多載波雷達(dá)系統(tǒng)的信息量及克拉美羅界

徐大專(zhuān)，陳 月，陳越帥，許生凱，羅 浩

（南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，南京，211106）

引 言

近年來(lái)，在雷達(dá)中使用多載波信號(hào)引起了人們極大的興趣[1]。多載波雷達(dá)信號(hào)可以看作是量化了的頻域信號(hào)，合成大帶寬獲得高距離分辨率，且子載波形式適于采用多通道結(jié)構(gòu)獲得窄帶處理的優(yōu)勢(shì)，符合了現(xiàn)代雷達(dá)多頻段化的趨勢(shì)[2]。Prasad 提出了多載波雷達(dá)系統(tǒng)框架，發(fā)現(xiàn)多載波雷達(dá)系統(tǒng)具有良好的抗噪聲、抗干擾和探測(cè)能力[3]。

正交頻分復(fù)用技術(shù)(Orthogonal frequency division multiplexing,OFDM)是一種受到廣泛關(guān)注的多載波調(diào)制方式，具有較強(qiáng)的抗衰落和抗干擾能力、較高的頻譜利用率以及易于系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)[4]。目前，OFDM 技術(shù)逐漸引入到雷達(dá)系統(tǒng)中。雷達(dá)系統(tǒng)對(duì)發(fā)射波形有特殊要求，Zadoff?Chu 序列具有恒包絡(luò)特性和良好的自相關(guān)特性，因此，采用 Zadoff?Chu 序列 OFDM 信號(hào)（Orthogonal frequency division multi?plexing?Zadoff?ChuOFDM?ZC）是 非 常 理 想 的 發(fā) 送 波 形[5]。 使 用 循 環(huán) 前 綴 Zadoff?Chu 序 列 的 MI?MO?OFDM 雷達(dá)可以實(shí)現(xiàn)對(duì)子載波的無(wú)IRCI 重建[6]。

怎樣將信息論的思想和方法運(yùn)用于雷達(dá)探測(cè)系統(tǒng)，國(guó)內(nèi)外學(xué)術(shù)界進(jìn)行了有益的探索。早在香農(nóng)信息論[7]創(chuàng)立不久，Woodward 和Davies 即開(kāi)展雷達(dá)探測(cè)系統(tǒng)中目標(biāo)的距離互信息問(wèn)題的研究[8?10]。他們采用逆概率原理，給出了單目標(biāo)場(chǎng)景下距離信息的定義，并在高信噪比條件下得到了目標(biāo)的距離信息的解析表達(dá)式。他們只研究了目標(biāo)幅度為常數(shù)的情況，也就是說(shuō)，只研究了雷達(dá)探測(cè)系統(tǒng)中目標(biāo)的距離信息問(wèn)題，而沒(méi)有涉及目標(biāo)的幅度信息問(wèn)題。

Bell 的開(kāi)創(chuàng)性論文中將互信息測(cè)度用于雷達(dá)波形設(shè)計(jì)[11?12]。Bell 將雷達(dá)信號(hào)的目標(biāo)散射過(guò)程等效于一個(gè)多徑信道，那么，在高斯過(guò)程假設(shè)條件下，接收信號(hào)與目標(biāo)沖激響應(yīng)之間的互信息就是信道容量。這樣，波形設(shè)計(jì)問(wèn)題對(duì)應(yīng)于信道容量在約束條件下的優(yōu)化問(wèn)題。因此，最佳波形設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)于信道容量最大化時(shí)的功率注水解。Bell 的方法用目標(biāo)沖激響應(yīng)刻畫(huà)雷達(dá)目標(biāo)散射信道，其模型并不區(qū)別不同的目標(biāo)，也不涉及目標(biāo)的距離。也就是說(shuō)，Bell 的工作只研究了雷達(dá)探測(cè)系統(tǒng)中的幅度信息問(wèn)題，而沒(méi)有涉及雷達(dá)探測(cè)系統(tǒng)中的距離信息問(wèn)題。文獻(xiàn)[13]中首次同時(shí)研究了雷達(dá)探測(cè)的距離信息問(wèn)題和幅相信息問(wèn)題，然而針對(duì)的是單載波雷達(dá)系統(tǒng)。

