動(dòng)作與語(yǔ)言齊飛，形象共抽象一色
——“烙餅問(wèn)題”教學(xué)分析

浙江省臨海市教育局教研室 蔣依寶

【教學(xué)內(nèi)容】 人教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》四年級(jí)上冊(cè)第105頁(yè)。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.通過(guò)探究，認(rèn)識(shí)解決問(wèn)題策略的多樣性，初步形成尋找解決問(wèn)題最優(yōu)化方案的意識(shí)。

2.通過(guò)實(shí)驗(yàn)，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，初步體會(huì)運(yùn)籌思想在解決問(wèn)題中的應(yīng)用。

3.經(jīng)歷操作、觀察、思考等系列探究過(guò)程，嘗試用數(shù)學(xué)的方法來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，形成烙餅問(wèn)題的規(guī)律，初步培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

4.體驗(yàn)探索和合作的樂(lè)趣，感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，逐漸養(yǎng)成合理安排時(shí)間的良好習(xí)慣。

【教學(xué)重點(diǎn)】 在解決問(wèn)題中體會(huì)優(yōu)化思想和方法策略。

【教學(xué)難點(diǎn)】 形成烙3張餅的最佳方案。

【教學(xué)過(guò)程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

呈現(xiàn)課本主題圖。

師：圖中的阿姨在干什么？你見(jiàn)過(guò)這樣的情境嗎？

生1：這個(gè)阿姨在烙餅。我在老朱麥餅店里看到過(guò)烙餅。

生2：我外婆會(huì)烙餅，她把餅放在平底鍋中，先烙好一面，再翻過(guò)來(lái)烙第二面，還要添上一些菜油什么的。

師：這些都是生活中的烙餅，這節(jié)數(shù)學(xué)課我們用數(shù)學(xué)方法來(lái)研究“烙餅問(wèn)題”（板書(shū)課題）。

二、自主探索，探究烙法1.解讀信息，理解規(guī)則

呈現(xiàn)信息：每次最多只能烙兩張餅，兩面都要烙，每面要烙3分鐘。

師：“每次最多只能烙兩張餅”是什么意思？

生1：指鍋里最多同時(shí)能放下兩張餅。如果只有一張了，鍋里只放一張也是可以的。

生2：也就是說(shuō)，一張、兩張都可以放，三張就放不下了。

師：“兩面都要烙”又是什么意思？

生：就是每一張餅的正面要烙，反面也要烙，這樣才能把餅烙熟。

2.比較烙一張與兩張餅所用的時(shí)間

（1）烙1張餅

師：如果要烙1張餅，需要幾分鐘？

生：先正面烙一次，再反面也烙一次，一共要2次，2次需要6分鐘。

師板書(shū)：1張餅，正——反，2次，6分鐘

（2）烙2張餅

師：如果要烙2張餅，最少需要烙幾次，需要幾分鐘？請(qǐng)先想一想該怎么烙，再把你的雙手當(dāng)成餅，動(dòng)手烙一烙，可要記住你的烙餅過(guò)程哦。

學(xué)生各自操作，教師巡視。待操作基本完成，教師讓一學(xué)生上臺(tái)演示并說(shuō)操作過(guò)程。

生：我把兩張餅都放在鍋里，先同時(shí)烙兩張餅的正面，再翻轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)同時(shí)烙這兩張餅的反面。這樣就烙了2次，需要6分鐘。

師板書(shū)：2張餅，1正2正——1反2反，2次，6分鐘

（3）比較烙法和所用時(shí)間，明確同時(shí)烙省時(shí)

師：烙1張餅用了6分鐘，烙2張餅也用了6分鐘，這很奇怪！為什么餅的張數(shù)不同，所用時(shí)間卻是相同的？

生1：烙2張餅時(shí)，因?yàn)檫@2張是同時(shí)放在一起烙的，烙2張餅的正面才用了3分鐘，烙這2張餅的反面也只用了3分鐘，所以只用了6分鐘。

生2：烙1張餅時(shí)，是3分鐘才烙一個(gè)面；而烙2張餅時(shí)，是3分鐘同時(shí)烙了兩個(gè)面，不讓鍋空著，就節(jié)省了時(shí)間。

