解析幾何中以“數(shù)列”為命題背景的問題求解策略

◇ 四川 李 波

解析幾何中的數(shù)列問題以直線與圓錐曲線為載體,與基本量a,b,c、直線(斜率、弦長)、向量等知識相結(jié)合,考查等差、等比數(shù)列基本量的求解及證明,涉及數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論、設(shè)而不求等思想方法.該類題型在2013年、2016年、2018年高考真題中均出現(xiàn)過,考生常出現(xiàn)運算中代數(shù)變形方向性不明、運算盲目等問題.為突破這一瓶頸,本文總結(jié)出問題突破點,歸納解題技巧與策略,以期幫助讀者在學(xué)習(xí)中做到選擇捷徑、簡化計算、避繁就簡.

1 建方程組,消元求解

例1定義:離心率的橢圓為 “黃金橢圓”,已知的一個焦點為F(c,0)(c＞0),則E為“黃金橢圓”是a,b,c成等比數(shù)列的( ).

A.既不充分也不必要條件

B.充分且必要條件

C.充分不必要條件

D.必要不充分條件

解析

(充分性)由a,b,c成等比數(shù)列可知,顯然a2－ac－c2＝0,等式兩邊同時除以a2,得e2＋e－1＝0,解得,所以E為“黃金橢圓”.

(必要性)由E為“黃金橢圓”知,顯然離心率e滿足e2＋e－1＝0,又,所以a2－acc2＝0,由a2－b2＝c2,知b2＝ac,所以a,b,c成等比數(shù)列.故選B.

練習(xí)已知橢圓的一個焦點為F(c,0)(c＞0),若a,b,c成等差數(shù)列,則橢圓的離心率為________.

點評

解題時要充分挖掘基本量a,b,c的隱藏信息,并結(jié)合題中已知信息運用方程組思想消元,從而找到問題的突破口.

2 回歸定義,以逸待勞

例2已知拋物線C:x2＝4y的焦點為F,拋物線上A,B兩點處的切線交于點P.證明:|AF|,|PF|,|BF|成等比數(shù)列.

解析

由拋物線定義可知,|AF|＝y(tǒng)1＋1,|BF|＝y(tǒng)2＋1,所以|AF|·|BF|＝y(tǒng)1y2＋y1＋y2＋1,又|PF|2＝y(tǒng)1＋y2＋y1y2＋1,顯然|AF|·|BF|＝|PF|2,即|AF|,|PF|,|BF|成等比數(shù)列.

例3(2013年全國卷)已知雙曲線(a＞0,b＞0)的左、右焦點分別為F1,F2,離心率為3,直線y＝2與C的兩個交點間的距離為6.

(1)求a,b;

(2)設(shè)過F2的直線l與C的左、右兩支分別交于A,B兩點,且|AF1|＝|BF1|,證明:|AF2|,|AB|,|BF2|成等比數(shù)列.

解析

(1)a＝1,b＝22(求解過程略).

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題可知,直線AB的斜率存在,設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－3),則y1＝k(x1－3),y2＝k(x2－3),由對稱性,不妨假設(shè)k＞0,聯(lián)立消y得

由|AF1|＝|BF1|知,kAB·kPF1＝－1,即,解得,此時

由點A在雙曲線上,知,所以

同理|BF2|＝|3x2－1|,所以

由雙曲線的定義知

解得|BF2|－|AF2|＝|AB|＝4,顯然|AF2|·|BF2|＝|AB|2,即|AF2|,|AB|,|BF2|成等比數(shù)列.

另解,將式①代入上式得,|AB|＝4,顯然有|AF2|·|BF2|＝|AB|2,即|AF2|,|AB|,|BF2|成等比數(shù)列.

點評

利用數(shù)形結(jié)合思想和圓錐曲線定義巧妙求出線段長度,運用數(shù)列知識驗算,達(dá)到事半功倍的效果,也體現(xiàn)了“多一點想,少一點算”的命題思想.

