應用于Lamb 波的最小功率無畸變波束形成算法

褚兆飛，駱 英，秦 云

（江蘇大學國家級高端裝備關鍵結構健康管理國際聯(lián)合研究中心，鎮(zhèn)江，212000）

引 言

Lamb 波相控陣監(jiān)測技術一直是板狀結構健康監(jiān)測研究的熱點，該技術利用Lamb 波對結構中的裂紋等小損傷較為敏感這一特性，在結構中預置激勵器/傳感器陣列，陣列接收板中包含損傷特征信息的Lamb 波信號并對其分析解讀，進而可對結構損傷實施成像監(jiān)測[1]，而相控陣成像所用算法的運算效率及成像精度對最終損傷評估有著重要影響，既有超聲相控陣方法多采用時域延時疊加(Delay and sum,DAS)成像算法[2?3]，該類雖具有成像計算效率高的優(yōu)點，但成像結果都會受到主瓣、旁瓣的影響，使得成像結果橫向分辨率差，且存在旁瓣偽影。為此，最小功率無畸變（Minimum power without distortion re?sponse, MPDR）自適應波束形成算法在Lamb 波損傷檢測領域已得以應用[4?7]，其相較于傳統(tǒng)時域DAS成像算法具有成像分辨率高，可抑制旁瓣偽影的優(yōu)點，然MPDR 算法在超聲Lamb 波損傷檢測中的應用面臨諸多挑戰(zhàn)：（1）超聲Lamb 波所特有的頻散特性將導致信號時域波形畸變，影響基于時域成像方法的精度；（2）自適應算法涉及譜矩陣求逆計算，直接進行求逆運算效率低，需耗費大量計算資源；（3）構成譜矩陣的有效信息量少，導致奇異矩陣無法求逆。

針對頻散問題，駱英等[8]根據(jù)頻散關系對不同頻率信號施加不同的相位延時，去除了頻散對成像結果的影響。按此思路，可在頻域上進行MPDR 算法處理，如此有效解決了頻散對MPDR 算法的影響。

針對矩陣求逆計算困難的問題，已有文獻提出最小二乘遞推算法（Recursive least squares, RLS）來求解矩陣逆[9?10]，其可與MPDR 算法相結合并進一步優(yōu)化計算過程，提高效率。而對于奇異矩陣無法求逆的問題，亦有文獻提出使用對角加載改進算法，提高算法穩(wěn)健性[11]。

綜上，本文研究了適用于Lamb 波損傷檢測的MPDR 算法，其利用自適應算法提高了損傷成像區(qū)域的橫向分辨率，有效抑制旁瓣偽影；通過在頻域上進行波束形成以消除頻散對成像結果的影響；通過RLS 算法及對角加載技術相結合以實現(xiàn)譜矩陣的求逆運算，優(yōu)化了計算過程。

1 MPDR 算法基本原理

1.1 壓電陣列接收到的信號模型

用換能器主動激勵Lamb 波，使其在鋁板中與損傷相互作用發(fā)生散射，再由接收壓電陣列采集。由于本文考慮在頻域上進行MPDR 算法處理以去除頻散對成像結果的影響，由此需對接收陣列所采集的頻域信號進行建模，根據(jù)文獻[6]，接收陣元i所接收到的頻域信號為

該頻域信號由D個空間散射源對應的多模態(tài)信號組成，其中D為空間散射點數(shù)目；m表示Lamb 波傳播模態(tài)；rds,rdi分別為信號激勵源s到散射點d的距離，散射點d到陣元i的距離，其具體表示為：rds=|zd-zs|，rdi=|zd-zi|，zd、zi、zs分別表示散射點d，陣元i，激勵源s的空間位置；T(ω)表示激勵信號的頻域，Rdm表示散射點d對模態(tài)m的Lamb 波的散射系數(shù)，km(ω)為模態(tài)m，角頻率ω所對應的波數(shù)，該波數(shù)可由文獻[12]所研究的Rayleigh?Lamb 方程求解得出。根據(jù)式（1）可推導出M個陣元所接收到頻域信號矢量模型為