本文針對(duì)多載波雷達(dá)系統(tǒng)，運(yùn)用香農(nóng)信息理論的思想和方法建立了一個(gè)信息理論模型，同時(shí)研究目標(biāo)的距離信息問(wèn)題以及幅相信息問(wèn)題。假設(shè)在復(fù)加性高斯白噪聲（Complex additive white gaussian noise,CAWGN）信道中，采用Zadoff?Chu 序列多載波信號(hào)，單目標(biāo)的距離在探測(cè)區(qū)間內(nèi)服從均勻分布，目標(biāo)的模型分為常散射系數(shù)和復(fù)高斯分布兩種情形，這兩種假設(shè)情形基于Woodword 的研究[8]。以此為前提，本文推導(dǎo)了目標(biāo)的概率密度分布函數(shù)，距離信息和幅相信息，仿真驗(yàn)證了它們與信噪比的關(guān)系，給出了高信噪比條件下無(wú)偏估計(jì)量的克拉美羅界以及中低信噪比下信息量的理論界。

本文研究表明，目標(biāo)的信息量和均方誤差一樣，可以作為雷達(dá)系統(tǒng)的另一種性能測(cè)度。以距離信息為例，雷達(dá)系統(tǒng)每獲得1 比特距離信息就意味著目標(biāo)的探測(cè)范圍縮小了一半。隨著距離信息量的增加，I比特信息量意味著系統(tǒng)的探測(cè)精度為2-I。事實(shí)上，在中低信噪比環(huán)境下，目標(biāo)可能位于一些不相鄰的區(qū)域，目標(biāo)估計(jì)的誤差并不完全服從高斯分布，因此，在嚴(yán)格意義上，這時(shí)用均方誤差作為估計(jì)精度的性能指標(biāo)并不準(zhǔn)確。本文以比特為單位來(lái)衡量雷達(dá)系統(tǒng)的性能，為觀察雷達(dá)系統(tǒng)提供一個(gè)新的角度。

1 多載波雷達(dá)系統(tǒng)模型

雷達(dá)天線(xiàn)發(fā)射信號(hào)并接收經(jīng)過(guò)目標(biāo)反射的回波信號(hào)，以此來(lái)獲取目標(biāo)的探測(cè)信息，距離信息反映目標(biāo)與接收端的距離，與時(shí)延有關(guān)。幅相信息反映目標(biāo)的散射系數(shù)和相位分布。假設(shè)發(fā)射信號(hào)由N個(gè)子載波組成，帶寬是BHz，令F=[F0,F1,…,FN-1]T表示通過(guò)子載波傳輸?shù)膹?fù)數(shù)序列，并且這里Fk選用Zadoff?Chu 序列，ZC 序列具有非常好的自相關(guān)性，且具有恒包絡(luò)特性，是目前優(yōu)先選擇的多載波雷達(dá)信號(hào)波形。給每個(gè)子載波加上循環(huán)前綴(Cyclic prefix,CP)后，作為發(fā)射波形發(fā)送出去。那么，多載波時(shí)域發(fā)送信號(hào)為

式中：s(t)為基帶信號(hào)，發(fā)送信號(hào)可以表示為載波為fc，初相為φ0。信號(hào)長(zhǎng)度為T(mén)，Δf=B/N=1/T是子載波間隔。[-T/2-TCP,-T/2]是在離散時(shí)域中對(duì)應(yīng)于CP 的保護(hù)間隔的持續(xù)時(shí)間（為了方便表述，這里用了負(fù)號(hào)），其長(zhǎng)度TCP取T，T是不包括CP 的多載波信號(hào)的長(zhǎng)度，也就是[-T/2-TCP,-T/2]是[-T/2,T/2]的重復(fù)，如圖1 所示。

圖1 加循環(huán)前綴的多載波信號(hào)結(jié)構(gòu)Fig.1 Multi?carrier signal structure with cyclic prefix