練習(xí)設(shè)F1,F2分別是橢圓(a＞b＞0)的左、右焦點,過F1作斜率為1的直線l與E相交于A,B兩點,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差數(shù)列.

(1)求橢圓E的離心率;

(2)設(shè)點P(0,－1)滿足|PA|＝|PB|,求E的方程.

3 設(shè)而不求,巧用定理

例4(2013年江西卷理20)如圖1所示,橢圓過點,離心率直線l的方程為x＝4.

(1)求橢圓C的方程;

(2)AB是經(jīng)過右焦點F的任一弦(不經(jīng)過點P),設(shè)直線AB與直線l相交于點M,記PA,PB,PM的斜率分別為k1,k2,k3.問:是否存在常數(shù)λ,使得k1＋k2＝λ2k3? 若存在,求λ的值;若不存在,說明理由.

圖1

解析

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題知,直線AB的斜率存在,設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1),則

由題意可知,PA,PB的斜率分別為

將式①代入上式得

將式②代入上式得k1＋k2＝2k－1.易知M(4,3k),所以,顯然k1＋k2＝2k3.

綜上,存在常數(shù)λ＝2符合題意.

點評

本題主要考查代數(shù)運算、等差數(shù)列、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識,突出根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求思想等,旨在考查學(xué)生的運算求解能力,轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合思想,考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理.

練習(xí)(2018年全國卷Ⅲ理20)已知斜率為k的直線l與橢圓交于A,B兩點,線段AB的中點為M(1,m)(m＞0).

(2)設(shè)F為C的右焦點,P為C上一點,且成等差數(shù)列,并求出該數(shù)列的公差.

4 極端策略,圍魏救趙

例5已知F是橢圓的右焦點,橢圓上至少有21個不同的點Pi(i∈N?),|FP1|,|FP2|,|FP3|,…組成公差為d(d＞0)的等差數(shù)列,則( ).

A.該橢圓的焦距為6 B.|FP1|的最小值為2

C.d的值可以為

解析

易知a＝5,b＝4,c＝3,由橢圓的性質(zhì)知ac≤|PF|≤a＋c,即|PF|∈[2,8],不妨設(shè)a1＝2,則a21＝a1＋20d≤8,解得.故選項ABC正確,選項D錯誤.

例6已知點P為雙曲線0)上任意一點,過點P作雙曲線的漸近線的平行線,分別與兩漸近線交于M,N兩點,若b是|PM|,|PN|的等比中項,則該雙曲線的離心率為________.

特殊解法設(shè)點P的坐標(biāo)為(a,0),聯(lián)立得是|PM|,|PN|的等比中項,所以|PM|·|PN|＝b2,即a2＝3b2,則該雙曲線的離心率.

點評

從＂特殊到一般＂是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中常用的思想方法,也符合當(dāng)前中學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,從特殊情況入手,對求解選擇題和填空題而言,能為考生節(jié)約大量的時間;對求解解答題而言,能為考生尋找問題的突破口并指明方向.這種方法對探究新知起指導(dǎo)作用,既服務(wù)教學(xué),又服務(wù)實踐.

練習(xí)已知雙曲線的離心率為2,過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點.設(shè)A,B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1,d2,且d1,3,d2成等差數(shù)列,則雙曲線的方程為( ).

5 巧設(shè)參數(shù),變換主元

例7過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F作斜率為k的直線,與拋物線相交于A,B兩點,設(shè)直線OA,OB(O為坐標(biāo)系原點)的斜率分別為k1,k2,則下列等式正確的是( ).

解析

點評

本解法屬于比較常規(guī)的解法,巧妙地運用拋物線的參數(shù)方程進(jìn)行設(shè)點,避免了聯(lián)立方程組,計算相對簡單,但是解法中含有兩個參數(shù)y1,y2,因此要注意變形過程的等價性.

例8在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為且傾斜角為α的直線l交曲線C于A,B兩點.

(1)求曲線C的普通方程和直線l的參數(shù)方程;

(2)若|PA|,|AB|,|PB|成等差數(shù)列,求tanα.

解析

(1)曲線C的普通方程為,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).