式中

vm(ω,zd)為導向矢量，用于表征陣列接收到單模態(tài)、單散射源信號的相位及幅度差異特征，可表示為

1.2 應用于Lamb 損傷檢測的MPDR 權值求解

最小功率波束形式算法的最優(yōu)加權向量是在保持對空間位置z=(x, y)處傳來的Lamb 波增益不變的條件下，使陣列輸出的能量最小而得到的[6]。

式中Rx為譜矩陣。利用拉格朗日數(shù)乘法可解得最優(yōu)權值矢量為

考慮到在單陣元發(fā)射、多陣元接收這種檢測方案下，接收傳感陣列只會接收到一組損傷信號，則對應的X(ω)只有一次采樣數(shù)據(jù)，由此譜矩陣可表示為

本文σ2的取值參考文獻[11]選取的方法，則

且本文中令

1.3 RLS 遞推求逆

在MPDR 最優(yōu)權值求解中，計算涉及到矩陣求逆運算，常規(guī)矩陣求逆采用伴隨矩陣求逆法，其耗費極大的計算資源，降低了計算效率。為此本文引入了最小二乘法遞推法（Recursion least squares，RLS），其通過迭代形式實現(xiàn)矩陣求逆運算，其具體形式如圖1 所示。

X(ω,k)表示對X(ω)的第k次采樣，P(k)即為第k次遞推得到的譜矩陣逆，而在本文中只需進行一次遞推求逆，只需初始化P(0)=I/σ2，遞推結果P(1)為所需求解的逆，經(jīng)遞推后的所求矩陣逆為

圖1 RLS 遞推求逆流程圖Fig.1 RLS recursive inverse flow chart

而根據(jù)式（6），用（a為一復數(shù)）代替原并不會使權值wm發(fā)生改變，由此可對式（11）進一步簡化，令

使式（11）中的除法變?yōu)槌朔?，計算更易實現(xiàn)。

1.4 損傷成像指標求解及優(yōu)化

根據(jù)求解的權值，位置z處的波束合成輸出

如此式（13）可簡化為

可得式（15）比式（13）少計算M2-1 次復數(shù)乘法，M2-M次復數(shù)加法（M表示陣元數(shù)目）。頻域波束合成求解后，即可整合z點所有頻域波束合成值Y(ω,z)進行逆傅里葉變換求取z處的成像指標

式（16）只對Y(ω,z)的正頻率部分進行了逆傅里葉變換，目的是取逆傅里葉變換結果的包絡信號，且以零時刻幅值作為z處成像指標輸出。

1.5 成像流程

前面的部分詳細描述了成像所用到的方法，其具體成像過程如下：

(1)陣列采集Lamb 波信號并從中剔除直達波及邊界反射信號得到損傷散射信號。

(2)將信號傅里葉變換到頻域，得到頻域采樣數(shù)據(jù)X(ω)。

(3)進行譜矩陣求逆運算（如式（12）所示）。

(4)對位置z求取頻域波束合成值（如式（15）所示）。

(5)重復步驟(3)、(4)直至所有頻率點及位置點的頻域波束合成值求解完成。

(6)求取所有位置的成像指標（如式（16）所示）。

2 成像算法的COMSOL 仿真驗證

為檢驗MPDR 算法特性，在Comsol 平臺設置如圖2（a）所示鋁板結構模型，材料參數(shù)如表1，激勵源位于鋁板中心，以150 kHz 中心頻率的五峰波作為檢測波，采樣點間隔為3.86 mm，其為150 kHz 頻率下A0模態(tài)對應的半波長，取離面方向的結構位移量作為信號輸出，最終仿真出的信號如圖2（b）所示，其損傷散射信號部分經(jīng)放大后如圖2（c）所示，其中A0模態(tài)所引起的主要為離面方向，而S0模態(tài)所引起的主要為面內(nèi)位移[13]，因此離面方向的損傷散射信號以A0模態(tài)為主。分別利用MPDR 算法、頻域DAS 算法及時域DAS 算法進行成像處理，其最終成像結果如圖3 所示。為評估成像結果，引入陣列性能指標（Array performance indicator, API）[14]，該指標定義為損傷處幅值最大值下降到50%之內(nèi)所有像素點的面積S。

表1 仿真材料相關參數(shù)Table 1 Simulation material related parameters

圖2 仿真示意圖Fig.2 Simulation diagram

圖3 仿真成像結果圖Fig.3 Simulation imaging results

此處λ取激勵信號中心頻率下A0模態(tài)對應的波長，API 越小，說明成像分辨率越高。對比圖3中各個成像結果的API 指數(shù)以及損傷位置準確度可得結果如表2 所示，經(jīng)分析可得如下結果：

（1）MPDR 損傷區(qū)域徑向分辨率與相較于時域DAS 損傷區(qū)域徑向分辨率有了顯著提高，分析原因在于MPDR 算法能去除頻散對成像結果的影響，提高了徑向分辨率亦提高了損傷定位準確度。