生3：前面說(shuō)“每次最多只能烙兩張餅”，現(xiàn)在把2張餅同時(shí)放到鍋里，充分利用了鍋的空間。

生4：也就是說(shuō)，烙2張餅，把2張餅放在同一個(gè)鍋里，鍋放滿了；烙1張餅，鍋里只放了1張，鍋里有空隙。

師：那烙1張餅時(shí)，這個(gè)空隙能避免嗎？

生4：不能避免，除非有兩面可以同時(shí)烙的雙面機(jī)器，我在電視里看過(guò)這種機(jī)器，但是這個(gè)鍋不能兩面同時(shí)烙。

生5：所以呀，烙1張餅，只能一面一面地烙，要烙2次，需要6分鐘。烙2張餅，要2張同時(shí)烙，一次就烙了2個(gè)面，節(jié)省時(shí)間，只要烙2次，只要6分鐘。

生6：我在烙餅之前想了又想，烙2張有兩種方法：第一種是一張一張烙，烙第一張就要6分鐘，烙第二張也要6分鐘，一共要烙4次，要用12分鐘；第二種是把2張放在一起同時(shí)烙，一共只烙2次，只要6分鐘。題目里說(shuō)“最少需要烙幾次”，我就把2張放在一起烙，不讓鍋空著，就能節(jié)省時(shí)間，最少要2次，最少需要6分鐘，但是不能再少了。

師：你這是先想后做，這是一種很好的學(xué)習(xí)習(xí)慣！在動(dòng)手做之前，我們要先思考怎么做，然后再去做，這樣就可以少走彎路。

3.探究3張餅的最優(yōu)烙法

（1）探究烙3張餅

提出問(wèn)題：如果要烙3張餅，最少需要烙幾次，需要幾分鐘？

師：先獨(dú)立思考，你準(zhǔn)備怎么烙？再同桌合作，把兩本數(shù)學(xué)書(shū)和一本作業(yè)本當(dāng)成3張餅，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作，并互相說(shuō)一說(shuō)操作過(guò)程。

同桌合作烙餅，教師巡視。

指兩組上臺(tái)分別烙餅：由一生說(shuō)過(guò)程，另一生操作，教師板示記錄。

小組一：1 正2正——1反2反——3正——3反

小組二：1 正2正——1反3正——2反3反

師：請(qǐng)觀察記錄下的烙餅過(guò)程，這兩種方法，是否都把餅烙熟了？

生：每個(gè)餅都烙了2次，也就是正反面都烙了，肯定是烙熟了。

（2）比較兩種烙法，研究怎樣把鍋放滿，從而節(jié)省時(shí)間

師：同樣烙3張餅，第一組烙了4次，第二組只烙了3次就完成了，這是什么原因？

生1：第二組把鍋放滿了，每次都有2張；第一組開(kāi)始有2張，到后來(lái)就沒(méi)有把鍋放滿。

生2：第一組在前兩次，是把鍋放滿了的，后來(lái)兩次加起來(lái)也只烙了一張，一共4次，比第二組多1次。

師：（問(wèn)第一組同學(xué)）你們當(dāng)時(shí)是怎么想怎么做的？請(qǐng)?jiān)俳榻B一下。

生：我們想，兩張同時(shí)烙省時(shí)間，所以一開(kāi)始就把第一、二兩張一起烙，兩張烙好了，只剩下一張，只好把這一張正面烙一次，反面也烙一次。

師：（問(wèn)第二組同學(xué)）你們當(dāng)時(shí)又是怎么想怎么做的？也請(qǐng)?jiān)俳榻B一下。

生：我們也想省時(shí)間，開(kāi)始兩張同時(shí)烙，要2次；還剩下一張，也要2次，這兩次鍋里都有空隙。我想鍋里有空隙肯定不好，就調(diào)整烙餅順序，調(diào)成功了，每次鍋里都沒(méi)有空隙。第一次不變，還是烙第一張和第二張的正面；第二次，把第二張取出來(lái)放到外面，把第三張換進(jìn)來(lái)，第二次就烙第一張反面和第三張正面；兩次以后，第一張就烙好了，第二張和第三張的反面都還沒(méi)有烙，所以第三次就烙第二張和第三張的反面。

