數(shù)學(xué)活動(dòng)——三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)計(jì)算

王秋明

摘要：數(shù)學(xué)活動(dòng)是師生積極參與、交往互動(dòng)、共同發(fā)展的過程。在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;模型思想;轉(zhuǎn)化思想

教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課

觀看一段視頻影片---有關(guān)數(shù)學(xué)家高斯小時(shí)候課堂學(xué)習(xí)“解決從1+2+3+。。。+100”的故事。

師：今天我們就探究解決一個(gè)相關(guān)的數(shù)學(xué)問題---三角點(diǎn)陣點(diǎn)數(shù)和的探究問題。引出課題。

二、探究新知

活動(dòng)一：出示三角點(diǎn)陣圖形

1、學(xué)生觀察圖形特征，

2、完成表格的分析信息。（表1：各行點(diǎn)數(shù)和的統(tǒng)計(jì)，表2前n行點(diǎn)數(shù)和的統(tǒng)計(jì)）

意圖：通過觀察圖形完成表格，培養(yǎng)學(xué)生利用表格分析問題的能力。

生1：敘述結(jié)果：1、2、3、...、n。

3、繼續(xù)觀察圖形，完成表2

生2：展示結(jié)果依次：

師：好，那么前n行點(diǎn)數(shù)和如何表示呢？

生：1+2+3+4+......+n

師：好，由特殊到一般，我們可以類比上面幾行的結(jié)果表示得出前n行的點(diǎn)數(shù)和的表示，在此基礎(chǔ)上，你能提出哪些問題？

生1：前4行共有10個(gè)點(diǎn)，那么前10行共有多少個(gè)點(diǎn)？前20行呢？

生2：300個(gè)點(diǎn)是前多少行的點(diǎn)數(shù)和？生3：300個(gè)點(diǎn)是第幾行，第幾個(gè)點(diǎn)？生4：這個(gè)圖形的探究問題能否與三角形的面積聯(lián)系到一起呢？

師：大家提出的問題都非常有代表性，很有想法。尤其是最后一位同學(xué)，能夠大膽的猜想：點(diǎn)數(shù)和的問題與三角形的面積關(guān)系。同時(shí)我們把這四位同學(xué)的問題板書到黑板上，稍后我們逐一取解決它們。

如何表示三角點(diǎn)陣前n行的點(diǎn)數(shù)和的問題，大家能否從一開始視頻中小高斯的計(jì)算方法給我們一些啟發(fā)呢？---（類比思想）

學(xué)生獨(dú)立思考完成猜想、證明過程。（選生代表板演并敘述思路）

生：有特殊到一般，借助首尾相加的方法，歸納出：

師：非常好。師板書.大家通過將圖形問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題，從數(shù)列的角度分析找出規(guī)律。在這個(gè)過程中滲透了數(shù)學(xué)上的由特殊到一般的思想。問題：我們能否從“形”的角度去考慮呢？

師提示：之前我們?cè)谘芯繋缀螁栴}如四邊形的相關(guān)問題，常常會(huì)轉(zhuǎn)化成三角形的問題去解決，在今天的這個(gè)圖形-三角點(diǎn)陣的問題，能否轉(zhuǎn)化為平行四邊形去嘗試解決呢？

師：很好，兩位同學(xué)的思路都很好，所求的點(diǎn)數(shù)和應(yīng)該是（每一行的點(diǎn)數(shù)和×行數(shù)）的一半。

從圖形的角度分析實(shí)際上和數(shù)的角度本質(zhì)上是一致的。不論哪一種方法，我們應(yīng)該從中提升分析問題的能力。

2.動(dòng)腦思考，解決問題

在此基礎(chǔ)上回顧大家提出的問題，該如何解決？（小組交流）

上述問題我們將它們分成兩類吧，第一類是直接利用點(diǎn)數(shù)和公式計(jì)算點(diǎn)數(shù)和;第二類是通過列一元二次方程（方程模型）解決點(diǎn)數(shù)和的存在性問題。（抽生板演：問題300個(gè)點(diǎn)是前幾行的點(diǎn)數(shù)和？）

師：追問：600個(gè)點(diǎn)呢？學(xué)生獨(dú)立完成。

3、感悟數(shù)學(xué)思想，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

回顧探究三角點(diǎn)陣前n行點(diǎn)數(shù)和的規(guī)律以及解決大家提出的問題的過程，你積累了哪些數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，與大家分享一下：學(xué)生交流

4.拓展延伸：點(diǎn)數(shù)依次換為 2，4，6，…，2n，…？前 n 行的點(diǎn)數(shù)和能是 600 嗎？試用一元二次方程說明道理.

師：在此基礎(chǔ)上你還能想到什么樣的問題來解決一下呢？

生：變式：若將點(diǎn)數(shù)依次換為1、3、5、7、...呢？

師：很好，能通過變式來進(jìn)一步解決與之相關(guān)的問題，能夠舉一反三。

三、鞏固練習(xí)（正六邊形點(diǎn)陣問題）

四：課時(shí)小結(jié)

意圖：本環(huán)節(jié)通過反思總結(jié)，將知識(shí)上升為經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)思維的再次生長。

五、數(shù)學(xué)思考

1、挖掘知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，有效的課堂教學(xué)應(yīng)研究“從哪里來？怎樣來？到哪里去？怎樣去”等研究性問題。

2、重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，教師引導(dǎo)學(xué)生在知識(shí)的遷移中體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生思維的延伸性。

3、充分展示學(xué)生的思維活動(dòng)，出示問題后，留給學(xué)生充裕的時(shí)間思考，通過設(shè)置一些開放性的小問題，培養(yǎng)學(xué)生多角度看問題，在提問時(shí)，生4提出的與三角形面積有關(guān)的問題，偏離了方向，但是能夠大膽的思考，將知識(shí)聯(lián)系在一起，雖然想法不太成熟，但是能激發(fā)學(xué)生的思維。

參考文獻(xiàn)

[1]由兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)組成的新數(shù)列問題[J]. 史正.?中學(xué)數(shù)學(xué)雜志. 2014（01）

[2]中學(xué)數(shù)學(xué)兩種思維結(jié)合學(xué)習(xí)論【M】溫寒江。教育科學(xué)出版社，2016，11）