建構(gòu)數(shù)學(xué)模型　促進(jìn)學(xué)生發(fā)展

黃天配

乘法分配律是小學(xué)數(shù)學(xué)中非常重要的運(yùn)算律，有的學(xué)生在課堂上懂得觀察、比較、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，但在實(shí)際應(yīng)用中卻常出錯(cuò)。本文以北師大版四上“乘法分配律”為例，談?wù)勅绾卧诮虒W(xué)中引入幾何模型支撐，滲透模型思想，使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得“可見”，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。

一、借助幾何直觀，豐富數(shù)學(xué)模型的表象建構(gòu)

小學(xué)生的思維以直觀形象思維為主，在教學(xué)中借助圖像或幾何圖形，通過引導(dǎo)學(xué)生對(duì)直觀的“形”的觀察、思考、分析、比較，可讓他們?cè)诟兄獢?shù)學(xué)模型的同時(shí)，為后續(xù)模型的建立積累豐富的素材。

例如，許多教師從乘法分配律的外形特征出發(fā)，借助情境的創(chuàng)設(shè)，展示多個(gè)有其特征的等式，再引導(dǎo)學(xué)生觀察這些等式，發(fā)現(xiàn)其相似之處，再利用不完全歸納方法抽象出乘法分配律。這樣的教學(xué)重外形記憶，輕本質(zhì)理解，學(xué)生往往只知其然，而不知其所以然。筆者在教學(xué)“乘法分配律”時(shí)，創(chuàng)造性使用教材，以三個(gè)遞進(jìn)的情境切入：

（1）現(xiàn)實(shí)原型：學(xué)校為學(xué)生購買運(yùn)動(dòng)服，上衣需45元，褲子35元，5套運(yùn)動(dòng)服需要多少元？

（2）幾何模型：計(jì)算兩個(gè)場(chǎng)地總面積。

（3）點(diǎn)子圖形：計(jì)算排隊(duì)的總?cè)藬?shù)。

在第一個(gè)情境中，筆者先讓學(xué)生獨(dú)立思考、交流得出：①（45+35）×5，45+35表示先求一套運(yùn)動(dòng)服的錢，再乘5表示5套運(yùn)動(dòng)服的錢。②45×5+35×5，先求5件上衣和5條褲子各多少錢，再相加，也能得出5套運(yùn)動(dòng)服的總價(jià)。

在第二個(gè)情境中，學(xué)生觀察交流后，表達(dá)出各自不同的想法：12×6+8×6和（12+8）×6。筆者接著讓他們結(jié)合示意圖說一說兩道算式有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。學(xué)生在交流中得出：12×6是左邊長方形的面積，8×6是右邊長方形的面積，再把兩個(gè)長方形的面積相加，就是大長方形的面積。（12+8）×6是把大長方形看成一個(gè)整體，12+8表示大長方形的長，再乘寬就得到了大長方形的面積，也就是說方法不同，但結(jié)果相同。

在第三個(gè)情境中，筆者讓學(xué)生觀察隊(duì)形圖，并討論交流能否用8×6+5×6和（8+5）×6這兩個(gè)算式來解決。最后，再引導(dǎo)學(xué)生觀察、對(duì)比三個(gè)算式：（45+35）×5=45×5+35×5，（12+8）×6=12×6+8×6，8×6+5×6=（8+5）×6。讓學(xué)生結(jié)合情境說一說三個(gè)等式有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等式的結(jié)構(gòu)特征。

筆者以三個(gè)遞進(jìn)的教學(xué)情境為切入點(diǎn)，以“5套衣服多少錢（現(xiàn)實(shí)模型）—長方形面積（幾何模型）—點(diǎn)子圖形”等素材為載體，讓學(xué)生對(duì)乘法分配律的學(xué)習(xí)有了“圖”的支撐，學(xué)生容易將“分開算”和“合起來算”這兩種思路建立起聯(lián)系，再運(yùn)用乘法的意義結(jié)合“點(diǎn)子圖”進(jìn)行解釋。這樣的學(xué)習(xí)，學(xué)生經(jīng)歷了從具體問題到類比推理，再到感知模型的過程，從“形”到“義”，實(shí)現(xiàn)了在思維層面上的逐步抽象，并積累相關(guān)的感性經(jīng)驗(yàn)，豐富學(xué)生對(duì)于乘法分配律的模型特征的感知與建構(gòu)。

二、依托探究過程，經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的抽象建構(gòu)

抽象性是數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)重要特征，讓學(xué)生學(xué)會(huì)以數(shù)學(xué)的方式進(jìn)行思考，首要的就是讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)抽象，而從問題的現(xiàn)實(shí)情境過渡到抽象的數(shù)學(xué)模式是學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)抽象的關(guān)鍵。教學(xué)中，只有引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行對(duì)比分析，讓學(xué)生充分感知、體驗(yàn)知識(shí)的形成過程，才有利于學(xué)生把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。