生（第一組）：他們小組開(kāi)始也出了問(wèn)題，后來(lái)重新安排，每次鍋里都有2張餅。我們小組沒(méi)有調(diào)整，所以失敗了?，F(xiàn)在知道，烙3張不能只想著前面的2張，這樣就會(huì)出問(wèn)題。要把3張合起來(lái)安排，烙第二次時(shí)把第二張取出來(lái)放在外面，把第三張換進(jìn)去，這樣每次都有2張餅。

師：請(qǐng)各小組將你們的方法與第二組對(duì)照，如有不同，再烙一遍。

師：用實(shí)驗(yàn)操作法解決問(wèn)題，實(shí)驗(yàn)前要思考，實(shí)驗(yàn)中要觀察，如果發(fā)現(xiàn)出了問(wèn)題，要靜下心來(lái)思考，調(diào)整解決問(wèn)題的思路。烙3張餅，最關(guān)鍵的是思考第二次怎么烙，用調(diào)換的方法，把第二張取出來(lái)放到外面，把第三張拿進(jìn)來(lái)，這樣就解決這個(gè)難題，使鍋里每次都有兩張餅，保證鍋里都不會(huì)空，我們把這種方法叫做交替烙餅法（板書(shū)）。

師：請(qǐng)大家回想用交替法烙3張餅的順序，在頭腦中再烙一遍。

學(xué)生在腦中烙餅。

（3）驗(yàn)證有沒(méi)有比烙3次更少的方法，抽象提升

師：我們繼續(xù)研究，要烙3張餅，烙3次是不是最少的次數(shù)？2次行嗎？

生1：交替烙餅，每次都把鍋放滿，已經(jīng)把鍋充分利用了，烙3次是最少的，2次肯定不行！

生2：3張餅有6個(gè)面，因?yàn)槊看巫疃嘀荒芾?個(gè)面，所以至少要烙3次。

師：你能用算式來(lái)表示嗎？

生2：3×2=6（面），6÷2=3（次）。

生1：交替烙餅需要調(diào)來(lái)調(diào)去，就是為了保證每次鍋里都有兩張餅?，F(xiàn)在用計(jì)算法更省心，先算出共有幾面，再除以2 就是次數(shù)。

師：對(duì)呀！動(dòng)手操作與列式計(jì)算是有聯(lián)系的。動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，調(diào)來(lái)調(diào)去，這是對(duì)烙餅方法的最優(yōu)化，目的是保證每次鍋里都要有2張餅，每次都能烙2個(gè)面，所以有人說(shuō)：“烙餅，烙餅，其實(shí)就是烙面?！绷兴闶骄褪怯?jì)算一共有幾個(gè)面，最少需要烙幾次。

4.總結(jié)方法，探究規(guī)律

（1）比較烙3張與烙2張的方法

師：我們回頭看烙3張與烙2張的方法，它們有什么不同？

生：烙2張是把2張一起放進(jìn)鍋里，先烙好正面，再烙反面，不需要調(diào)來(lái)調(diào)去。烙3張要用交替法，需要調(diào)來(lái)調(diào)去，這樣才能保證每次烙2個(gè)面。

（2）探究4張餅的烙法

師：4張餅怎么烙？至少要幾次？

生1：因?yàn)? 等于2 加2，所以可以2張2張烙。先烙2張，要2次；再烙2張，也要2次。一共要4次。

生2：算式是4×2÷2=4（次）。

師：烙4張是2張2張地烙，還有那些張數(shù)也可以這樣烙？

生：2、4、6、8、10……都是雙數(shù)，它們都可以用2張2張的方法烙，算法都一樣：次數(shù)=2×張數(shù)÷2。（師板書(shū)：次數(shù)=2×張數(shù)÷2）

