深度探究教材習(xí)題，培養(yǎng)學(xué)生思維能力
──以一道拋物線定點問題的教學(xué)為例

北京市鐵路第二中學(xué) (100045) 宋云軍

數(shù)學(xué)是思維的體操. 在核心素養(yǎng)背景下，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力尤顯重要.本文嘗試從一道教材習(xí)題入手，為學(xué)生的思維“牽線搭橋”，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度探究，由此培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力.

一、問題提出

問題1(人教B版高中數(shù)學(xué)選修2-1第70頁練習(xí)B第2題)過拋物線的頂點O作兩條相互垂直的弦OA和OB. 求證：弦AB與拋物線的對稱軸交于定點.

師：這是一道拋物線的定點問題，設(shè)題中的拋物線方程為y2=2px(p>0) ，下面請大家講解一下自己的做法.

師：生1使用了研究圓錐曲線問題的通性通法，請大家發(fā)表一下對這個方法的看法.

師：生2的思維很嚴(yán)謹(jǐn)，大家在解題過程中，要有意識“回頭看”，檢查解題過程是否有漏洞. 其實，我們借助直線AB斜率不存在的情況，可以確定出這個定點的坐標(biāo)，這也就是在應(yīng)用特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

綜上所述，直線AB過定點(2p,0).

綜上所述，直線AB過定點(2p,0).

師：大家善于思考，思維活躍，想出了三種方法解決問題1， 這三種方法啟發(fā)我們在處理圓錐曲線問題時，不能一味追求設(shè)點或者設(shè)斜率來尋找切入點，而是應(yīng)該根據(jù)題目條件或者題目所求靈活選擇. 由此我們得到拋物線的第1個結(jié)論.

結(jié)論1 設(shè)拋物線y2=2px(p>0)，過拋物線的頂點O作兩條相互垂直的直線OA和OB，則直線AB過定點(2p,0).

點評：在問題1的探究中，學(xué)生注意到考慮斜率k是否存在，是否為零；截距b是否為零等情況，使分類討論成為自然而然的事情，有效地訓(xùn)練了學(xué)生思維的完備性、深刻性和創(chuàng)造性，使不同層次的學(xué)生得到不同的發(fā)展.

二、逆向探究，猜想論證

問題2 結(jié)論1的逆命題是什么？這個逆命題是真命題嗎？ 請給予證明.

生5：設(shè)拋物線y2=2px(p>0)，過點(2p,0)的直線與拋物線相交于A，B兩點，O為拋物線的頂點，則OA⊥OB.

師：牛頓曾經(jīng)說過：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn).”生5和生6的合作很完美，帶領(lǐng)大家經(jīng)歷了從猜想到驗證的過程. 證明了結(jié)論1的逆命題是正確的，由此我們得到拋物線的第2個結(jié)論.

結(jié)論2 設(shè)拋物線y2=2px(p>0)，直線y=k(x-2p)(k≠0)，與拋物線相交于A，B兩點，O為拋物線的頂點，則OA⊥OB.

點評：引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造已知命題的逆命題，并對其進(jìn)行真假判斷，有利于培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力，能開闊學(xué)生思路，深化理解，感悟本質(zhì)，實現(xiàn)知識的“再創(chuàng)造”.

三、深度探究，類比推廣

問題3 結(jié)論1中的直線OA與OB相互垂直，等價于直線OA與OB斜率之積為-1，如果把條件改為：直線OA與OB的斜率之積為一個不為零的常數(shù)λ，是否還能得到類似的結(jié)論呢？

師：同學(xué)們善于類比，奇思妙想，通過類比問題1的解答方法，為解決問題3“插上了翅膀”，由此我們得到拋物線的第3個結(jié)論.

點評：通過類比衍生，遷移拓廣，提出新的問題并加以解決，能夠培養(yǎng)學(xué)生對知識的遷移能力，促進(jìn)學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力和數(shù)學(xué)思維能力.

