基于意義聯(lián)結(jié)，助推思維進(jìn)階

劉霞

一、思維生長點(diǎn)：從計(jì)數(shù)走向計(jì)量，幾何直觀支撐計(jì)數(shù)單位到計(jì)量單位的轉(zhuǎn)換

三年級(jí)學(xué)生的思維能力處于從具體到抽象過渡的初期，也是思維進(jìn)階的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，此時(shí)幾何直觀更有利于學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的關(guān)聯(lián)溝通。設(shè)計(jì)如下的對(duì)比體驗(yàn)素材，讓學(xué)生經(jīng)歷關(guān)聯(lián)教學(xué)過程，鍛煉思維能力。

【題組1】

問題：一共有多少個(gè)雞蛋？（圖略）先估一下，再寫出算式，用豎式幫助解答。

追問1：為什么列出乘法算式？

追問2：擺豎式的時(shí)候，先算的是什么，再算的是什么？（豎式略）

追問3：結(jié)合圖形說一說你對(duì)這個(gè)乘法算式意義的理解。

追問4：13、22分別表示什么，286表示的是什么？

追問5：3×22=66和10×22=220分別表示什么？請?jiān)趫D上圈出來，并說一說。

【題組2】

問題：這個(gè)盒子的面積是多少？（圖略）請寫出算式，并借助豎式解答。

追問1：為什么列出乘法算式？

追問2：擺豎式的時(shí)候，先算的是什么，再算的是什么？（豎式略）

追問3：你能結(jié)合圖形說一說對(duì)這個(gè)乘法算式意義的理解嗎？

追問4：一個(gè)小正方形的面積是多少？13指的是什么？22指的是什么？286表示的是什么？

追問5：3×22=66和10×22=220分別表示什么？請?jiān)趫D上圈出來，并說一說。

對(duì)比追問：不變的是什么，變的是什么？

兩份對(duì)比素材，分別是點(diǎn)狀的雞蛋圖和面狀的格子圖。每份素材設(shè)計(jì)相似的問題，每個(gè)問題都承載了各自的設(shè)計(jì)意圖。追問1：倒逼學(xué)生思考乘法的意義和本質(zhì)，從乘法意義的角度進(jìn)行思考，一個(gè)是計(jì)數(shù)單位的累加，一個(gè)是計(jì)量單位的累加，都是求積的過程。追問2：從意義出發(fā)關(guān)聯(lián)算理。追問3：被動(dòng)思維呈現(xiàn)，評(píng)價(jià)學(xué)生的理解程度。追問4：對(duì)比體驗(yàn)，一個(gè)表示的是計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，一個(gè)表示的是計(jì)量單位的個(gè)數(shù)，建立知識(shí)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)。追問5：深度挖掘豎式計(jì)算在不同情境中所承載的不同意義。對(duì)比追問：在思考變與不變中，體驗(yàn)計(jì)數(shù)到計(jì)量的聯(lián)結(jié)點(diǎn)。

上述問題的引導(dǎo)要達(dá)成兩個(gè)層次的目標(biāo)。第一層次：乘法運(yùn)算意義與算理的進(jìn)一步理解溝通;第二層次：體驗(yàn)變與不變。不變的算式，變的是單位和具體問題承載的意義。從熟悉的計(jì)數(shù)問題到不熟悉的計(jì)量問題，讓知識(shí)找到生長的土壤，促成思維在溝通關(guān)聯(lián)中發(fā)展。

二、思維拔節(jié)點(diǎn)：從意義走向圖式，任務(wù)驅(qū)動(dòng)探究兩位數(shù)乘兩位數(shù)的分與合

思維的發(fā)展是縱橫交錯(cuò)展開的，在縱向打通計(jì)數(shù)和計(jì)量的聯(lián)結(jié)點(diǎn)后，橫向拓展練習(xí)恰是思維生長的拔節(jié)點(diǎn)。首先設(shè)疑“這個(gè)圖式你可以看懂嗎”（圖1），給學(xué)生鍛煉思維的空間。承接此任務(wù)，再設(shè)計(jì)三個(gè)層次的探究性任務(wù)。

