兩種表示，最終引出部分代數(shù)恒等式的拼圖證明。

關(guān)鍵詞：拼圖;面積公式;矩形;正方形;直角三角形;平方差公式;完全平方公式;解題方法;形數(shù)結(jié)合

一、 引言

實施素質(zhì)教育已經(jīng)有二十多年了。在目前階段，素質(zhì)教育將明確以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力為重點，而要達(dá)到這樣的目的，必須確立學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，培養(yǎng)學(xué)生肯學(xué)、能學(xué)、會學(xué)。下面筆者結(jié)合課題學(xué)習(xí)《拼圖與代數(shù)恒等式》的教學(xué)實踐為例，談?wù)勥@節(jié)課的教學(xué)體會與教學(xué)過程的設(shè)計。

首先，筆者對本節(jié)內(nèi)容進(jìn)行一些分析。

二、 教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容簡析

本節(jié)內(nèi)容在全書及章節(jié)的地位：《面積與代數(shù)恒等式》是（蘇教版）七年級數(shù)學(xué)第九章《整式乘法與因式分解》中的一個數(shù)學(xué)活動學(xué)習(xí)，在此之前，學(xué)生已學(xué)習(xí)了《冪的運算》《整式乘法》等內(nèi)容，這為過渡到課題學(xué)習(xí)起著鋪墊作用。

數(shù)學(xué)思想方法分析：作為一名數(shù)學(xué)老師，不僅要傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)知識，更重要的是傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)意識，本節(jié)課在教學(xué)中將主要展示形數(shù)結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。

三、 教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)心理特征，制訂如下教學(xué)目標(biāo)：1. 能體會圖形與代數(shù)之間的聯(lián)系，弄清幾何背景，感受它們的幾何意義。2. 在經(jīng)歷探索、討論、交流、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解釋有關(guān)問題的過程中，從中體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力，獲得一些研究問題、解決問題的經(jīng)驗和方法。

四、 教學(xué)重點難點

本著新課程標(biāo)準(zhǔn)，在吃透教材基礎(chǔ)上，我確立了如下的教學(xué)重點、難點。

重點：通過探索與思考體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，增強(qiáng)對數(shù)學(xué)的開放性、探索性和實踐性的認(rèn)識。

難點：對問題的觀察與探索的方向的把握。

下面，為了講清重點、難點，使學(xué)生能達(dá)到本節(jié)設(shè)定的學(xué)習(xí)目標(biāo)，筆者再從學(xué)法上談?wù)劇?/p>

數(shù)學(xué)是一門培養(yǎng)人的思維，發(fā)展人的思維的重要學(xué)科，因此，在教學(xué)中，不僅要使學(xué)生“知其然”，而且要使學(xué)生“知其所以然”，我們在以學(xué)生為主體的原則下，展現(xiàn)獲取知識和方法的思維過程?；诒竟?jié)課的特點，采用“超前嘗試，教學(xué)合一”的教學(xué)方法。即在前一天的晚上發(fā)給學(xué)生一張16開的學(xué)案，讓學(xué)生在自學(xué)課本有關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)上完成。

1. 學(xué)案內(nèi)容如下：

預(yù)習(xí)要求：七年級數(shù)學(xué)（下）P88的《數(shù)學(xué)活動》內(nèi)容以及用硬紙片做一些符合要求的直角三角形和正方形的學(xué)具。

一、 預(yù)習(xí)自查題：

如圖：在一塊邊長為a米的正方形實驗田的邊長增加b米，做成四塊實驗田，以種植不同的新品種，請你用不同的形式表示實驗田的總面積，并進(jìn)行比較，你發(fā)現(xiàn)了什么？

二、 嘗試探究題：

1. 如圖（1）是由邊長為a的大正方形右下角剪去一個邊長為b（b

2. 如圖：已知正方形ABCD、EBFG的邊長分別是a、b，請你用不同的方法表示陰影部分的面積，并進(jìn)行比較，你能得出什么結(jié)論？

最后筆者來具體談一談這一堂課的教學(xué)過程。

嘗試題點評：主要是讓學(xué)生講解題的思考過程、解題方法的提煉過程，當(dāng)然主要目的是檢查預(yù)習(xí)效果。學(xué)生預(yù)習(xí)是為了更好地消化新教材，牢固地掌握基礎(chǔ)知識。消化與鞏固教師所傳授的知識，必須有一個過程，認(rèn)真地閱讀與鉆研教材，是消化教材牢固地掌握基礎(chǔ)知識的重要措施之一。課本上的一些定義、特征、識別及某些結(jié)論的敘述和概括，學(xué)生總不是一聽課就掌握的，必須進(jìn)行課前預(yù)習(xí)和嘗試，才能夠加深理解，逐步學(xué)會用正確的數(shù)學(xué)語言去敘述它們，也能為靈活運用打下基礎(chǔ)。否則即使有些學(xué)生接受能力較強(qiáng)，似乎聽了課后就能掌握，但如果不肯在預(yù)習(xí)上花些工夫，掌握也會是暫時現(xiàn)象。

2. 講解例題：以上得到的結(jié)論都是等式，這些等式稱之為恒等式，我們可以用直觀的幾何圖形形象地表現(xiàn)出有些代數(shù)恒等式，還可以有許許多多代數(shù)恒等式可以用硬紙片拼成的圖形面積來說明其正確性。