四、拓展思維，提高應(yīng)用水平

問題4 (2018年西城區(qū)高二數(shù)學(xué)(理科)第一學(xué)期期末第18題)設(shè)F為拋物線C：y2=2x的焦點，A,B是拋物線C上的兩個動點，O為坐標(biāo)原點.(Ⅰ)略；(Ⅱ)當(dāng)OA⊥OB時，求|OA|·|OB|的最小值.

問題5 (2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣東賽區(qū)預(yù)賽試題第10題)已知拋物線y2=2px(p>0)上兩個動點A(x1,y1)(y1>0)，B(x2,y2)(y2<0).(Ⅰ)略；(Ⅱ)若OA⊥OB，求線段AB的中點M的軌跡方程.

點評：笛卡兒說：“我所解決的每一個問題將成為一個范例，以用于解決其他問題.”問題4，5都是以問題1作為題根而編制的，學(xué)生通過一個問題解決一類問題，舉一反三，觸類旁通，激活思維的變通性.

五、教后反思

(1)發(fā)掘教材習(xí)題，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識

前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家奧加涅相指出：“很多例習(xí)題潛在著進(jìn)一步擴(kuò)展其教學(xué)功能、發(fā)展功能和教育功能的可行性.” 教學(xué)中，教師應(yīng)重視教材習(xí)題的潛在功能，平時多注意和積累教材一些有價值的習(xí)題，并且對它們進(jìn)行變式研究，有意識地引導(dǎo)學(xué)生對它們進(jìn)行深入的探究，挖掘出隱含的問題的本質(zhì)屬性，探求其規(guī)律性的解題思路和解題方法，促進(jìn)學(xué)生知識的同化、遷移和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的探究、創(chuàng)新意識.

(2)加強(qiáng)變式探究，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

所謂變式探究是指在教學(xué)過程中對概念、性質(zhì)、定理、公式以及問題，從不同角度、層次、形式、背景做出改變，即有目的地對命題的題設(shè)和結(jié)論進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，提升命題的可能性，然后引導(dǎo)學(xué)生以已經(jīng)掌握的知識為基礎(chǔ)，探究解決這些新命題．

正如新課程中所指出：“學(xué)生的學(xué)習(xí)活動不應(yīng)只限于接受、 記憶、 模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學(xué)等都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式．”【1】抓住問題的本質(zhì)特征，遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，在學(xué)生思維水平的 “最近發(fā)展區(qū)”對問題進(jìn)行變式探究，從不同角度拓寬思路 、層層推進(jìn)，讓學(xué)生享受探索之旅的同時，提高了應(yīng)變能力、探索能力，還培養(yǎng)了思維的靈活性與創(chuàng)造性.

教師不應(yīng)把探究出的問題的結(jié)果作為一次探究活動的結(jié)束 ，而應(yīng)把問題的探究和發(fā)現(xiàn)解決的過程延伸到課外和后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí).【2】一些學(xué)有余力的學(xué)生對本節(jié)課問題1的探究可能“意猶未盡”，有一種繼續(xù)在課余時間進(jìn)行探究與學(xué)習(xí)的動力.所以，筆者又設(shè)計了如下對問題1的兩個變式探究，為學(xué)有余力的學(xué)生課后進(jìn)行獨立探究.

變式1 設(shè)拋物線y2=2px(p>0)，過拋物線上任一點P(x0,y0)作兩條相互垂直的直線PA和PB，則直線AB過定點(x0+2p,-y0).

“在課堂上，展現(xiàn)‘活生生的’數(shù)學(xué)探究和應(yīng)用過程，讓學(xué)生憑借已有的知識和經(jīng)驗積極參與各項活動，通過自己的觀察、思考、操作、嘗試、驗證，再加以分析、比較、抽象、概括 ……獲得數(shù)學(xué)知識和問題解決．”【3】變式探究并不是單一地追求深度和難度，它的關(guān)鍵在于教師精心設(shè)計，巧妙設(shè)問，將學(xué)生帶進(jìn)探究的深度思考中，充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，讓學(xué)生在足夠的時間與空間經(jīng)歷質(zhì)疑、自主探究、合作交流的活動過程，培養(yǎng)思維能力，從而培養(yǎng)學(xué)生終身學(xué)習(xí)的愿望和能力.