(2)設(shè)A,B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,將直線的參數(shù)方程代入橢圓方程得

由根與系數(shù)的關(guān)系得

將上式代入

又|PA|,|AB|,|PB|成等差數(shù)列,所以

故有23sin2α－36sinαcosα＋13cos2α＝0,等式兩邊同時除以cos2α,得

點評

將坐標(biāo)中兩個變量轉(zhuǎn)化為一個變量,方便在化簡、求最值時使用均值不等式或構(gòu)造函數(shù)判斷單調(diào)性或比較大小.

練習(xí)已知圓K過定點A(a,0)(a＞0),圓心K在拋物線C:y2＝2ax上運動,MN為圓K在y軸上截得的弦.

(1)試問MN的長是否隨圓心K的運動而變化;

(2)當(dāng)|OA|是|OM|與|ON|的等差中項時,拋物線C的準(zhǔn)線與圓K有怎樣的位置關(guān)系?

6 巧用平幾,妙手回春

例9如圖2所示,已知橢圓,與x軸不重合的直線l經(jīng)過左焦點F1,且與橢圓G相交于A,B兩點,弦AB的中點為M,直線OM與橢圓G相交于C,D兩點.

(1)若直線l的斜率為1,求直線OM的斜率;

(2)是否存在直線l,使|AM|2＝|CM|·|DM|成立?若存在,求出l的方程;若不存在,請說明理由.

圖2

解析

(1)直線OM的斜率為(求解過程略).

(2)假設(shè)存在直線l,使得|AM|2＝|CM|·|DM|成立.當(dāng)直線l斜率不存在時,易知此時M與F1重合,則

當(dāng)直線l斜率存在時,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y＝k(x＋1),不妨假設(shè)k＞0,則得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0,由根與系數(shù)的關(guān)系知

易知線段AB中點由題意,直線l不與x軸重合,所以直線OM斜率聯(lián)立解得點C坐標(biāo)為.

因為|AM|2＝|CM|·|DM|＝(|OC|－|OM|)·(|OD|＋|OM|),且|OC|＝|OD|,所以|AM|2＝,即

點評

本題第(2)問的核心在于轉(zhuǎn)化|AM|2＝|CM|·|DM|中弦長的關(guān)系.由|CM|＝|OC|－|OM|,|DM|＝|OD|＋|OM|,又|OC|＝|OD|,可得|AM|2＝|OC|2－|OM|2.又|AM|＝因此|AB|2＝4|OC|2－4|OM|2,轉(zhuǎn)化為弦長|AB|,|OC|和|OM|三者之間的數(shù)量關(guān)系,從而使問題獲解.

例10設(shè)一簇雙曲線N?,n≤2019),直線x＝2與En在第一象限的交點為An,An在En的兩條漸近線上的投影分別為Bn,Cn,記△AnBnCn的面積為an,求a1＋a2＋…＋a2019的值.

解析

將x＝2代入雙曲線的方程,可得y＝又因為雙曲線的漸近線方程為y＝±x,所以點An到漸近線y＝x的距離,點An到漸近線y＝－x的距離,易知四邊形OAnBnCn為矩形,所以,所以

練習(xí)(2016年四川卷)已知數(shù)列{an}的首項為1,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,Sn＋1＝qSn＋1,其中q＞0,n∈N?.(1)若2a2,a3,a2＋2成等差數(shù)列,求an的通項公式;(2)設(shè)雙曲線的離心率為en,且,證明.

定值問題、最值問題、參數(shù)問題、應(yīng)用題和探索性問題等與圓錐曲線知識縱向聯(lián)系.圓錐曲線知識和三角、數(shù)列等代數(shù)知識相結(jié)合,屬于橫向聯(lián)系.解答這部分試題,需要較強的代數(shù)運算能力和圖形認(rèn)識能力,要能準(zhǔn)確地進(jìn)行數(shù)與形的語言轉(zhuǎn)換和運算,并在運算過程中注意思維的嚴(yán)密性和結(jié)果的完整性.