（2）MPDR 成像結果的損傷區(qū)域橫向分辨率顯著優(yōu)于時域及頻域DAS 算法，且MPDR 算法可有效抑制時域及頻域DAS 算法中的旁瓣偽影，分析原因為MPDR 算法可有效抑制非掃查方位的回波信號，保證掃查結果接近真實情況，有效提高了損傷區(qū)域的橫向分辨率，且抑制了旁瓣偽影。

表2 仿真成像結果對比Table 2 Comparison of simulation imaging results

3 實驗驗證

為進一步驗證MPDR 算法的特性，特搭建如圖4 所示實驗平臺。實驗中所用的鋁板尺寸為1 000 mm×1 000 mm×1 mm，以鋁板中心為坐標原點，黏貼7 個間隔為8 mm 的壓電片（型號APC851，直徑7 mm，厚度0.2 mm）位于(-24 mm, 0 mm)～(24 mm, 0 mm)范圍內(nèi)，預制直徑4 mm 圓形通孔損傷位于坐標(50 mm, 100 mm)，壓電陣列布置實物如圖4（b），具體實驗步驟如下：

（1）利用信號發(fā)生模塊產(chǎn)生100 kHz 五峰波信號，經(jīng)DA 轉換、濾波及高壓放大后產(chǎn)生Lamb 波信號，該發(fā)射壓電片位置位于中心原點。

（2）Lamb 波信號發(fā)射之后發(fā)射壓電片轉換為接收功能，接收陣列開始采集信號，陣列將采集到的微弱損傷散射信號經(jīng)由前端放大、濾波電路、AD 轉換傳輸給FPGA 數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)。

（3）FPGA 數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)將采集到的數(shù)據(jù)打包通過串口傳輸至上位機中。

（4）上位機利用Matlab 軟件將采集到的信號以A0模態(tài)為基準進行成像處理并顯示。

最終實驗所采集的損傷信號如圖5 所示，可以看出損傷散射信號以A0模態(tài)為主，而S0模態(tài)信號微弱，難以區(qū)分，原因在于A0模態(tài)導致的結構位移主要在離面方向，而本實驗所使用的壓電晶片對于離面位移更加敏感，根據(jù)此損傷散射信號，最終的損傷成像結果如圖6 所示，對比成像結果的API 指數(shù)以及損傷位置準確度可得結果見表3。

可得MPDR 算法的成像結果顯著優(yōu)于時域及頻域DAS 算法，MPDR 算法的成像有效區(qū)域相較于時域DAS算法成像有效區(qū)域面積縮小了56.3%；相較于頻域DAS 算法的有效區(qū)域面積縮小了54.8%。此外MPDR 成像結果有效抑制了旁瓣偽影，有效提高了損傷區(qū)域的橫向分辨率，此外通過在頻域上實施MPDR 算法，有效去除了頻散對成像結果的影響，提高了成像結果的徑向分辨率。以上結論與仿真結果保持一致，進一步驗證了本文所研究MPDR 算法的優(yōu)異性能。

圖5 實驗損傷散射信號Fig.5 Experimental damage scattering signal

表3 實驗結果對比Table 3 Comparison of experimental results

圖6 實驗成像結果圖Fig.6 Experimental imaging results

為分析RLS 遞推及算法優(yōu)化對成像效率的影響，在Matlab 中分別利用優(yōu)化后的RLS 求逆MPDR 算法以及伴隨矩陣求逆MPDR 算法進行成像，其成像過程所耗費時間如表4 所示。對比發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化后的RLS 求逆MPDR 算法相較于伴隨矩陣求逆MPDR 算法提高了61.4%的計算效率。

表4 成像耗費時間對比Table 4 Comparison of time consuming on imaging

4 結束語

本文提出了一種適用于Lamb 波損傷檢測的MPDR 波束形成算法，該算法通過最小二乘遞推與對角加載相結合的方式實現(xiàn)了譜矩陣求逆運算，通過變換到頻域處理得以消除頻散對成像結果的影響。通過仿真與實驗表明，與時域DAS 算法相比，本文所研究的MPDR 算法能有效提高成像分辨率，有效抑制旁瓣偽影，去除頻散對成像結果的影響，提高最終損傷評估準確度，同時對MPDR 的優(yōu)化改進使得計算量降低，提高了計算效率。本文所研究的超聲Lamb 波相控陣自適應成像方法在金屬板狀結構的成像檢測精度和檢測效率方面得到改進，相關成果有望為進一步優(yōu)化發(fā)展自適應波束形成算法提供新方法，也有望為超聲Lamb 波相控陣損傷檢測的實際工程運用提供理論和方法基礎。