多尺度法與平均法對新月形覆冰導(dǎo)線舞動特性的影響

閔光云， 劉小會， 嚴(yán) 波， 孫測世， 蔡萌琦

(1.重慶交通大學(xué)省部共建山區(qū)橋梁及隧道工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 重慶 400074； 2.重慶交通大學(xué)土木工程學(xué)院， 重慶 400074； 3.重慶大學(xué)航天航空學(xué)院， 重慶 400044； 4.成都大學(xué)建筑與土木工程學(xué)院， 成都 610106)

隨著中國電網(wǎng)技術(shù)的高速發(fā)展，覆冰導(dǎo)線的舞動已經(jīng)引起很多學(xué)者的關(guān)注，但由于覆冰的多樣性與不確定性，防止導(dǎo)線舞動這一課題的進(jìn)步一直很緩慢[1]。大幅度的舞動將會造成線路頻繁跳閘與停電，而長時間大幅振動所產(chǎn)生的交變張力會使得螺栓松動或損壞[2]。關(guān)于舞動發(fā)生的原因，Den-Hartog[3]提出了豎向失穩(wěn)機(jī)理，而以Nigol[4-5]為代表的學(xué)者提出的二自由度耦合的舞動機(jī)理。

氣動力系數(shù)是研究覆冰導(dǎo)線舞動的重要參數(shù)，為研究覆冰導(dǎo)線舞動，許多學(xué)者在這一領(lǐng)域做了很有意義的研究。李萬平等[6]通過對特大厚度覆冰導(dǎo)線進(jìn)行風(fēng)洞測試得知，雙分裂導(dǎo)線試驗(yàn)有尾流影響時的氣動力幅度顯著低于單導(dǎo)線的情形。王昕等[7]針對新月形和D形兩種典型斷面的特高壓大截面厚覆冰導(dǎo)線進(jìn)行了氣動力系數(shù)風(fēng)洞測試,獲得了很有意義的結(jié)論，給實(shí)際工程提供了指導(dǎo)意見。樓文娟等[8]對4種不同厚度的新月形截面導(dǎo)線進(jìn)行了氣動力特性風(fēng)洞試驗(yàn)，獲得了0°～180°攻角間單導(dǎo)線、二分裂導(dǎo)線及四分裂導(dǎo)線的氣動三分力系數(shù)。嚴(yán)波等[9]測試了不同冰厚和不同風(fēng)速下的覆冰四分裂導(dǎo)線靜態(tài)空氣動力系數(shù)，其結(jié)果表明尾流效益對氣動力系數(shù)有明顯的影響。

風(fēng)洞試驗(yàn)所得的氣動力參數(shù)是研究覆冰導(dǎo)線的舞動的重要參數(shù)，且導(dǎo)線的舞動屬于非線性振動[10-14]，就非線性振動問題學(xué)者們提出了許多經(jīng)典的定量分析方法，比如多尺度法、諧波平衡法、平均法等。不同的解析方法具有不同的優(yōu)點(diǎn)、缺點(diǎn)，采用何種方法研究導(dǎo)線的舞動最為適合還少有人研究，基于此，首先通過風(fēng)洞試驗(yàn)獲得覆冰單導(dǎo)線的氣動力系數(shù)，接著采用平均法與多尺度法研究了覆冰導(dǎo)線的舞動特性，最后通過對比該兩種方法下覆冰導(dǎo)線舞動特性差異，以了解哪一種方法最為適合。

1 風(fēng)洞試驗(yàn)

為了獲取新月形覆冰導(dǎo)線的空氣動力系數(shù)，在中國空氣動力研究與發(fā)展中心進(jìn)行測試，本次試驗(yàn)依據(jù)《大型試驗(yàn)質(zhì)量管理要求》(GJB 1452—1992)在低速所1.4 m×1.4 m風(fēng)洞進(jìn)行。

本次試驗(yàn)需用到的天平的實(shí)體圖像如圖1所示。使用該天平來測試覆冰導(dǎo)線模型的阻力、升力以及扭矩。

圖1 天平

圖2 風(fēng)洞測試空氣動力系數(shù)