雷達(dá)探測(cè)的距離可以用時(shí)延表示，假定探測(cè)范圍是[-D2,D2)，那么對(duì)應(yīng)的時(shí)延范圍是[-T2,T2)，時(shí)延間隔是Δ，這里T= 2D v，v表示信號(hào)傳播速度。α表示目標(biāo)的散射系數(shù)，d表示目標(biāo)和接收端的距離，目標(biāo)的時(shí)延τ可以表示為τ= 2d v。將接收端收到的回波信號(hào)下變頻到基帶，并通過(guò)帶寬為B/2 的低通濾波器，則接收到的窄帶信號(hào)可表示為

令y=αejφ，φ=-2πfcτ+φ0，w(t)表示復(fù)高斯白噪聲，實(shí)部和虛部均服從N(0,N02 )分布，N02是噪聲功率。用B速率對(duì)接收信號(hào)z(t)進(jìn)行采樣，令t=n/B，得到采樣序列為

式中n=-N2,…,N2 -1。通過(guò)分析，可以將N=TB表示歸一化探測(cè)區(qū)間，也稱(chēng)為時(shí)間帶寬積（Time bandwidth product,TBP）。令x=τB表示目標(biāo)的歸一化時(shí)延，x∈ [-N/2,N/2)，因此，用歸一化時(shí)延表示的離散化采樣信號(hào)為

接收信號(hào)z(t)能夠完全由N點(diǎn)離散序列z(n)重建，且w(n)的采樣值之間相互獨(dú)立。圖2 表示接收信號(hào)和參考信號(hào)的互相關(guān)信號(hào)的連續(xù)波形和離散波形，假設(shè)目標(biāo)位于區(qū)間中間，后面主要分析在歸一化觀測(cè)區(qū)間的結(jié)果。

圖2 3 種探測(cè)區(qū)間與互相關(guān)信號(hào)波形Fig.2 Three detection intervals and cross?correlation signal waveform

本文定義回波信號(hào)中有用信號(hào)的平均功率和噪聲功率之比為信噪比，用ρ2表示，SNR=20log(ρ2)，由于所以

2 探測(cè)目標(biāo)距離信息和幅相信息的統(tǒng)一定義及描述方法

為了更好地表達(dá)和分析信號(hào)之間的關(guān)系，將式（4）寫(xiě)成矢量形式

式中：Z=[z-N2,…,zN2-1]T表示采樣信號(hào)矢量，U=[u-N2,…,uN2-1]T表示信號(hào)矢量，u-N/2=s(-N/2-x)，W=[w-N2,…,wN2-1]T表示噪聲矢量。另外，X表示距離參數(shù)，Y表示幅相參數(shù)，進(jìn)一步，A表示幅度參數(shù)，Φ表示相位參數(shù)。雷達(dá)探測(cè)的目的是從Z中估計(jì)X和Y?；バ畔(Z;X,Y)表示能夠從采樣序列Z中獲得關(guān)于X和Y的信息量。根據(jù)互信息的定義和等式，有

式中I(Z,X)表示目標(biāo)的距離信息，I(Z,Y|X)表示在距離信息X條件下目標(biāo)的幅相信息。本文假設(shè)了目標(biāo)的散射系數(shù)α為常數(shù)和目標(biāo)為復(fù)高斯分布兩種情形，在常散射系數(shù)情況下幅相信息可以簡(jiǎn)化為相位信息I(Z,Φ|X)。從式（7）中可以發(fā)現(xiàn)幅相信息依賴(lài)于距離信息，因此雷達(dá)系統(tǒng)探測(cè)需要分兩步進(jìn)行，首先探測(cè)距離信息，然后探測(cè)幅相信息。

在雷達(dá)探測(cè)之前，對(duì)目標(biāo)的距離信息一無(wú)所知，也就是目標(biāo)在探測(cè)區(qū)間內(nèi)呈均勻分布。因此，距離參數(shù)X的先驗(yàn)概率為p(x) =1/N。由于當(dāng)載波非常高時(shí)，時(shí)延微小的的變化都會(huì)導(dǎo)致相位很大的變化，所以這里可以假定φ在[0,2π]內(nèi)均勻分布，也就是φ的先驗(yàn)概率為p(φ) =1/2π。已知W是復(fù)高斯白噪聲，它的先驗(yàn)概率密度為