第一層次，操作載體為點(diǎn)狀雞蛋圖，設(shè)計(jì)兩個(gè)問題，先是由圖到式（圖2），讓學(xué)生從圖上去發(fā)現(xiàn)一個(gè)乘法算式基于意義可以分成哪兩部分。再由式到圖（圖3），讓學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建分的方法，然后在分的基礎(chǔ)上，得出分的圖式。兩個(gè)問題承載不同的思維含量。第二層次，操作載體為面狀長方形圖（圖4），從點(diǎn)狀圖到面狀圖，問題雖然一樣，但思維層次有著很大的跨越。第三層次，操作載體為抽象的圖式，意在培養(yǎng)學(xué)生們的抽象概括能力。拋出問題“你能有序地對(duì)這個(gè)算式分一分嗎？”（圖5）從圖到式，再圖式聯(lián)合，最后到抽象的圖式，這樣的進(jìn)階讓學(xué)生的思維有所倚靠又有所發(fā)展。

從第一次以雞蛋圖為載體的點(diǎn)狀探究到以長方形為載體的面狀探究，再到基于圖式的抽象概括，學(xué)生經(jīng)歷了從模型初探、模型再探到模型建立的過程，是一次深度學(xué)習(xí)的過程。

三、思維綻放點(diǎn)：從圖式走向問題，問題解決疏通兩位數(shù)乘兩位數(shù)的意義

高階思維的養(yǎng)成需要訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性和敏捷性。具體表現(xiàn)為能迅速地對(duì)具體問題做具體分析，采取靈活的方法來思考問題。本課后續(xù)教學(xué)以前面的圖式分解為基礎(chǔ)，在意義思辨、圖式思辨和批判思辨中，培養(yǎng)學(xué)生形成解決問題的策略，達(dá)成思維的綻放。

問題：欣欣農(nóng)場里有一片蔬菜種植區(qū)，它的長和寬剛好是1、2、6、8四個(gè)數(shù)字組成的兩個(gè)兩位數(shù)，且這兩個(gè)兩位數(shù)的乘積最小，請幫忙找到它的長和寬。

意義思辨：基于乘法意義或是乘法算式乘積的特點(diǎn)，可以得出兩種可能，分別為16×28和18×26。

師：請想一想，第一步我們要做什么？可以得到什么？

生1：可以根據(jù)乘法的意義，先把最小的數(shù)字放在十位，另外的兩個(gè)數(shù)字分別放在個(gè)位，然后再計(jì)算比較。

生2：也可以根據(jù)我們前面探究的規(guī)律——和相等，差越小，積越大。

這一環(huán)節(jié)考查學(xué)生們是否養(yǎng)成遇到問題逐步思考的好習(xí)慣。學(xué)生根據(jù)乘法算式的意義想到第一步對(duì)策，先將兩個(gè)最小的數(shù)字1和2，分別放在兩個(gè)數(shù)的十位。

圖式思辨：在乘法意義深刻建構(gòu)的基礎(chǔ)上，結(jié)合圖形對(duì)兩個(gè)算式分別進(jìn)行分解，判斷出乘積的大小。

問題：16×28、18×26兩個(gè)算式乘積的大小，不借助豎式計(jì)算，可以判斷出它們乘積的大小嗎？

師：請觀察格子圖中的兩個(gè)圖形，比較16×28、18×26兩個(gè)算式乘積的大小，并完成填空。（格子圖略）

直接將兩組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的圖形畫在格子圖中，留給學(xué)生足夠的思考時(shí)間，讓他們先根據(jù)圖形得出結(jié)論，再來完成分一分，降低他們思考的難度。此環(huán)節(jié)要讓學(xué)生們通過觀察格子圖得出，兩個(gè)長方形有一部分是重疊的，所以只要比較未重疊部分就可以得出結(jié)論。接著，再引導(dǎo)學(xué)生完成從格子圖到算式的分解，使圖與式對(duì)應(yīng)（圖6，格子圖略），讓算理與算法融合。

批判思辨：兩個(gè)數(shù)的和不相等時(shí)，不能基于“周長相等，長和寬相差越小面積越大”的規(guī)律得出答案，但基于乘法意義進(jìn)行分解的方法可行。

問題：欣欣農(nóng)場計(jì)劃建造一個(gè)游樂區(qū)，有兩種方案，請你幫忙選出面積最大的方案。方案一為長72米，寬33米;方案二為長71米，寬34米。

師：這題還能用規(guī)律解決嗎？試試看。

師：可以用什么方法解決？（方法如圖7所示）

從周長相等到周長不等，培養(yǎng)學(xué)生借助學(xué)過的知識(shí)，批判性地思考問題，不拘泥于固定的形式和結(jié)論。三次思辨，三次成長，在問題鏈的引導(dǎo)下，促成學(xué)生的高階思維在不斷思辨中成長。

（作者單位：浙江省杭州市富陽區(qū)靈橋鎮(zhèn)中心小學(xué)本專輯責(zé)任編輯：王彬）