老師用設(shè)問的語調(diào)來鼓勵全班學(xué)生一起來試一試能否畫出下列代數(shù)恒等式的幾何面積值。

觀圖形（課件顯示），要求是由四個小組各完成相應(yīng)序號的一個小題。

5分鐘后，各小組分別派出一位代表上黑板畫圖，然后這四位同學(xué)一一說明。老師一一講評后可總結(jié)出有代表性的答案。

接著老師再講解第2個倒題：拿出你昨晚準(zhǔn)備好的四個完全一樣的直角三角板，它們的兩條直角邊分別是a、b，斜邊為c，還給你三個分別以a、b、c為邊長的正方形板，請你用拼圖的方法來證明：a2+b2=c2（可以是小組合作進(jìn)行）。

6分鐘后，老師可在實物投影儀上演示出大部分學(xué)生的答案。

如①圖：陰影部分是一個正方形，它的邊長是a-b，面積為（b-a）2，又可表示為：

c2-4×12ab，這樣就可以得到：（b-a）2=c2-4×12ab，整理后就可得到：a2+b2=c2。

如②圖：可以先把兩個直角三角形如此拼好，由此可得到四邊形ABCD是一個直角梯形、△DEC是一個等腰直角三角形，梯形ABCD的面積可表示為：12（a+b）（a+b），即12（a+b）2，也可表示為：12ab+12ab+12c2，即ab+12c2，所以有12（a+b）2=ab+12c2，即a2+b2=c2（并說明這一種方法是美國一位總統(tǒng)的證明）。

也可以利用學(xué)生們答案中的兩個不同圖形，啟發(fā)學(xué)生將此兩個圖形中的正方形ABCD面積的兩種表示來驗證a2+b2=c2。

因為①圖中的正方形ABCD的面積為：b2+a2+4×12ab，即a2+b2+2ab，而②圖中的正方形ABCD的面積為：c2+4×12ab，即c2+2ab，因為拼的兩個正方形是一樣大的，所以有：a2+b2+2ab=c2+2ab，即a2+b2=c2。

3. 學(xué)生學(xué)習(xí)反思：經(jīng)過學(xué)生的課前預(yù)習(xí)和教師的嘗試題講評和例題講解，學(xué)生肯定會對這節(jié)課的內(nèi)容的學(xué)習(xí)有所反思，也只有通過反思，他們對這節(jié)課所授知識的理解才能達(dá)到“更上一層樓”的境界。如果每節(jié)課都堅持這樣操作，那么學(xué)生就會對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生濃厚的興趣，就會產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲望，就會全神貫注、積極主動、富有創(chuàng)造性地對每天所學(xué)的知識加以關(guān)注和研究。

4. 安排課堂考核：其目的是當(dāng)堂檢查學(xué)生的知識掌握情況。

五、 教學(xué)反思

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀》指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能僅僅是掌握一些概念和技能，而必須經(jīng)歷合作學(xué)習(xí)、探索、猜想、推理等過程，解決有關(guān)的問題。”這就要求我們數(shù)學(xué)教學(xué)工作者要把培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)貫穿于整個課堂教學(xué)之中，有計劃、有目標(biāo)、有意識地注意引導(dǎo)學(xué)生的合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)創(chuàng)新能力。上述的教學(xué)案例可以在下面幾個方面進(jìn)行總結(jié)。

（一）引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)，培養(yǎng)思維的敏捷性

有些初中學(xué)生思維較呆板，解題時常會生搬硬套，為了克服學(xué)生機(jī)械模仿的定勢思維，應(yīng)當(dāng)重視培養(yǎng)他們思維的敏捷性。本節(jié)課的學(xué)習(xí)對象具有一定的難度，要在45分鐘的一節(jié)課上達(dá)到熟練掌握、融會貫通是不可能的，好在教材給出了3個例子，為學(xué)生的思維提供一定的方向，所以只要組織學(xué)生們課前預(yù)習(xí)，再上老師在課堂上點撥啟發(fā)，學(xué)生就可以不受教材中例子的局限，拓展了思路。

（二）提倡別出心裁，鼓勵思維的開放性

本節(jié)課的學(xué)習(xí)對象具有很強(qiáng)的開放性，因為許多結(jié)論常常是未知的或不確定的，有的有待于猜想，有的存在幾種可能，這就為鼓勵學(xué)生的積極思維提供了極好地機(jī)遇與素材，這就要求學(xué)生既掌握常規(guī)的思維方法，又能獨具匠心、獨辟蹊徑，以簡捷的、跳躍式的思維抓住問題的核心，出奇制勝。另外在教學(xué)中啟發(fā)學(xué)生一題多證，從多角度、多方位、多層次去觀察和思考問題，使學(xué)生積極地、多渠道地尋求解題途徑，也可以培養(yǎng)學(xué)生思維的開放性。

（二）鼓勵動手探索，發(fā)展思維的創(chuàng)造性

在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)接觸了很多代數(shù)恒等式，知道可以用畫圖或用一些硬紙片拼成的圖形面積來解釋這些代數(shù)恒等式，而學(xué)生通過實驗來作探索研究，再加上相互之間的合作交流，就會激發(fā)探索的興趣，培養(yǎng)研究的能力，鍛煉想象能力、構(gòu)造能力，發(fā)展創(chuàng)造性思維能力。當(dāng)然在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中要提倡先獨立思考，再進(jìn)行合作交流，使每個學(xué)生的思維都能得到鍛煉，解題能力得到提高。

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作者簡介：蔡潔，江蘇省宜興市，江蘇省宜興市實驗中學(xué)。