莫讓浮云遮望眼，撩開霧紗見真顏
——2020年高考全國卷Ⅰ第20題探究

福建省龍巖市永定區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校 (364100) 黃初燦

1.試題再現(xiàn)

(1)求E的方程；(2)證明：直線CD過定點(diǎn).

該題集基礎(chǔ)性、綜合性、創(chuàng)新性于一體，解法多樣，每一種解法各有千秋，給不同層次考生不同選擇，區(qū)分度好，具有選拔性.考查了橢圓的方程，橢圓的幾何知識，向量的數(shù)量積，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想等，涉及的核心素養(yǎng)有邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等.

2.解法賞析

評析：在標(biāo)答中有2個(gè)地方比較抽象，學(xué)生認(rèn)為是天馬行空，神來之筆，特地有咨詢過筆者，就是如何得到①式和②式.如何得到①式，其實(shí)只要把x1=my1+n，x2=my2+n分別代入27y1y2=-(x1+3)(x2+3)化簡就可以得出①式.又因?yàn)?27+m2)(n2-9)-2m(n+3)mn+(n+3)2(m2+9)=0，所以(n+3)[(27+m2)(n-3)-2m2n+(n+3)(m2+9)]=0，所以(n+3)(36n-54)=0，從而得出②式.增加這樣解釋后是不是更好點(diǎn).

評析：該解法思路清晰，通俗易懂，學(xué)生更容易接受.難點(diǎn)在于直線CD的斜率的化簡，及直線CD方程的化簡.

3.試題探源

很明顯，2020年全國卷Ⅰ第20題源于此題的第(3)問.

4.結(jié)論探究

該題中，我們自然會問，“P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)”改為“P為直線x=t上的動(dòng)點(diǎn)”，那么直線CD還會過定點(diǎn)嗎？經(jīng)過探究，有以下結(jié)論：

對于雙曲線和拋物線也有類似結(jié)論：

同理對拋物線有：

結(jié)論3 已知拋物線E：y2=2px(p>0)的頂點(diǎn)為O，點(diǎn)P在直線x=t上，直線PO交E于另外一點(diǎn)C，過點(diǎn)P且平行于x軸的直線交E于點(diǎn)D，則直線CD必過定點(diǎn)(-t,0).

上述幾個(gè)命題的逆命題也會成立.限于篇幅，讀者可再作探究.

5.教學(xué)反思

圓錐曲線定值、定點(diǎn)問題是高考的熱點(diǎn)，今年全國卷I、新全國卷(山東卷)都考查到定值、定點(diǎn)問題.在解析幾何教學(xué)中，要關(guān)注利用代數(shù)手段研究幾何問題，對于高頻率考點(diǎn)(弦長、三角形面積、定值定點(diǎn)等知識)要做到分析試題的變式、內(nèi)涵及來源，并引導(dǎo)學(xué)生歸納、總結(jié)、優(yōu)化解題方法.