（3）探究5張餅的烙法

師：5張餅怎么烙？

生1：先烙2張，再烙2張，最后烙1張。

生2：這樣不行，要6次了。因?yàn)?等于2加3，所以要先烙2張，再烙3張。2張一起烙要2次，3張交替烙要3次，一共5次。

生3：5張有10個(gè)面，每次烙2個(gè)面，需要5次。第二個(gè)同學(xué)是對(duì)的。

師：烙5張是把2張同時(shí)烙與3張交替烙結(jié)合在一起，這樣每次都烙2個(gè)面，次數(shù)最少，節(jié)省時(shí)間。還有哪些張數(shù)可以這樣烙？

生1：因?yàn)?=3+2+2，9=3+2+2+2，11=3+2+2+2+2……所以，這些張數(shù)的餅，是先把3張拿來(lái)交替烙，再兩張兩張烙。

生2：5、7、9、11……都是單數(shù)，先拿3張交替烙，剩下的張數(shù)是雙數(shù)，就兩張兩張烙。計(jì)算方法都一樣：次數(shù)=2×張數(shù)÷2。

生3：9=3+3+3，9張分成3個(gè)3張，都用交替法烙。12、15、18……也都這樣烙。

師：比較烙9張的兩種方法，你們有什么想說(shuō)的？

生1：這兩種方法都是對(duì)的。

生2：后面的方法不好，全部用交替法了。兩張兩張同時(shí)烙方便，三張交替烙有時(shí)候會(huì)弄錯(cuò)，在沒(méi)有辦法時(shí)，只好用交替法。

師：分析得有道理，兩種方法都能用。當(dāng)能兩張兩張烙時(shí)，就盡可能兩張兩張烙。

（4）餅的張數(shù)和烙的次數(shù)的關(guān)系

師：通過(guò)操作與思考，掌握了烙餅方法，明白了“烙餅，烙餅，其實(shí)就是烙面”。那餅的張數(shù)與烙的次數(shù)有什么關(guān)系呢？

生1：我看出來(lái)了，除了1張，其他的烙幾張就要烙幾次。

生2：因?yàn)槊繌堄?個(gè)面，每次最多能烙2個(gè)面，所以可以用“張數(shù)×2÷2”來(lái)計(jì)算次數(shù)。又因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)乘以2，再除以2，結(jié)果還是原數(shù)，所以餅的張數(shù)和烙的次數(shù)相等。

師：找到了規(guī)律就要用。我們班有40人，如果每人要1張餅，至少要烙多少時(shí)間？

生：40張餅需要烙40次，40×3=120，至少需要120分鐘。

三、課堂總結(jié)

師：這節(jié)課我們研究了烙餅問(wèn)題，你學(xué)到了什么？

生1：鍋里可以放1張，也可以放2張。不過(guò)，2張2張烙省時(shí)間。

生2：把鍋放滿了就省時(shí)間。2張餅，要2張同時(shí)烙；3張餅，要用交替法；張數(shù)是雙數(shù)，就2張2張烙；5張、7 張、9張……，先拿3張交替烙，剩下的2張2張烙。只有1張餅時(shí)，沒(méi)有辦法，只好烙2次。

生3：烙餅，烙餅，其實(shí)就是烙面。所以，烙的次數(shù)=張數(shù)×2÷2，除了1張餅，其余的數(shù)量，烙的次數(shù)都等于餅的張數(shù)。

師：這節(jié)課我們又是怎樣學(xué)習(xí)的？

生：我們用實(shí)驗(yàn)操作的方法來(lái)學(xué)習(xí)。烙3張餅最難，開(kāi)始時(shí)我們方法不對(duì)，烙的次數(shù)不是最小，后來(lái)調(diào)整順序，用交替法就成功了。所以，在實(shí)驗(yàn)前要先思考，在實(shí)驗(yàn)中又要觀察思考，還要列式計(jì)算驗(yàn)證，這樣就保證不會(huì)出錯(cuò)。