采用擬靜態(tài)方法，選取一段輸電線模型，進(jìn)行氣動參數(shù)測試。1.4 m×1.4 m低速風(fēng)洞如圖2(a)所示，測試模型如圖2(b)所示，覆冰冰型為新月形，模型如圖2(c)所示。當(dāng)風(fēng)流經(jīng)過該覆冰導(dǎo)線時，可根據(jù)測力天平可以測量新月形覆冰導(dǎo)線受到的升力、阻力和扭矩。

覆冰單導(dǎo)線靜態(tài)空氣動力特性試驗(yàn)測得的空氣動力系數(shù)包括阻力系數(shù)、升力系數(shù)和扭矩系數(shù)，且無量綱空氣動力參數(shù)定義為

(1)

式(1)中：FD、FL、MZ分別為導(dǎo)線所受的阻力、升力、扭矩；ρ為空氣密度；U為平均風(fēng)速；L為導(dǎo)線有效長度；d導(dǎo)線直徑。通過風(fēng)洞試驗(yàn)測得12 mm冰厚的新月形覆冰單導(dǎo)線在10 m/s風(fēng)速作用下空氣動力系數(shù)隨風(fēng)攻角的變化曲線如圖3所示。

圖3 覆冰單導(dǎo)線空氣動力系數(shù)

由圖3可知：CD隨著攻角α整體變化的規(guī)律具有兩端低、中間凸的特點(diǎn)；覆冰單導(dǎo)線氣動升力系數(shù)曲線CL隨著攻角α整體變化規(guī)律隨著攻角的增加由正到負(fù)變化；CM的變化規(guī)律與CL的變化規(guī)律大致相同，但當(dāng)攻角等于150°左右時CL呈下降趨勢CM迎來新的上升期。根據(jù)Den Hartog馳振原理[10]，當(dāng)覆冰導(dǎo)線受到水平方向風(fēng)作用時，水平方向會開始振動，由于水平方向的振動，當(dāng)豎直方向由于覆冰變?yōu)榉菆A形截面的導(dǎo)線受到負(fù)斜率的氣動升力CL的作用時導(dǎo)線很容易發(fā)生舞動，2節(jié)將針對具體的輸電線路，應(yīng)用定量分析法研究覆冰導(dǎo)線的舞動。

2 單檔輸電導(dǎo)線自由振動數(shù)學(xué)模型

建立如圖4所示導(dǎo)線振動力學(xué)模型，導(dǎo)線兩端用固定鉸鏈約束。為了給出導(dǎo)線的動力學(xué)方程，建立笛卡爾坐標(biāo)系，選取左端懸掛點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸沿著兩懸掛點(diǎn)的連線方向，y軸豎直向下，然后根據(jù)x軸與y軸確定垂直平面向里的z軸方向。

圖4 單檔導(dǎo)線力學(xué)模型

在重力作用下導(dǎo)線靜態(tài)構(gòu)形上選取長度為ds的微元，接著在其他外部載荷作用下導(dǎo)線動態(tài)構(gòu)型上選取長度為dsm的微元，該位置處導(dǎo)線軸向應(yīng)變?yōu)?/p>

(2)

式(2)中：y為覆冰導(dǎo)線的靜態(tài)構(gòu)型曲線；v為覆冰導(dǎo)線豎向的動態(tài)位移；s為弧坐標(biāo)；x為位置坐標(biāo)；l為覆冰導(dǎo)線的跨徑。

由哈密頓變分原理可得

(3)

式(3)中：δkv為系統(tǒng)的動能；δ∏為系統(tǒng)的勢能；δw′為系統(tǒng)保守力所做功。

根據(jù)式(3)可得知覆冰導(dǎo)線的舞動控制方程為

(4)

式(4)中：m為覆冰導(dǎo)線單位長度上的質(zhì)量；fy為黏性阻力系數(shù)；Fy為氣動力；EA為導(dǎo)線的抗拉剛度；H為導(dǎo)線的靜態(tài)張力。

為便于下文應(yīng)用多尺度法與平均法研究覆冰導(dǎo)線的舞動特性，現(xiàn)將該過程涉及的覆冰導(dǎo)線物理參數(shù)列出，如表1所示。因?yàn)楦脖鶎?dǎo)線的振動主要受基本模態(tài)的影響，因此應(yīng)用一階模態(tài)截斷法，模態(tài)函數(shù)選取ψ(x)=sin(πx/l)，導(dǎo)線長度選取l=300 m。

