例談圓錐曲線中最值問題的解題方法

江蘇省句容中等專業(yè)學(xué)校 (212400) 趙 林

最值問題是圓錐曲線中的常見題型，也是歷年高考的熱點之一.解決這類問題需要涉及到代數(shù)、幾何、三角等相關(guān)知識，對培養(yǎng)學(xué)生的思維能力具有重要的作用.下面，筆者將圓錐曲線中最值問題的常見解法進行總結(jié)，與讀者交流.

一、用定義法求最值

例1 已知AB是拋物線x2=4y的一條弦，且|AB|=6，求弦AB的中點M到x軸的最短距離.

圖1

評注：利用圓錐曲線的定義，尋找條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，再結(jié)合平面幾何的有關(guān)知識，可使解題簡潔明快，得心應(yīng)手.

二、用參數(shù)法求最值

圖2

評注：參數(shù)法是聯(lián)系代數(shù)和幾何的橋梁，巧設(shè)橢圓的參數(shù)方程來解題，能達到化繁為簡，開拓思路，快速解題的目的.

三、用函數(shù)方法求最值

例3 已知直線y=x+m與橢圓x2+3y2=6交于A,B兩點，O為坐標(biāo)原點，求△AOB面積的最大值.

評注：函數(shù)方法是解決圓錐曲線中最值問題的常用手段，解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件建立目標(biāo)函數(shù)，從而使問題得到轉(zhuǎn)化.

四、用均值不等式求最值

圖3

圖4

評注：求圓錐曲線中的最值問題，要熟練地掌握圓錐曲線的定義和性質(zhì)，靈活運用函數(shù)、不等式以及數(shù)形結(jié)合等思想方法，仔細審題，深刻挖掘隱藏條件，從而找到最恰當(dāng)?shù)慕夥?