在學(xué)生初步感知乘法分配律的模型特征的基礎(chǔ)上，筆者提出：“你能寫出幾組像這樣的式子嗎？”學(xué)生交流并舉例：（5+4）×2=5×2+4×2、（40+60）×5=40×5+60×5……接著，筆者讓學(xué)生不計(jì)算，用乘法的意義解釋左右兩個(gè)算式是相等的，讓學(xué)生再次經(jīng)歷從“具體事物—個(gè)性化符號(hào)表示—數(shù)學(xué)化表示”這一逐步符號(hào)化的過程，經(jīng)歷模型的抽象建構(gòu)。在此基礎(chǔ)上，筆者提出：“這么多算式，你能只用一個(gè)算式表示出所有的等式嗎？”引導(dǎo)學(xué)生交流并統(tǒng)一字母式：（a+b）×c=a×c+b×c，最后再引導(dǎo)學(xué)生回顧前面的“場(chǎng)地面積”，讓學(xué)生說一說這里的a、b、c分別代表什么，除了能表示長方形的長與寬，還能表示什么？學(xué)生各抒己見：可表示任意一個(gè)自然數(shù)，也可表示任意一個(gè)數(shù)……筆者最后再適時(shí)小結(jié)：“像這樣相等的式子其實(shí)我們以前也有接觸過?！比缓笳n件出示以下圖片，讓學(xué)生交流圖中的內(nèi)容，從中找出乘法分配律。

（2）長方形的周長：（長+寬）×2=長×2+寬×2。

在這一教學(xué)過程中，讓學(xué)生通過舉例來驗(yàn)證與說理，感受到用數(shù)字表示的局限性，從而產(chǎn)生新的需求，學(xué)生經(jīng)歷了從實(shí)際問題過渡到抽象概括的探索過程，這時(shí)用字母表示乘法分配律也就水到渠成了。緊接著適時(shí)出示舊知，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行回顧，溝通知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，使之形成一個(gè)有機(jī)整體，更是把學(xué)生的認(rèn)知再次推向深入，學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)從“具體經(jīng)驗(yàn)”提升到“理性層面”，深化了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)理解。

三、深入辨析內(nèi)化，充盈數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)建構(gòu)

教學(xué)時(shí)，我們常常會(huì)忽視學(xué)生對(duì)乘法分配律“最本質(zhì)”意義上的理解，只關(guān)注外在變化的“形”，而忽視對(duì)內(nèi)在不變的“理”的探究。因此，在教學(xué)中需要借助問題情境，引導(dǎo)學(xué)生深入辨析，這樣才能既及時(shí)檢測(cè)學(xué)生對(duì)分配律的理解，又讓學(xué)生在豐富的鞏固拓展中充分感知模型思想，從而不斷完善對(duì)乘法分配律本質(zhì)特征的理解。

如在學(xué)生對(duì)乘法分配律有了一個(gè)初步的理解后，筆者接著課件出示：

（1）請(qǐng)?zhí)顚懲暾闶剑?×（125+9）=8×（ ）+8×（ ）;7×（+）=7×48+7×52。

（2）辨一辨：（7+3）×8〇7×8+4×8，這兩個(gè)算式得數(shù)相等嗎？調(diào)整兩個(gè)算式中的哪個(gè)數(shù)等式就能成立？

（3）想一想：（103-3）×8〇103×8-3×8，乘法分配律在減法中可以適用嗎？

在第一題中，學(xué)生作答并交流后，筆者接著提出：“你會(huì)用哪種方法進(jìn)行計(jì)算？”學(xué)生交流得出：前一道題用8×125+8×9，后一道題用7×（48+52）計(jì)算比較簡便。最后筆者再適時(shí)小結(jié)：有時(shí)合著算比較好算，有時(shí)分開算比較好算，看來，乘法分配律能夠使計(jì)算簡便。隨后通過辨一辨、想一想的交流活動(dòng)，學(xué)生對(duì)分配律的本質(zhì)與非本質(zhì)特征得到進(jìn)一步的理解與強(qiáng)化。第三道題適時(shí)地類推“求和-求差”問題，既溝通了乘法與加減法之間的聯(lián)系，又使減法中同樣適用乘法分配律這一知識(shí)潤物細(xì)無聲地得到滲透，并使乘法分配的基本模型再次“生長”，進(jìn)一步建構(gòu)對(duì)其規(guī)律的本質(zhì)理解。

（作者單位：福建省晉江市東石鎮(zhèn)金山小學(xué)）