一段美麗的邂逅：當(dāng)“存在”遇到“任意”

浙江省溫州中學(xué) (325000) 吳時(shí)月

當(dāng)代數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾經(jīng)指出：“反思是數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心和動(dòng)力”，可見(jiàn)反思的重要性. 老師不僅要讓學(xué)生知道解后反思的內(nèi)容和重點(diǎn)，更要教會(huì)學(xué)生如何反思. 通過(guò)解題反思，引導(dǎo)學(xué)生再次對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析、對(duì)比、歸納與總結(jié)，對(duì)問(wèn)題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行再審視，起到一個(gè)再提高的作用.

筆者在高三復(fù)習(xí)“函數(shù)中的存在與任意問(wèn)題”時(shí)，遇到了這樣一道題：

已知函數(shù)f(x)=x2+(a-4)x+3-a，若對(duì)于任意的a∈(0,4)，存在x∈[0,2]，使得|f(x)|≥t，求t的取值范圍．

課堂期間同學(xué)們提出的問(wèn)題與想法引發(fā)了筆者的思考．以下便是學(xué)生與筆者對(duì)這道題的分析與講評(píng)實(shí)錄.

學(xué)生1：通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)函數(shù)f(x)=x2+(a-4)x+3-a既是關(guān)于x的二次函數(shù)，又是關(guān)于a的一次函數(shù)，采用主元法的思想將f視為a的一次函數(shù)得：f(x)=F(a)=(x-1)a+x2-4x+3=(x-1)(a+x-3)，且a=3-x∈[1,3]?[0,4].所以|F(a)|min=|(x-1)a+x2-4x+3|min=|F(a=3-x)|=0，所以t≤0.

師：學(xué)生1很有自己的想法，主次元換位，一次主導(dǎo)，避開(kāi)了分類討論，那該解法是否正確呢？ 最終答案是否正確呢？

學(xué)生2：將函數(shù)f(x)=x2+(a-4)x+3-a視成x的二次函數(shù)，按對(duì)稱軸進(jìn)行分類：

師：與同學(xué)1的切入角度不一樣，生2將f(x)視成x的二次函數(shù).按照對(duì)二次函數(shù)的對(duì)稱軸進(jìn)行嚴(yán)格的分類討論來(lái)解決經(jīng)典的含參問(wèn)題，但是以上兩種處理手法帶來(lái)的答案是不一樣的，到底哪個(gè)正確呢？

圖1

=g(a)，如圖1，通過(guò)比較易知g(a)=

師：因?yàn)閷?duì)稱軸范圍的特殊性，直接比較兩個(gè)端點(diǎn)及對(duì)稱處的函數(shù)值的絕對(duì)值的大小，是學(xué)生2的解法的升級(jí)版.

師：主導(dǎo)思想還是先視x為主元，結(jié)合x(chóng)的取值特點(diǎn)，以非常巧妙的放縮的方式來(lái)解決問(wèn)題，同時(shí)保證等號(hào)同時(shí)取到，令人耳目一新！

師：解法1中已發(fā)現(xiàn)原函數(shù)具有因式分解的效果，與解法1不同的是解法5仍是以x為主元，兩個(gè)一次函數(shù)的絕對(duì)值同時(shí)取到最大值，解法非常新穎．

對(duì)比以上幾種解法，最大的分歧在于先以哪個(gè)參數(shù)為主元．到底哪種理解正確呢？我們有必要一探究竟．為了敘述方便，我們將問(wèn)題的條件重新描述如下：設(shè)二元函數(shù)F(x,a)=|x2+(a-4)x+3-a|，?a∈(0,4)，?x∈[0,2]，使得F(x,a)≥t.求t的取值范圍.

這是一道“存在”遇到“任意”的問(wèn)題．同學(xué)1的解法是先把F(x,a)看成a的函數(shù)，即先處理“任意”，再處理“存在”， 也就是將條件轉(zhuǎn)化于：

同學(xué)2至5都是先把F(x,a)看成x的函數(shù)，即先處理“存在”，再處理“任意”，從而將條件轉(zhuǎn)化為：

那么，此問(wèn)題就歸結(jié)為：“任意”與“存在”的處理次序可以隨意嗎？我們來(lái)回歸教材，在課本【1】中，對(duì)于全稱命題與特稱命題的定義如下：

通常，將含有變量x的語(yǔ)句用p(x)表示，變量x的取值范圍用M表示．那么，全稱命題“對(duì)M中任意一個(gè)x，有p(x)成立”，簡(jiǎn)記為?x∈M,p(x)，讀作“對(duì)任意x屬于M，有p(x)成立”．特稱命題“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”簡(jiǎn)記為?x0∈M,p(x0)，讀作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．

在本問(wèn)題中，對(duì)應(yīng)于?a∈(0,4)的語(yǔ)句p(x)應(yīng)為“?x∈[0,2]，F(xiàn)(x,a)≥t”．由此可見(jiàn)，解決該問(wèn)題的邏輯順序應(yīng)為先明確語(yǔ)句p(x)，即先處理“存在”，然后再處理“任意”，也就是說(shuō)條件應(yīng)等價(jià)于：

所以同學(xué)2至5的解法正確，答案正確. 而同學(xué)1的解法是以下問(wèn)法的答案：F(x,a)=|x2+(a-4)x+3-a|，?x∈[0,2]，?a∈(0,4)，F(xiàn)(x,a)≥t.

于是我們可以得出如下系列結(jié)論：

圖2

明確了該命題等價(jià)于求最大值的最小值后，遇上絕對(duì)值，也可以從以下角度切入：|f(x)|=|(x2-4x+3)--a(x-1)|.令g(x)=x2-4x+3,h(x)=-a(x-1)，則|f(x)|=|(x2-4x+3)-(-a(x-1))|代表兩個(gè)函數(shù)g(x),h(x)的函數(shù)值之差的絕對(duì)值，如圖2，由絕對(duì)值的縱向(鉛錘)距離的幾何意義計(jì)算可知：取a=2時(shí)，即h(x)=-2x-1時(shí)，g(x),h(x)的函數(shù)值之差的絕對(duì)值的最小為1，所以t≤1.

評(píng)注：利用的絕對(duì)值的幾何意義，來(lái)尋找直(曲)線的“最佳”的位置，使得最大值最小，是非常不錯(cuò)的一種幾何手法．

圖3

評(píng)注：采用換元的方法，將原來(lái)的式子進(jìn)行等價(jià)變形，簡(jiǎn)化代數(shù)式子的結(jié)構(gòu)，起到事半功倍的效果.亦可理解為通過(guò)變形，把函數(shù)圖象轉(zhuǎn)化為類似“平口單峰”的處理形式.

學(xué)生在處理含有“存在”與“任意”等特(全)稱命題時(shí)，常常會(huì)出現(xiàn)等價(jià)變形不到位而出錯(cuò)的情形.我們應(yīng)該啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生先從宏觀上去把握，再?gòu)奈⒂^上去突破，在解題思路的整體設(shè)計(jì)上和解題方法的優(yōu)劣選擇上下功夫，用研究的態(tài)度去對(duì)待我們遇到的每一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，最終對(duì)問(wèn)題達(dá)成較為透徹的理解，起到揭示問(wèn)題本質(zhì)的作用.