根據(jù)高斯估計(jì)模型，可以寫(xiě)成w(n) =z(n) -y0s(n-x0)，那么，在X，A和Φ條件下Z的N維高斯概率密度函數(shù)為

首先來(lái)分析目標(biāo)的距離信息。運(yùn)用概率公式p(z,x,φ|α) =p(x)p(φ)p(z|x,φ,α)，并對(duì)式(10)進(jìn)行分解，可以得到在給定Α的條件下，Z、X和Φ的聯(lián)合概率密度為

式中R(?)表示取復(fù)數(shù)的實(shí)部。根據(jù)概率論的定義，可以得到Z和X的聯(lián)合概率密度為

令

則

這里I0(?)表示第1 類(lèi)零階修正貝塞爾函數(shù)，式（12）可以寫(xiě)成

利用貝葉斯公式，可以得出目標(biāo)歸一化距離X的概率密度函數(shù)為

根據(jù)互信息的定義，可以計(jì)算單目標(biāo)探測(cè)的距離信息為

考慮目標(biāo)的幅相信息，由上述推導(dǎo)，同樣可以得到Z和X條件下Y的概率密度為

根據(jù)條件互信息恒等式，可以得到X條件下的雷達(dá)探測(cè)系統(tǒng)的幅相信息為

式中H(Y|Z,X)表示在Z和X條件下Y的熵，H(Y|X)是Y的先驗(yàn)信息。距離信息和幅相信息共同構(gòu)成了雷達(dá)探測(cè)的互信息I(Z;X,Y)。

3 目標(biāo)的距離信息

3.1 目標(biāo)散射系數(shù)為常數(shù)的距離信息及克拉美羅界

當(dāng)目標(biāo)的散射系數(shù)為常數(shù)Α時(shí)，p(α) =Αδ(x-x0)，此時(shí)的信噪比為ρ2= 2A2N0，由式（16）得到

代入式（17）可以計(jì)算距離信息。

克拉美羅界(Cramer?Rao bound，CRB)是無(wú)偏估計(jì)量所能達(dá)到的最小均方誤差。在高信噪比條件下，歸一化時(shí)延均方誤差的CRB[14]為

式中β是信號(hào)的均方根帶寬，設(shè)信號(hào)s(t)的傅里葉變換為S(jω)，由文獻(xiàn)[14]中的定義，可以得到

E是接收信號(hào)的能量

因此

在高信噪比條件下，目標(biāo)距離估計(jì)的概率密度分布近似為高斯分布，因此可以用高斯分布的微分熵公式來(lái)計(jì)算H(X|Z)，則有

后面的數(shù)值計(jì)算表明，在高信噪比條件下，距離信息量以式（25）的結(jié)果為漸進(jìn)上界，這一結(jié)論表明，信息理論界與CRB 一致。在高信噪比條件下，最大似然估計(jì)的方差逼近CRB，可以用CRB 作為理論界，而實(shí)際的雷達(dá)系統(tǒng)通常工作于中等信噪比環(huán)境下，CRB 不再適合用作理論界。本文給出的距離信息量適用各種信噪比環(huán)境，因此，為實(shí)際雷達(dá)系統(tǒng)的性能提供了理論上界，具有重要的理論指導(dǎo)意義。

3.2 目標(biāo)模型為復(fù)高斯分布的距離信息

當(dāng)目標(biāo)服從復(fù)高斯分布時(shí)，y=αejφ=yreal+iyimg，它的實(shí)部yreal和虛部yimg都服從N～(0,σy2)，此時(shí)相位φ仍服從均勻分布，而散射系數(shù)α服從瑞利分布，其概率分布為

式中:α>0，α的均值為σyπ 2，方差為(2- π 2)σy2。代入式（16）和式（17）可得到目標(biāo)為復(fù)高斯分布時(shí)的距離信息。

4 目標(biāo)的幅相信息

4.1 目標(biāo)散射系數(shù)為常數(shù)的幅相信息

當(dāng)目標(biāo)的散射系數(shù)為常數(shù)時(shí)，幅度信息已經(jīng)確定，幅相信息I(Z,Y|X)等效于相位信息I(Z,Φ|X)。通過(guò)前面的分析已經(jīng)得到了目標(biāo)的距離信息X，這里用X的后驗(yàn)分布來(lái)求相位信息。由式（18）可得Z和X條件下Φ的概率密度函數(shù)為

