一道拋物線高考試題的探究

福建省南平第一中學(xué) (353000) 陳曉鈴

圖1

題目(2018年高考浙江卷)如圖1，已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點(diǎn)，拋物線C：y2=4x上存在不同的兩點(diǎn)A,B滿足PA,PB的中點(diǎn)均在C上.(1)設(shè)AB的中點(diǎn)為M,證明：PM垂直于y軸；(2)略.

本題內(nèi)涵豐富，意境深邃，值得深入探究.以下是由本題第(1)小題引發(fā)的一系列探究.

1 縱向探究：由特殊到一般

問(wèn)題1本題(1)的結(jié)論是關(guān)于特殊的拋物線C：y2=4x的一個(gè)性質(zhì)，對(duì)于一般的拋物線C：y2=2px(p>0),此結(jié)論是否仍然成立？

結(jié)論1 已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)一點(diǎn)，拋物線C：y2=2px(p>0)上存在不同的兩點(diǎn)A,B滿足PA,PB的中點(diǎn)均在C上，設(shè)AB的中點(diǎn)為M,則PM平行于拋物線C的對(duì)稱軸.

類似地，可得

結(jié)論2 已知點(diǎn)P是x軸下方一點(diǎn)，拋物線C：x2=2py(p>0)上存在不同的兩點(diǎn)A,B滿足PA,PB的中點(diǎn)均在C上，設(shè)AB的中點(diǎn)為M,則PM平行于拋物線C的對(duì)稱軸.

2探究極限位置：由“割線”到“切線”

問(wèn)題2上述結(jié)論涉及從拋物線外一點(diǎn)出發(fā)的兩條割線的性質(zhì)，那么對(duì)于這兩條割線的極限位置，即當(dāng)割線演變?yōu)榍芯€時(shí)，有什么相應(yīng)的結(jié)論？

結(jié)論3 已知P是拋物線C：y2=2py(p>0)外(不含焦點(diǎn)的區(qū)域)一點(diǎn)，直線PA,PB分別與拋物線C相切于點(diǎn)A,B，設(shè)AB的中點(diǎn)為M,則PM平行于拋物線C的對(duì)稱軸，且拋物線C平分線段PM.

類似地，可得

結(jié)論4已知P是拋物線C：x2=2py(p>0)外(不含焦點(diǎn)的區(qū)域)一點(diǎn)，直線PA,PB分別與拋物線C相切于點(diǎn)A,B，設(shè)AB的中點(diǎn)為M,則PM平行于拋物線C的對(duì)稱軸，且拋物線C平分線段PM.

由結(jié)論4可得，若線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為xM,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)xP=xM,且點(diǎn)A,M,B的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，從而可得點(diǎn)A,P,B的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.這就是2008年全國(guó)高考山東卷(理)題22第(1)小題的結(jié)論：

圖2

如圖2，設(shè)拋物線方程為x2=2py(p>0),P為直線y=-2p上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A,B.(1)求證：A,M,B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；(2)、(3)略.

3 逆向探究：由原命題到逆命題

問(wèn)題3 在上述結(jié)論中，設(shè)P是拋物線C外(不含焦點(diǎn)的區(qū)域)一點(diǎn)，點(diǎn)M在弦AB上，記①直線PA是拋物線C的切線；②直線PB是拋物線C的切線；③M是弦AB的中點(diǎn)；④PM平行于拋物線C的對(duì)稱軸；⑤拋物線C平分線段PM.則結(jié)論3、4即①②③?④⑤，那么其逆命題：②④⑤?①③成立嗎？

結(jié)論5 已知P是拋物線C：y2=2px(p>0)外(不含焦點(diǎn)的區(qū)域)一點(diǎn)，直線PB是拋物線C的切線，點(diǎn)M在弦AB上，PM平行于拋物線C的對(duì)稱軸且被拋物線C平分，則M是弦AB的中點(diǎn)，且直線PA是拋物線C的切線.

類似地，對(duì)于拋物線C：x2=2py(p>0)，可得

結(jié)論6 已知P是拋物線C：x2=2py(p>0)外(不含焦點(diǎn)的區(qū)域)一點(diǎn)，直線PB是拋物線C的切線，點(diǎn)M在弦AB上，PM平行于拋物線C的對(duì)稱軸且被拋物線C平分，則M是弦AB的中點(diǎn)，且直線PA是拋物線C的切線.

圖3

以上對(duì)一道高考試題進(jìn)行多向探究，得到了關(guān)于拋物線的一系列性質(zhì).高考試題是命題者心血和智慧的結(jié)晶，是命題者留給我們的一筆寶貴“財(cái)富”.我們不僅要研究試題的解法，還要引導(dǎo)學(xué)生探究隱藏在試題背后的奧秘，發(fā)掘試題的內(nèi)涵，發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律.只有這樣，才能領(lǐng)會(huì)到試題的深刻背景，才能引領(lǐng)學(xué)生跳出題海，做到觸類旁通、舉一反三，從而培育和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).