【教學(xué)分析】

“烙餅問(wèn)題”的教學(xué)應(yīng)該讓學(xué)生學(xué)到什么？學(xué)習(xí)障礙在哪里？怎樣在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生突破難點(diǎn)？這是教學(xué)之前需要思考的幾個(gè)核心問(wèn)題。對(duì)于第一、二兩個(gè)問(wèn)題，大家都心知肚明：“烙餅問(wèn)題”的教學(xué)是讓學(xué)生尋找解決問(wèn)題的最優(yōu)化方案，進(jìn)而形成規(guī)律，并能運(yùn)用規(guī)律解決問(wèn)題；學(xué)習(xí)難點(diǎn)（障礙）是“當(dāng)有3張餅時(shí)，怎樣組合安排3張餅正反面烙的先后順序，才能使鍋里每次都有2張餅？”但對(duì)第三個(gè)問(wèn)題，老師們的理解和做法各有千秋，筆者曾聽(tīng)過(guò)多節(jié)“烙餅問(wèn)題”公開(kāi)課，其共同特點(diǎn)是“直觀教學(xué)”，即借助教具或?qū)W具的直觀操作來(lái)幫助學(xué)生突破難點(diǎn)，但是，這個(gè)“直觀操作”由誰(shuí)來(lái)做？怎樣做？在做的過(guò)程中應(yīng)該注意什么？眾說(shuō)紛紜，做法不一，歸納起來(lái)有兩類(lèi)：第一類(lèi)，是教師演示，教師通過(guò)演示教具，指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察獲得感性認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生知曉“三張餅正反面的組合與烙的順序”。其教學(xué)理由是：激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，集中注意力，且能使抽象知識(shí)具體化，縮短學(xué)生掌握所學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)過(guò)程，提高教學(xué)效率。第二類(lèi)，是學(xué)生操作實(shí)驗(yàn)，在教師指導(dǎo)下，學(xué)生利用學(xué)具獨(dú)立操作，手腦并用，經(jīng)歷烙餅過(guò)程，從而獲得直接經(jīng)驗(yàn)。筆者認(rèn)為，學(xué)生操作實(shí)驗(yàn)與教師演示功能類(lèi)同，但學(xué)生操作實(shí)驗(yàn)更勝教師演示一籌。究其原因，第一，教師演示法是教師演示烙餅過(guò)程，是演給學(xué)生看的，教師是主動(dòng)的操作者，學(xué)生是被動(dòng)的觀察者；而學(xué)生操作學(xué)具，模擬烙餅，人人動(dòng)手，認(rèn)真思考，思維隨之展開(kāi)，更容易把學(xué)生推到探究烙餅問(wèn)題的主體地位。皮亞杰曾對(duì)此做中肯分析：“當(dāng)著兒童的面做實(shí)驗(yàn)而不讓兒童自己去做實(shí)驗(yàn)，就消失了動(dòng)作本身所提供的那種提供知識(shí)與培養(yǎng)性格的價(jià)值?！钡诙?，從數(shù)學(xué)學(xué)科性質(zhì)來(lái)看，實(shí)驗(yàn)操作的反映是符號(hào)化的數(shù)量關(guān)系和空間形式。小學(xué)數(shù)學(xué)課與小學(xué)科學(xué)課的操作實(shí)驗(yàn)有著本質(zhì)區(qū)別：科學(xué)課中學(xué)生實(shí)驗(yàn)的對(duì)象就是其認(rèn)識(shí)對(duì)象；而數(shù)學(xué)課的實(shí)驗(yàn)操作，學(xué)生只是把學(xué)具作為中介物（如本節(jié)課的手、數(shù)學(xué)課本和作業(yè)本），利用烙餅動(dòng)作把蘊(yùn)含在操作中的數(shù)學(xué)的抽象邏輯關(guān)系物化出來(lái)，其動(dòng)作本身就是認(rèn)識(shí)對(duì)象，動(dòng)作反映了解決問(wèn)題的思維過(guò)程，動(dòng)作伴隨著語(yǔ)言，通過(guò)語(yǔ)言使動(dòng)作程序內(nèi)化成學(xué)生的智力活動(dòng)方式，從而掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)而發(fā)展數(shù)學(xué)思維?？梢?jiàn)，操作實(shí)驗(yàn)法不僅有助于動(dòng)作思維、形象思維，也有助于抽象邏輯思維，促進(jìn)大腦兩半球的和諧發(fā)展。第三，操作學(xué)具，學(xué)生多種感官協(xié)同，有利于建立廣泛的神經(jīng)聯(lián)系，有利于知識(shí)的理解、鞏固和提取。本課采用學(xué)生實(shí)驗(yàn)操作法教學(xué)，教學(xué)目標(biāo)達(dá)成度高。教學(xué)有以下特色：