根據(jù)式（14），對(duì)式（27）進(jìn)行化簡(jiǎn)得到

根據(jù)式（19），可以得到X條件下的雷達(dá)探測(cè)系統(tǒng)的相位信息為

4.2 目標(biāo)模型為復(fù)高斯分布的幅相信息

通過(guò)前面的分析，已經(jīng)得到了當(dāng)目標(biāo)的散射系數(shù)服從瑞利分布時(shí)的距離信息，此時(shí)距離參數(shù)X已知，則U(X)矩陣是一個(gè)常數(shù)矩陣，而Y和W都是獨(dú)立的高斯矢量，由式（7）可知Z也是一個(gè)高斯矢量。因此可以得到Z的協(xié)方差矩陣為

當(dāng)X=x時(shí)，由多維相干高斯信源熵的公式，可以得到Z的熵為

并且

因此，在已知條件X=x時(shí)，幅相信息為

此外，對(duì)于x∈[-TB/2,TB/2)，考慮到觀測(cè)區(qū)間的長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于U(x)的能量區(qū)域，當(dāng)N足夠大的時(shí)候，有于是I(Z,Y|X=x) =log(1+Nρ2)。可以發(fā)現(xiàn)，幅相信息只與信噪比有關(guān)，而與距離信息無(wú)關(guān)。因此，目標(biāo)服從復(fù)高斯分布時(shí)，多載波雷達(dá)探測(cè)系統(tǒng)的幅相信息為

該幅相信息與香農(nóng)信道容量的公式相似，這表明，香農(nóng)信道容量本質(zhì)上與幅相信息有關(guān)，它們之間的關(guān)系值得進(jìn)一步研究。

5 數(shù)值仿真結(jié)果與分析

本節(jié)給出了所有的數(shù)值仿真結(jié)果與分析，仿真參數(shù)的設(shè)定為，在多載波雷達(dá)系統(tǒng)中，目標(biāo)距離歸一化時(shí)延x0=0，時(shí)延間隔Δ=0.01，常散射系數(shù)α=1，復(fù)高斯分布下瑞利分布散射系數(shù)的均值為1，單位帶寬，CWAGN 信道。時(shí)間帶寬積的探測(cè)區(qū)間為[-TB/2,TB/2)。

5.1 概率密度分布

圖3 給出了N=16，目標(biāo)的散射系數(shù)為常數(shù)時(shí)，不同信噪比下目標(biāo)距離的概率密度分布圖，由式（20）得到。為了便于觀察，這里只截取了部分區(qū)間。可以看出，概率密度分布呈現(xiàn)為高斯分布，其均值為x0，方差為σ2= 4()I-logTB2πe。根據(jù)高斯分布的3σ原則，目標(biāo)歸一化距離的搜索區(qū)間基本確定。接收端每獲得一個(gè)比特的信息量，等效σ縮小一半，即搜索區(qū)間縮小了一半，若雷達(dá)系統(tǒng)能獲得I比特的距離信息量，意味著該系統(tǒng)的距離測(cè)量精度為2-I。因此，獲得的信息量越多，概率密度分布越尖銳，得到的目標(biāo)距離越精確。

圖3 目標(biāo)距離估計(jì)值的概率密度分布Fig.3 Probability density distribution of target distance

5.2 距離信息量

圖4 給出了理論模型、最大似然估計(jì)以及克拉美羅界的距離信息量與信噪比的關(guān)系曲線(xiàn)。從圖4 中可以看出，當(dāng)TB固定時(shí)，隨著信噪比的增加，距離信息量的變化規(guī)律大致可以分為兩個(gè)重要的階段，第一階段稱(chēng)為“目標(biāo)搜索階段”，此時(shí)距離信息量隨信噪比增長(zhǎng)的斜率較大，當(dāng)信息量達(dá)到logTB時(shí)，目標(biāo)搜索區(qū)間縮小至觀測(cè)區(qū)間的1TB，即系統(tǒng)分辨率達(dá)到1B。第二階段稱(chēng)為“目標(biāo)定位階段”，即在高信噪比區(qū)域，此時(shí)距離信息量增長(zhǎng)的斜率恒定，趨近于克拉美羅界，隨信息量增加，目標(biāo)距離的估計(jì)范圍繼續(xù)縮小，從而突破了1B的限制。理論模型的距離信息量可以作為雷達(dá)系統(tǒng)距離信息量的理論界。

