一道多元變量最值高考題的多角度探究

江蘇省蘇州市吳江盛澤中學(xué) (215228) 周偉芯 沈惠華

多元變量最值問題是高考命題中的“常客”，一般出現(xiàn)在選擇題或填空題中，這類問題題干簡練，解法卻精彩紛呈，不同的解法往往可以幫助學(xué)生構(gòu)建高中數(shù)學(xué)的知識網(wǎng)絡(luò)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.本文擷取一道2020年高考數(shù)學(xué)江蘇卷上一道題目加以探究，供大家參考.

題(2020年高考江蘇卷第12題)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，則x2+y2的最小值是.

說明：江蘇卷中共有14個填空題，前9個一般沒有難度，屬于送分的基礎(chǔ)題，第10-12題具有一定難度，屬于中檔題，而第13和14題屬于填空題部分較難的壓軸題.本題屬于中檔題，考查考生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)，考查考生數(shù)學(xué)解題中的轉(zhuǎn)化能力.本題從不同角度入手，可以得到不同的解法.

一、從函數(shù)的角度入手

從函數(shù)的角度入手，就是通過消元或其它手段把原問題變成一元函數(shù)的最值問題.

二、從不等式的角度入手

三、從方程角度入手

四、從曲線與方程的角度入手

解法8：(經(jīng)過換元，將原問題轉(zhuǎn)化為直線與二次曲線的位置關(guān)系問題)令x2=X>0,y2=Y>0，則條件等式5x2y2+y4=1即為方程5XY+Y2=1，它表示位于第一象限的二次曲線；目標函數(shù)x2+y2即為X+Y，令它的值為m，則方程X+Y=m表示這條直線位于第一象限的部分.

眾所周知，高考題具有選拔功能，思維層次不同的考生往往得到不同的解法，而從不同角度出發(fā)思考也往往會產(chǎn)生不同的解題效果，或許解法比較繁瑣，或許解法比較簡潔，但無論哪種解法都蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想，只要適合學(xué)生，它們都是好方法.從以上高考題的八種解法中，我們可以看出，通過一道題的“一題多解”，可以撐起高中數(shù)學(xué)的“一片天”，可以編織知識與方法的“關(guān)系網(wǎng)”，這或許就是高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的“最高境界”.