（一）學(xué)具操作的目的性明確

如前所說(shuō)，數(shù)學(xué)課的實(shí)驗(yàn)操作，學(xué)生只是把學(xué)具作為中介物，利用動(dòng)作把蘊(yùn)含在操作中的數(shù)學(xué)的抽象邏輯關(guān)系物化出來(lái)，其動(dòng)作本身就是認(rèn)識(shí)對(duì)象，反映了解決問(wèn)題的思維過(guò)程，并通過(guò)語(yǔ)言使動(dòng)作程序內(nèi)化成學(xué)生的智力活動(dòng)方式，從而掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)而發(fā)展數(shù)學(xué)思維?？梢?jiàn)，學(xué)具本身并不十分重要，只要能替代實(shí)物，便于操作，便于觀察即可，重要的是操作實(shí)驗(yàn)的動(dòng)作及其程序，更重要的是要明確學(xué)具操作的目的。

烙2張餅的操作實(shí)驗(yàn)，所用學(xué)具是雙手，教師讓學(xué)生先想再做，取材簡(jiǎn)單，伸手即可，但意味深長(zhǎng)，其目的是使學(xué)生親自獲得一些感性的具體材料，為探究烙3張餅做必要準(zhǔn)備。烙2張餅，這2張放在一起烙，一次烙2個(gè)面才用3分鐘，2次只用6分鐘。與烙1張餅比較，所用時(shí)間相同，其差別在于：烙2張，把2張餅放在同一個(gè)鍋里，鍋里放滿了，節(jié)省時(shí)間；烙1張，鍋里只放1張，鍋里有空隙，但這個(gè)空隙無(wú)法避免。

烙3張餅的操作實(shí)驗(yàn)，所用的學(xué)具是兩本數(shù)學(xué)書(shū)和一本作業(yè)本，桌面當(dāng)鍋，書(shū)本和作業(yè)本當(dāng)餅，兩本書(shū)相當(dāng)于第一、二兩張餅，作業(yè)本相當(dāng)于第三張餅，便于操作，便于觀察，此次操作目的是突破教學(xué)難點(diǎn)——當(dāng)有3張餅時(shí)，怎樣組合安排3張餅正反面烙的先后順序，才能使鍋里每次都有2張餅。引導(dǎo)學(xué)生先獨(dú)立思考，再同桌合作操作實(shí)驗(yàn)，在學(xué)生有初步體驗(yàn)時(shí)讓學(xué)生上臺(tái)展示烙餅過(guò)程，配以語(yǔ)言描述，教師做必要的板書(shū)記錄（小組一：1正2正——1反2反——3正——3反；小組二：1正2正——1反3正——2反3反），將學(xué)生的智力活動(dòng)顯現(xiàn)出來(lái)，為后續(xù)研究“同樣烙3張餅，為什么第一組烙了4次，第二組只烙了3次就完成了”提供研究素材，這樣就自然而然地把思維指向到“如何調(diào)整烙餅順序，使每一次鍋里都有2張餅”上來(lái)，通過(guò)討論交流，讓學(xué)生將內(nèi)隱的調(diào)整過(guò)程及調(diào)整方案表述出來(lái)，進(jìn)而形成“如何將鍋放滿”的策略，達(dá)到既發(fā)展動(dòng)作思維和形象思維，又發(fā)展初步抽象邏輯思維的目的，有效地促進(jìn)大腦兩半球的和諧發(fā)展。

交替烙餅之后的再次操作和在腦中“烙餅”，是對(duì)交替烙餅法的鞏固，對(duì)烙餅過(guò)程的梳理，也是對(duì)解決問(wèn)題過(guò)程的反思總結(jié)。