表1 導(dǎo)線的物理參數(shù)

2.1 多尺度法

覆冰導(dǎo)線的舞動特征為大位移、小變形，屬于幾何非線性特點(diǎn)。而在科研領(lǐng)域中學(xué)者們對于非線性系統(tǒng)的定量分析一般選用多尺度法。基于Galerkin方法轉(zhuǎn)變覆冰導(dǎo)線的舞動控制方程[式(4)]為

(5)

式(5)中：ω0表示固有頻率；a1、a2為導(dǎo)線自振的非線性系數(shù)；a3為導(dǎo)線阻尼與負(fù)斜率氣動力系數(shù)之和；a4、a5為氣動力引起的非線性系數(shù)。

為方便控制方程的處理，令

(6)

把覆冰導(dǎo)線當(dāng)成弱非線性振動系統(tǒng)，則其控制微分方程可以表示為

(7)

式(7)中：ε表示無量綱小參數(shù)。

可將式(7)的解設(shè)為

x=x0(T0,T1)+εx1(T0,T1)+ε2x2(T0,T1)+…

(8)

式(8)中：T0、T1表示兩個時間尺度(T0=t,T1=εt)且滿足：

(9)

將式(8)代入式(9)可得：

(10)

將式(10)代入式(6)，并整理包含ε0項(xiàng)的系數(shù)、ε1項(xiàng)的系數(shù)，且令該兩項(xiàng)系數(shù)等于零可得到：

ε0階為

(11)

ε1階為

a5(D0x0)3

(12)

令

x0=A(T1)eiω0T0+cc

(13)

式(13)中：A表示覆冰導(dǎo)線的舞動幅值；cc表示式(13)的共軛項(xiàng)。

將式(13)代入式(12)可得：

(14)

只有消除永年項(xiàng)式(14)才滿足有解的條件，則令

(15)

為方便計算，先引入極坐標(biāo)函數(shù)：

(16)

式(16)中：a表示幅值；θ表示相位。

將式(16)代入(14)并且分離虛部和實(shí)部可得到

(17)

式(17)可通過Newton-Raphson method求解。

將式(17)的求解結(jié)果與式(13)一起代入式(8)可求導(dǎo)覆冰導(dǎo)線舞動的二階近似解，再根據(jù)該近似解可畫出覆冰導(dǎo)線振動的相平面圖與位移時程圖，如圖5和圖6所示。

圖5 位移時程曲線(多尺度法)

圖6 相平面圖(多尺度法)

通過圖5、圖6得知覆冰單導(dǎo)線穩(wěn)定后的負(fù)向振幅可達(dá)0.36 m，正向最大振幅可達(dá)0.34 m，覆冰導(dǎo)線的極限環(huán)為以圓心為原點(diǎn)的極限環(huán)，且根據(jù)式(8)可得知由于小參數(shù)的存在，覆冰導(dǎo)線的位移曲線會出現(xiàn)飄逸現(xiàn)象，即正幅值與負(fù)幅值并不完全相等，這是一個值得注意的現(xiàn)象。下面將通過平均法研究覆冰導(dǎo)線舞動，并將舞動結(jié)果與多尺度的舞動結(jié)果進(jìn)行對比。

2.2 平均法

平均法由于其解答過程簡單，經(jīng)常被應(yīng)用與非線性振動問題中。引入狀態(tài)變量x和y，將覆冰導(dǎo)線的振動控制方程降階，因此該弱非線性運(yùn)動方程表示為

(18)

如果令引入的小參數(shù)ε=0，式(18)可轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性振動方程。其解為與初始條件不相關(guān)的簡諧運(yùn)動，且其運(yùn)動方程可描述為

(19)