圖5 給出了N=64 時(shí)，兩種目標(biāo)模型下距離信息量與信噪比的關(guān)系曲線(xiàn)，從圖5 中可以看出，距離信息量隨著信噪比的增加而增加，并且目標(biāo)復(fù)高斯分布模型獲得的距離信息量高于常散射系數(shù)模型，這是因?yàn)樵跈z測(cè)過(guò)程中目標(biāo)復(fù)高斯分布模型帶來(lái)的不確定性比常數(shù)更大。

圖4 距離信息量的比較Fig.4 Comparison of distance information

圖5 不同目標(biāo)模型下的距離信息量Fig.5 Distance information under different target models

5.3 均方誤差

圖6 比較了3 種歸一化時(shí)延的均方誤差，分別是理論模型、最大似然估計(jì)和克拉美羅界。理論模型曲線(xiàn)是對(duì)信息量求其等效的高斯分布的方差得到的?？梢钥闯觯讲铍S著信噪比增大而減小。在高信噪比區(qū)域，克拉美羅界是理論模型方差的漸進(jìn)下界，驗(yàn)證了理論分析的正確性。

5.4 幅相信息量

圖7 中給出了目標(biāo)常散射系數(shù)模型下的相位信息量和復(fù)高斯分布模型下的幅相信息量與信噪比的關(guān)系，可以看出相位信息和幅相信息都隨信噪比的升高而升高，且在高信噪比條件下都與信噪比成線(xiàn)性關(guān)系，并且目標(biāo)復(fù)高斯分布模型獲得的幅相信息量高于常散射系數(shù)模型獲得的相位信息量。

圖6 均方誤差的比較Fig.6 Comparison of the mean square error

圖7 幅相信息量與信噪比的關(guān)系Fig.7 Relationship between amplitude?phase information and SNR

6 結(jié)束語(yǔ)

本文基于香農(nóng)信息理論，建立了多載波雷達(dá)系統(tǒng)的信息理論模型。研究表明，目標(biāo)的信息量和均方誤差一樣，可以作為雷達(dá)系統(tǒng)的另一種性能測(cè)度。以距離信息為例，雷達(dá)系統(tǒng)每獲得1 比特距離信息就意味著目標(biāo)的探測(cè)范圍縮小了一半。隨著距離信息量的增加，I比特信息量意味著系統(tǒng)的探測(cè)精度為2-I。理論分析與數(shù)值仿真結(jié)果表明，在高信噪比條件下，Cramer?Rao 界就是距離信息量的漸近上界。實(shí)際雷達(dá)系統(tǒng)通常工作于中等信噪比環(huán)境，目標(biāo)的距離信息量可作為最大似然估計(jì)的性能上界，為實(shí)際系統(tǒng)的性能提供了比較的依據(jù)。此外，信噪比和TB 是雷達(dá)系統(tǒng)探測(cè)性能的兩個(gè)重要影響因素，可以根據(jù)信噪比和TB 預(yù)估雷達(dá)系統(tǒng)探測(cè)性能，也可以依據(jù)所需信息量來(lái)判斷信噪比的下界，這可以指導(dǎo)在實(shí)際中更有效地對(duì)目標(biāo)進(jìn)行探測(cè)，也可以指導(dǎo)雷達(dá)系統(tǒng)設(shè)計(jì)。本文的分析基于CAWGN 信道，針對(duì)單目標(biāo)探測(cè)的情形，且不考慮信號(hào)衰減的情況，但實(shí)際的雷達(dá)探測(cè)場(chǎng)景更加復(fù)雜，因此需要將本文的研究結(jié)論進(jìn)行推廣，如衰落回波信號(hào)，目標(biāo)之間存在干擾的廣義多目標(biāo)探測(cè)情景等，這些問(wèn)題都是值得進(jìn)一步深入研究的重點(diǎn)。