（二）重視操作實(shí)驗(yàn)與語(yǔ)言的有機(jī)結(jié)合

有研究表明：語(yǔ)言與操作相結(jié)合，這是提高實(shí)驗(yàn)操作效果的有效途徑。本課教師深諳此道。首先，每次操作活動(dòng)，教師都精心設(shè)計(jì)了指導(dǎo)語(yǔ)，以保證學(xué)生操作實(shí)驗(yàn)中思維定向的正確性。烙2張餅時(shí)，教師在提出“如果要烙2張餅，最少需要烙幾次，需要幾分鐘”這一問(wèn)題的基礎(chǔ)上，加上指導(dǎo)語(yǔ)：“請(qǐng)先想一想該怎么烙，再把你的雙手當(dāng)成餅，動(dòng)手烙一烙，可要記住你的烙餅過(guò)程哦。”烙3張餅時(shí)，教師也是先提出問(wèn)題：如果要烙3張餅，最少需要烙幾次，需要幾分鐘？隨后馬上加上指導(dǎo)語(yǔ)：先獨(dú)立思考，你準(zhǔn)備怎么烙？再同桌合作，把兩本數(shù)學(xué)書(shū)和一本作業(yè)本當(dāng)成3張餅，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作，并互相說(shuō)一說(shuō)操作過(guò)程。

其次，讓學(xué)生充分地陳述自己的操作過(guò)程，以語(yǔ)言的條理性促進(jìn)思維的邏輯性，并要求學(xué)生說(shuō)出實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，用語(yǔ)言把已獲得的認(rèn)識(shí)成果固定下來(lái)。烙2張餅時(shí)，待學(xué)生獨(dú)立操作后，讓學(xué)生上臺(tái)演示并說(shuō)出操作過(guò)程。烙3張餅時(shí)，先獨(dú)立思考，同桌合作實(shí)驗(yàn)，再讓兩組學(xué)生上臺(tái)“烙餅”：一生說(shuō)過(guò)程，另一生操作，教師記錄研究成果，這充分暴露了學(xué)生的思維過(guò)程。然后，引發(fā)觀察比較：同樣烙3張餅，第一組烙了4次，第二組只烙了3次就完成了，這是什么原因？發(fā)動(dòng)全班學(xué)生討論，分析原因，并讓兩個(gè)小組再說(shuō)一說(shuō)“當(dāng)時(shí)是怎么想又是怎么做的”，學(xué)生的思維過(guò)程被暴露無(wú)遺，至此，用交替法解決“當(dāng)有3張餅時(shí)，怎樣組合安排3張餅正反面烙的先后順序，才能使鍋里每次都有2張餅”這一難題也就水到渠成。

（三）給學(xué)生留下足夠的思維空間

數(shù)學(xué)課的操作是學(xué)習(xí)意義上的操作，是一種特殊的動(dòng)手活動(dòng)，其特殊性在于學(xué)生借助手的活動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)和反映其內(nèi)部的思維活動(dòng)，所以必須給學(xué)生留有足夠的思維空間。在烙2張餅后，引導(dǎo)學(xué)生與烙1張比較：“為什么餅的張數(shù)不同，所用時(shí)間卻是相同的？”這個(gè)問(wèn)題既是研究烙3張餅的基礎(chǔ)，又是本節(jié)課學(xué)習(xí)的關(guān)鍵點(diǎn)。教師舍得在此花時(shí)間，充分地讓學(xué)生表達(dá)自己的見(jiàn)解，最后達(dá)成一致意見(jiàn)：把2張放在一起烙，不讓鍋空著，就能節(jié)省時(shí)間。更重要的是，教師重視培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣：先想后做，在做之前要先思考怎么做，然后再去做，這樣少走彎路。探究烙3張餅，教師在記錄兩種不同烙法之后，提出一連串的問(wèn)題：“請(qǐng)觀察記錄下的烙餅過(guò)程，這兩種烙餅方法，是否都把餅烙熟了？”“同樣烙3張餅，第一組烙了4次，第二組只烙了3次就完成了，這是什么原因？”“你們當(dāng)時(shí)是怎么想怎么做的？請(qǐng)?jiān)俳榻B一下?！薄耙?張餅，烙3次是不是最少的次數(shù)？2次行嗎？能用算式表示嗎？”引導(dǎo)學(xué)生觀察比較、分析思考，通過(guò)語(yǔ)言表達(dá)使動(dòng)作程序內(nèi)化成學(xué)生的智力活動(dòng)方式，從而掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)而發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