式(19)描述的是以頻率為ω0做簡諧運(yùn)動的系統(tǒng)，那么其極限環(huán)可近視描述為以原點(diǎn)為中心的圓。如果小參數(shù)ε≠0，但無限趨近與零時，式(18)中的非線性項(xiàng)的影響很小，相應(yīng)的解無限接近簡諧運(yùn)動，即所謂擬簡諧運(yùn)動，那么當(dāng)覆冰導(dǎo)線受到水平方向風(fēng)而發(fā)生舞動時，導(dǎo)線舞動的極限環(huán)必定是接近圓的封閉曲線。此時作為理論依據(jù)，可將二階自治方程的初始響應(yīng)近似表示為

x(t)=a(t)cos[ω0t+θ(t)]

(20)

式(20)中：a(t)是周期的振幅函數(shù)；θ(t)是相位函數(shù)。

將x(t)對時間求導(dǎo)數(shù)，得到：

(21)

將y(t)、a(t)以及θ(t)代入式(20)并與式(21)作減法，導(dǎo)出約束方程為

(22)

再將式(18)代入式(22)，且令

ω0t+θ(t)=φ(t)

(23)

可得到微分方程：

(24)

聯(lián)立式(19)～式(13)方程可得：

(25)

觀察式(25)可得知振幅和相位的變化率都是小參數(shù)ε的同階次小量。參數(shù)充分小時，a和θ都是時間t的慢變函數(shù)，這是平均法的理論依據(jù)，與弱非線性前提一致。

既然相位和振幅都是很小的量，故可以用一個周期內(nèi)a(t)和θ(t)的平均值近視描述它們的變化過程，從而得到相應(yīng)的近似算式為

(26)

若令

(27)

則可將計算平均振幅和平均相位的近似方程表示為

(28)

觀察式(28)振幅和相位的變化率可得知與多尺度法一模一樣，那么積分式(28)并且考慮初始條件為a(0)=0.01,θ(0)=0可得周期解的近似解析式為

x(t)=a(t)cos[ω0t-θ(t)]

(29)

(30)

根據(jù)x的表達(dá)式可畫出平均法下覆冰導(dǎo)線的振動位移時程曲線與相平面圖，如圖7和圖8所示。

通過圖7和圖8得知覆冰單導(dǎo)線穩(wěn)定后的負(fù)向振幅與正向振幅都為0.34 m，覆冰導(dǎo)線的極限環(huán)為以圓心為原點(diǎn)的極限環(huán)，且根據(jù)式(29)可得知平均法的計算結(jié)果沒有小參數(shù)，因此導(dǎo)線舞動位移曲線沒有發(fā)生飄逸，這與多尺度法所得結(jié)果存在差異，是一個值得注意的現(xiàn)象。

2.3 結(jié)果對比

為了分析平均法與多尺度法對覆冰導(dǎo)線舞動特性的影響，下面取兩種方法下所得覆冰導(dǎo)線穩(wěn)定后的數(shù)據(jù)做出舞動位移時程曲線與相平面圖，如圖9和圖10所示。

圖7 位移時程曲線(平均法)

圖8 相平面圖(平均法)

圖9 位移時程曲線

圖10 相平面圖

通過對比平均法與多尺度法所得的位移時程曲線可得：多尺度求解的位移時程曲線由于小參數(shù)的存在會發(fā)生飄逸，平均法求解的位移時程曲線并不會發(fā)生飄逸；盡管兩種方法存在是否發(fā)生飄逸的差異，但是通過對比兩者的位移曲線可得知飄逸引起的誤差很小，兩者的曲線幾乎重合，且兩者的相平面圖幾乎重疊，因此可認(rèn)為該兩種計算方法下覆冰導(dǎo)線的舞動特性并沒有顯著的差別；通過該兩種計算法研究覆冰導(dǎo)線的舞動可得知，多尺度法的計算過程比平均法的計算過程較復(fù)雜，針對單自由度輸電線路選取較為簡單的平均法有助于提高工作效率。

3 結(jié)論

多尺度法與平均法所得的覆冰導(dǎo)線舞動位移曲線會因?yàn)樾?shù)是否存在的原因而存在差異，多尺度法下位移曲線存在“飄逸現(xiàn)象”，但“飄逸現(xiàn)象”并不會很大程度改變舞動曲線的幅值，該兩種方法的舞動位移曲線幾乎重合在一起，但多尺度法的計算過程復(fù)雜，平均法的計算過程較簡單，因此針對單自由度覆冰導(dǎo)線的舞動，平均法應(yīng)首選。