（四）適時(shí)、適量和適度地進(jìn)行了學(xué)具操作

本節(jié)課的學(xué)具操作，做到了適時(shí)運(yùn)用、適量運(yùn)用、適當(dāng)運(yùn)用。

適時(shí)就是注意了操作的最佳時(shí)機(jī)，當(dāng)學(xué)生想知而不知，似懂而非懂時(shí)，操作學(xué)具，這樣起到了化難為易的效果。烙1張餅需要6分鐘，那么烙2張餅需要幾分鐘？這個(gè)問(wèn)題從字面上去理解，許多學(xué)生會(huì)說(shuō)是12分鐘，這時(shí)候就需要操作學(xué)具，并將烙1張與2張的動(dòng)作程序進(jìn)行比較，進(jìn)而明白其中的道理。烙3張餅，如何合理安排烙的順序，使時(shí)間花費(fèi)最少，更需要直觀形象的支撐，并且要操作多次，以便于積累更多的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)比較優(yōu)化，得到正確結(jié)果。

適量是指控制了學(xué)具操作的次數(shù)，本節(jié)課的學(xué)具操作使用了3次，并沒(méi)有搞得琳瑯滿目。一是烙2張餅，其目的是理解2張餅放在一起烙，合理利用空間，一次能烙2個(gè)面；二是烙3張餅，其目的是解決“怎樣放置安排才能使鍋里每次都有2張餅”這個(gè)難題；三是再次烙3張餅，這是對(duì)交替烙餅的鞏固。如果要說(shuō)有第四次，那就是拋開(kāi)學(xué)具，借助表象在腦中操作，這是對(duì)交替烙餅法的梳理，也是對(duì)階段學(xué)習(xí)的反思和小結(jié)。至于4張、5張餅，沒(méi)有安排直觀操作，而是借助數(shù)的組合來(lái)完成，這樣就培養(yǎng)了邏輯思維能力。如果在這個(gè)節(jié)點(diǎn)上繼續(xù)學(xué)具操作，那所演的戲就是“傻把戲”！

適度是指當(dāng)學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)已經(jīng)積累到一定程度時(shí)，就讓學(xué)生在豐富的表象的基礎(chǔ)上及時(shí)抽象概括，掌握火候，使感性認(rèn)識(shí)逐步上升為理性認(rèn)識(shí)。教師恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用了對(duì)比和類(lèi)比，引導(dǎo)學(xué)生從直觀形象到抽象概括。探究烙2張餅，在全體獨(dú)立操作、個(gè)別上臺(tái)演示之后，對(duì)烙1張與2張餅的操作進(jìn)行對(duì)比，使學(xué)生明白如何操作才能省時(shí)，并且教師做必要的學(xué)法指導(dǎo)：要先想后做，做之前要先思考怎么做，以避免少走彎路。探究烙3張餅，在兩組學(xué)生上臺(tái)演示、教師板示記錄之后，及時(shí)對(duì)比兩種烙法，重點(diǎn)研究怎樣把鍋放滿。教師借助學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生充分暴露其思維過(guò)程，此時(shí)，動(dòng)作思維、形象思維共舞，進(jìn)而提煉出交替烙餅法。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生回想交替烙餅法的順序，借助表象在腦中烙餅，抽象思維呼之欲出。緊接著對(duì)烙3張與2張的方法進(jìn)行對(duì)比，進(jìn)一步明確2張同時(shí)烙和3張交替烙及其應(yīng)用范圍。探究4張、5張餅的烙法，就沒(méi)有再操作學(xué)具，而是運(yùn)用類(lèi)比進(jìn)行推理，舉一反三，得出規(guī)律。至于烙餅的張數(shù)和烙的次數(shù)的關(guān)系，那是水到渠自然成的事情。